2020年高考一轮复习《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用》

解：(1)因为 f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，
所以
f(x)＝
3 2 sin
ωx－12cos
ωx－cos
ωx
＝ 23sin ωx－32cos ωx
23ωπ －ωφ
2π－φ __ω_
ωx＋φ 0
π
π 3π
2π
_2__
_2__
y＝Asin
0
A
0 －A
0
(ω＋φ)
2.函数 y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义
简谐振动 振幅 周期 频率 相位 初相
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)
A _T_＝__2_ωπ_ f＝T1 ω_x_＋__φ_ φ
2020年高考一轮复习
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图 象及应用
2019年9月11日星期三
最新考纲
考情索引 核心素养
1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)
的物理意义；能画出函数 y ＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解 参数 A，ω，φ 对函数图象变 化的影响． 2.了解三角函数是描述周期 变化现象的重要函数模型， 会用三角函数解决一些简单
A．2，4π，π3
B．2，41π，π3
C．2，41π，－π3
D．2，4π，－π3
(2)(人 A 必修 4·P62 例 4 改编)某地农业监测部门统计
发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出
现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x 收购价格y(元/斤)
12 3 4 67 6 5
选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月
1．概念思辨
判 断 下 列 结 论 的 正 误 ( 正 确 的 打 “ √ ”， 错 误 的 打
“×”)．
(1)将函数 y＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得
图象的解析式是 y＝3sin2x＋π4.(
)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先
伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )
分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π 2
π
3π 2
2π
x
π 3
Asin(ωx＋φ) 0 5
5π 6
－5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)的解 析式；
(2)将 y＝f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ＞0)个 单位长度，得到 y＝g(x)的图象．若 y＝g(x)图象的一个对 称中心为51π2，0，求θ 的最小值．
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的作法 1．五点法作图：用“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ)的 简图，主要是通过变量代换，令 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2， π，32π，2π 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐 标，描点后得出图象． 2．图象的变换法，由函数 y＝sin x 的图象通过变换 得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩” 与“先伸缩后平移”．
【例 1】 (2019·河北衡水金卷一模)
已知函数 f(x)＝－2cos ωx(ω>0)的图象向
左平移 φ0<φ<π2个单位，所得的部分函数 图象如图所示，则 φ 的值为( )
π
5π
π
5π
A.6
B. 6
C.12
D.12
解析：由题图知，T＝21112π－51π2＝π，
所以 ω＝2Tπ＝2，所以 f(x)＝－2cos 2x，
(2)函 数 y＝ 2sin2x＋π6 的周期 为 π ，将 函 数 y＝ 2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，
所 得 图 象 对 应 的 函 数 为 y ＝ 2sin 2x－π4＋π6 ＝ 2sin2x－π3 ，故选 D.
价之间的函数关系为________．
解析：(1)由题意知 A＝2，f＝T1＝2ωπ＝41π，初相为－π3. (2)设 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)，由题意得 A＝1，b
＝6，T＝4，因为 T＝2ωπ，所以 ω＝π2，所以 y＝sinπ2x＋φ＋6.
因为当 x＝1 时，y＝6，所以 6＝sinπ2＋φ＋6， 结合表中数据得π2＋φ＝2kπ，k∈Z，可取 φ＝－π2，
[变式训练]
(2017·全 国 卷 Ⅰ ) 已 知 曲 线 C1 ： y ＝ cos x ， C2 ： y ＝
sin2x＋23π，则下面结论正确的是(
)
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不
变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线 C2
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不
2018·天津 卷，T6 2016·全国 卷Ⅰ，T6 2016·全国 卷Ⅲ，T14
1.数学运 算 2.直观想 象
的实际问题.
1．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，
要找五个关键点，如下表所示．
x
－___ωφ
－ωφ ＋2πω
π－φ __ω_
解：(1)根据表中已知数据，解得 A＝5，ω＝2，φ＝ －π6，
数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π 2
π
3π 2
2π
x
π π 7π 5π 13π 12 3 12 6 12
Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0
且函数解析式为 f(x)＝5sin2x－π6. (2)由(1)知 f(x)＝5sin2x－π6， 则 g(x)＝5sin2x＋2θ－π6.
(3)相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2，横坐标之 差恰为半个周期 π，故它们之间的距离为 π2＋4.
答案：(1)A (2)D (3) π2＋4
考点 1 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(讲练互动)
【例】 某同学用“五点法”画函数 f(x)＝Asin(ωx＋
φ)ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部
1．已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象求 其解析式时，A 比较容易看图得出，利用周期性求 ω，难 点是“φ”的确定．
2．y＝Asin(ωx＋φ)中 φ 的确定方法． (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意 该点在上升区间还是在下降区间上)或把图象的最高点或 最低点代入． (2)五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中 的特殊点作为突破口．
所以 f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)．
则由图象知，f152π＋φ＝－2cos56π＋2φ＝2. 所以56π＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，则 φ＝1π2＋kπ(k∈Z)．
又
π 0<φ< 2 ，所以
φ＝1π2.
答案：C
【例 2】 [一题多解]函数 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分 图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为 ________．
所以 y＝sinπ2x－π2＋6＝6－cos
πx 2.
答案：(1)C
(2)y＝6－cos
πx 2
3．典题体验 (1)(2019·永州模拟)函数 y＝2cos2x＋π6的部分图象 是( )
(2)(2016·全国卷Ⅰ)将函数 y＝2sin2x＋π6的图象向右
平移14个周期后，所得图象对应的函数为(
因为函数 y＝sin x 图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z， 令 2x＋2θ－π6＝kπ，解得 x＝k2π＋1π2－θ，k∈Z. 由于函数 y＝g(x)的图象关于点51π2，0成中心对称， 所以k2π＋1π2－θ＝51π2，解得 θ＝k2π－π3，k∈Z. 由 θ＞0 可知，当 k＝1 时，θ 取得最小值π6.
(3)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T，那么函 数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )
(4)由图象求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期 内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )
解析：(1)将函数 y＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位 长度后所得图象的解析式是 y＝3cos 2x.
x∈[0，＋∞]
3.函数 y＝sin x 的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋ φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
1．由 y＝sin ωx 到 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换： 向左平移ωφ个单位长度而非 φ 个单位长度．
2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋π2， k∈Z 确定；对称中心由 ωx＋φ＝kπ，k∈Z 确定其横坐标．
)
A．y＝2sin2x＋π4 B．y＝2sin2x＋π3
C．y＝2sin2x－π4 D．y＝2sin2x－π3
(3)(2019·长沙模拟改编)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最
高点和最低点之间的距离是________．
解析：(1)y＝2cos2x＋π6可知，函数的最大值为 2， 故排除 D；又因为函数图象过点π6，0，故排除 B；又因 为函数图象过点－1π2，2，故排除 C.
解析：由题图可知 A＝ 2， 法一 T4＝71π2－π3＝π4， 所以 T＝π，故 ω＝2， 因此 f(x)＝ 2sin(2x＋φ)， 又π3，0对应五点法作图中的第三个点，
因此 2×π3＋φ＝π，所以 φ＝π3，故 f(x)＝ 2sin2x＋π3.
法二
以π3，0为第二个“零点”，71π2，－

