云南省宣威市第八中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析

高考数学期末测试卷必考（重点基础题）含解析
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近
线的距离为1
2
c ，则双曲线C 的离心率是（ ）
A B C ．2
D ．3
3．已知复数41i
z i
=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
4．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的
内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
2
B C ．
3
D 5．若()12n
x -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6．已知角α的终边经过点P(0
sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=
A ．
12
B ．
2
C ．12
-
D ． 7．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2
2()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形
中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）
A ．134
B ．866
C ．300
D ．500
8．已知曲线2
4x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆
22650x y y +-+=所得弦长为（ ）
A ．3
B ．2
C ．4
D ．23
9．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，1|B x y x ⎧⎫
==
⎨⎬⎩⎭
则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞
D ．[1,)+∞
10．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）
A ．22n n -
B ．212n -
C ．2
12n (-)
D ．22
n
11．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并
爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）
A ．10
111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭
B ．11
1132⎛⎫+ ⎪⎝⎭
C ．11
1132⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．10
111
232
⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()1
21x e
f x f x -<-的解集为__________．
14．若双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的顶点到渐近线的距离为2b ，则213b a +的最小值________.
15．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量a 、b 、c 满足(2)0a tb c +⋅=，
则实数t 的值为_______．
16．若变量x ，y 满足约束条件20
300x y x y x y -+≥⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则32z x y =+的最大值为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知x ，y ，z 均为正数． （1）若xy ＜1，证明：|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ；
（2）若xyz x y z ++＝13
，求2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值．
18．（12分）如图，已知抛物线E ：2
4y x =与圆M ：()2
223 x y r -+= （0r >）相交于A ，B ，C ，D 四个
点，
（1）求r 的取值范围；
（2）设四边形ABCD 的面积为S ，当S 最大时，求直线AD 与直线BC 的交点P 的坐标. 19．（12分）已知函数()2
3cos sin 33f x x x x π⎛
⎫
=⋅++ ⎪
⎝
⎭，x R ∈． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最小值和最大值． 20．（12分）等差数列{}(
)*
N n a n ∈中，1
a ，2a ，3
a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数
不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行
16
6
9
（1）请选择一个可能的{}123,,a a a 组合，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）记（1）中您选择的{}n a 的前n 项和为n S ，判断是否存在正整数k ，使得1a ，k a ，+2k S 成等比数列，若有，请求出k 的值；若没有，请说明理由.
21．（12分）已知函数2
()(0)x
f x e ax a =->（其中e 2.718=是自然对数的底数）
（1）若()f x 在R 上单调递增，求正数a 的取值范围；
（2）若()f x f （x ）在()1212,x x x x x =<处导数相等，证明：122ln 2x x a +<； （3）当12a =
时，证明：对于任意11k e
≤+，若1
2b <，则直线y kx b =+与曲线()y f x =有唯一公共点（注：当1k >
时，直线y x k =+与曲线x
y e =的交点在y 轴两侧）.
22．（10分）已知关于x 的不等式||20x m x +-≤解集为[
)1,+∞（0m >）. （1）求正数m 的值；
（2）设,,a b c +
∈R ，且a b c m ++=，求证：2221a b c b c a
++≥.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】
分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.