2为最小值点，

列方程组ωω··π731π2＋＋φφ＝＝π3，π2 ，解得ωφ＝＝π32，，
故 f(x)＝ 2sin2x＋π3.
答案：f(x)＝ 2sin2x＋π3
【例 3】 (2019·唐山调研)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，|φ|<π2，ω>0)的 图象的一部分如图所示，则 f(x)图象的对称轴方程是 ________．
变，再把得到的曲线向左平移1π2个单位长度，得到曲线 C2
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不 变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线 C2
D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不 变，再把得到的曲线向左平移1π2个单位长度，得到曲线 C2
解析：首先利用诱导公式化异名为同名． y ＝ sin 2x＋23π ＝ cos 2x＋23π－π2 ＝ cos 2x＋π6 ＝ cos2x＋1π2.
解析：由函数图象知，A＝2，且 2sin φ＝1. 又|φ|<π2，所以 φ＝π6.又1112π×ω＋π6＝2π，所以 ω＝2， 所以 f(x)＝2sin2x＋π6， 令 2x＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，得 x＝k2π＋π6(k∈Z)．
所以 f(x)图象的对称轴方程为 x＝k2π＋π6(k∈Z)． 答案：x＝k2π＋π6(k∈Z)
考点 3 三角函数性质及图象的综合应用(讲练互动) 【例】 (2017·山东卷)设函数 f(x)＝sinωx－π6＋ sinωx－π2，其中 0<ω<3，已知 fπ6＝0. (1)求 ω； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来 的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位， 得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)在－π4，34π上的最小值．
由 y＝cos x 的图象得到 y＝cos 2x 的图象，需将曲线 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变；由 y ＝cos 2x 的图象得到 y＝cos2x＋1π2的图象，需将 y＝cos 2x 的图象上的各点向左平移1π2个单位长度，故选 D.
答案：D
考点 2 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(自主演练)
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先 伸缩，后平移”的平移单位长度为ωφ.故当 ω≠1 时平移 的长度不相等．
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．教材衍化
(1)(人 A 必修 4·P56T3 改编)y＝2sin12x－π3的振幅、 频率和初相分别为( )