详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以
sin sin 1cos cos A B
A B
>，因为0,0A B ππ<<<<，
所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，
结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2
A B π
π<+<，
因此02
C <<
π
，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征. 2．A 【解析】
由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率． 【详解】
由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y x
a =
，即0bx ay -=，∴12
d c =
=， 222
214a b c c =，即22222
()14
a c a c c -=，42
440e e -+=，e = 故选：A ． 【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础． 3．A 【解析】
利用复数除法运算化简z ，由此求得z 对应点所在象限. 【详解】
依题意()
()()
()41212211i i z i i i i i -=
=-=++-，对应点为()2,2，在第一象限. 故选A. 【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题. 4．D 【解析】
可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，设1PF m =，2PF n =，
可得2m n a +=，由切线的性质：切线长相等推得1
2
m n =，解得m 、n ，并设1QF t =，求得t 的值，推得
2PF Q ∆为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值． 【详解】
可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，M 为切点，且为2PF 中点，12PF PM MF ∴==， 设1PF m =，2PF n =，则12
m n =
，且有2m n a +=，解得23a m =，43a n =，
设1QF t =，22QF a t =-，设圆I 切
2QF 于点N ，则2223
a
NF MF ==，1QN QF t ==， 由22223a a t QF QN NF t -==+=+，解得23a
t =，43
a PQ m t ∴=+=，
2243a
PF QF ==，所以2PF Q ∆为等边三角形，
所以，3423a
c =
，解得3c a =因此，该椭圆的离心率为3
3
. 故选：D. 【点睛】
本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题． 5．B 【解析】
先化简()12n x -的二项展开式中第1r +项()112r
r
n r r n T C x -+=⋅⋅-，然后直接求解即可
【详解】
()
12n
x -的二项展开式中第1r +项()112r
r
n r r n T C x -+=⋅⋅-.令2r
，则()2
2
32n
T C x =⋅-，∴2440n C =，∴4n =-（舍）或5n =. 【点睛】
本题考查二项展开式问题，属于基础题 6．A 【解析】
由题意可得三角函数的定义可知：
2
2cos 47sin cos 47sin 47cos 47α=
=+
，22sin 47
cos sin 47sin 47cos 47
α==+，则：
()
()
sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131
cos 4713cos 60.
2
ααα-=-=-=+
==
本题选择A 选项. 7
．A 【解析】
分析：设三角形的直角边分别为1
. 解析：设三角形的直角边分别为1
，则弦为2，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为
)
2
14=-∴
=.
∴落在黄色图形内的图钉数大约为210001342
-⨯≈.
故选：A.
点睛：应用几何概型求概率的方法
建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型． 8．C 【解析】
设22
1212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线
方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】
圆2
2
650x y y +-+=可化为22
(3)4x y +-=.
设22
1212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
则12,l l 的斜率分别为1212,22
x x
k k =
=， 所以12,l l 的方程为()2
1111:24
x x l y x x =-+，即112x y x y =-，
()2
22
22:24
x x l y x x =-+，即222x y x y =-，
由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以1
12
232
32
x t y x t y ⎧-=-⎪⎪
⎨
⎪-=-⎪⎩
，
即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32
x
t y -=
-上， 所以直线AB 的方程为32
x
t y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，
则直线AB 截圆22
650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】
本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题. 9．D 【解析】
根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】
{}()10,1A x x =->=-∞，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞，
()[)1,U A B ∴=+∞.
故选：D . 【点睛】
本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.
10．B 【解析】
直接代入检验，排除其中三个即可． 【详解】
由题意10a =，排除D ，34a =，排除A ，C ．同时B 也满足512a =，724a =，940a =， 故选：B ． 【点睛】
本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解． 11．A 【解析】
执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，执行上述的程序框图：
第1次循环：满足判断条件，2,1x y ==； 第2次循环：满足判断条件，4,2x y ==； 第3次循环：满足判断条件，8,3x y ==； 不满足判断条件，输出计算结果3y =， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 12．D 【解析】
由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率
为123n P -；②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是11n P --.如果爬上来，其概率是()11
13
n P --，两种事件又是互斥的,可得()1121
133
n n n P P P --=+-，根据求数列的通项知识可得选项.
【详解】
由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .
①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为
()12
23
n P n -≥； ②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是()11,2n P n --≥.如果爬上来，其概率是
()()11
1,23
n P n --≥， 两种事件又是互斥的,∴()1121133n n n P P P --=
+-，即111
33
n n P P -=+，∴1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，
∴数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的等比数列，而123P =，所以111232
n
n P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， ∴当10n =时，10
10111
232
P ⎛⎫=⋅+ ⎪
⎝⎭， 故选：D. 【点睛】
本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．(1,)+∞ 【解析】
根据条件构造函数F （x ）()x
f x e
=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．
【详解】 设F （x ）()x
f x e =
，
则F ′（x ）()()
'x
f x f x e
-=
，
∵()()f x f x '>，
∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()1
21x e
f x f x -<-
∴
()()21
21x
x f x f x e
e
--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）
∴x 2x 1-＜，即x ＞1
∴不等式()()1
21x e
f x f x -<-的解为()1,+∞
故答案为：()1,+∞ 【点睛】
本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 14．2 【解析】
根据双曲线的方程求出其中一条渐近线b
y x a
=
，顶点(),0a ，再利用点到直线的距离公式可得2c a =，由222
==+，利用基本不等式即可求解. 【详解】
由双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >，
可得一条渐近线b
y x a
=
，一个顶点(),0a ，
2
ab b
c
=
=
，解得2c a =，
22222
===+≥，
当且仅当3
a =
时，取等号， 2
的最小值为2.
故答案为：2 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 15．32
-
【解析】
根据图示分析出a 、b 、c 的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出t 的取值. 【详解】
由图可知：()()()1,2,3,1,4,4a b c ===，所以()223,4a tb t t +=++，
又因为(2)0a tb c +⋅=，所以8121640t t +++=， 所以32
t =-
. 故答案为：32
-. 【点睛】
本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算，难度较易.已知()()1122,,,a x y b x y ==，若a b ⊥，则有
12120x x y y +=.
16．
32
【解析】
根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线322
z
y x =-+在y 轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过13,22B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
时，z 取最大值，代入可求得结果. 【详解】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
将32z x y =+化为322z y x =-+，则z 最大时，直线322
z
y x =-+在y 轴截距最大； 由直线32y x =-平移可知，当322
z
y x =-+过B 时，在y 轴截距最大，
由2030
x y x y -+=⎧⎨
+=⎩得：13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，max 13332222z ⎛⎫
∴=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.
故答案为：3
2
. 【点睛】
本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）证明见解析；（2）最小值为1 【解析】
（1）利用基本不等式可得|x |||4z y z z +⋅+≥=, 再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x +z |⋅|y +z |＞4xyz .
（2）由xyz x y z ++＝1
3, 得
1113yz xz xy
++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz ≥3，从而求出2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值. 【详解】
（1）证明：∵x ，y ，z 均为正数，
∴|x +z |⋅|y +z |＝（x +z ）（y +z ）≥4 当且仅当x ＝y ＝z 时取等号．
又∵0＜xy ＜1，∴44xyz >， ∴|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ； （2）∵
xyz x y z ++＝1
3，即
1113yz xz xy
++=． ∵11
22yz yz yz yz
+
⋅=， 11
22xz xz xz xz
+
⋅=， 11
22xy xy xy xy
+
⋅=， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号， ∴111
6xy yz xz xy yz xz
+++
++， ∴xy +yz +xz ≥3，∴2xy ⋅2yz ⋅2xz ＝2xy +yz +xz ≥1， ∴2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值为1． 【点睛】
本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．
18．（1）3r <<（2）点P 的坐标为1
(,0)3
-
【解析】
()1将抛物线方程24y x =与圆方程()2223 x y r -+=联立,消去y 得到关于x 的一元二次方程, 抛物线E 与圆M 有
四个交点需满足关于x 的一元二次方程在()0,∞+上有两个不等的实数根,根据二次函数的有关性质即可得到关于r 的不等式组,解不等式即可.
()2不妨设抛物线E 与圆M
的四个交点坐标为1(A x
，1(,B x -
，2(,C x -
，2(D x ，据此可
表示出直线AD 、BC 的方程,联立方程即可表示出点P 坐标,再根据等腰梯形的面积公式可得四边形ABCD 的面积S
的表达式,
令t =
,
由t ()1知01t <<,对关于t 的面积函数进行求导，判断其单调性和最值,即可求出
四边形ABCD 的面积取得最大值时t 的值,进而求出点P 坐标. 【详解】
（1）联立抛物线与圆的方程()2222
4,
3,
y x x y r ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 消去y ，得22290x x r -+-=.
由题意可知22290x x r -+-=在()0,∞+上有两个不等的实数根.
所以()2
2
4490,90,
r r ⎧∆=-->⎪⎨->⎪⎩
解得3r <<，
所以r
的取值范围为()
r ∈.
（2）根据（1）可设方程22290x x r -+-=的两个根分别为1x ，2x （120x x <<），
则1(A x
，1(,B x -
，2(,C x -
，2(D x ，
且122x x +=，2
129x x r =-，
所以直线AD 、BC 的方程分别为
)112y x x -=
-，
)112
y x x +=
-,
联立方程可得,点P
的坐标为()
， 因为四边形ABCD 为等腰梯形, 所以()(
)(()212
11122
S AB CD x x x
x =
+⋅-=-
()
()2
22121212122242229449x x x x x x x x r r =++⋅
+-=+-⋅--，
令()290,1t r =-∈，则()()(
)()2
2
3
242244321f t S t t t
t t ==+-=-+--，
所以()()
()()2
'3232132131f t t t t t =-+-=-+-，
因为01t <<,所以当103t <<
时,()0f t '>；当1
13
t <<时,()0f t '<， 所以函数()f t 在1(0,)3
上单调递增，在1
(,1)3上单调递减，
即当1
3
t =
时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值， 因为12x x t -=-,点P 的坐标为()
12,0x x -,
所以当四边形ABCD 的面积S 取得最大值时,点P 的坐标为1
(,0)3
-. 【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.
19．（Ⅰ）π;（Ⅱ）最小值1
2-和最大值14
． 【解析】
试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将()f x 的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数()sin y A x B ωϕ=++的最小正周期计算公式2T π
ω
=
，即可求得函数()f x 的最小正周期；（2）
由（1）得函数，分析它在闭区间
上的单调性，可知函数()f x 在区间
上是
减函数，在区间
上是增函数，由此即可求得函数()f x 在闭区间
上的最大值和最小值．也可以利用
整体思想求函数()f x 在闭区间
上的最大值和最小值．
由已知，有
()f x 的最小正周期
．
（2）∵()f x 在区间
上是减函数，在区间上是增函数，，
，∴函数()f x 在闭区间
上的最大值为，最小值为．
考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性． 20．（1）见解析，44n a n =+或2n a n =；（2）存在，6k =. 【解析】
（1）满足题意有两种组合：①18a =，212a =，316a =，②12a =，24a =，36a =，分别计算即可；
（2）由（1）分别讨论两种情况，假设存在正整数k ，使得1a ，k a ，+2k S 成等比数列，即2
12k k a a S +=⋅，解方程是否
存在正整数解即可. 【详解】
（1）由题意可知：有两种组合满足条件：
①18a =，212a =，316a =，此时等差数列{}n a ，18a =，4d =， 所以其通项公式为44n a n =+.
②12a =，24a =，36a =，此时等差数列{}n a ，12a =，2d =， 所以其通项公式为2n a n =.
（2）若选择①，2
26n S n n =+.
则()()2
22226221420k S k k k k +=+++=++.
若1a ，k a ，2k S +成等比数列，则2
12k k a a S +=⋅，
即()()
2
2
44821420k k k +=++，整理，得2221710k k k k ++=++，即59k =-，
此方程无正整数解，故不存在正整数k ，使1a ，k a ，2k S +成等比数列. 若选则②，2n S n n =+，
则()()2
222256k S k k k k +=+++=++，
若1a ，k a ，2k S +成等比数列，则2
12k k a a S +=⋅，
即()()
2
2
2256k k k =++，整理得2560k k --=，因为k 为正整数，所以6k =.
故存在正整数6k =，使1a ，k a ，2k S +成等比数列. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及前n 项和，涉及到等比数列的性质，是一道中档题. 21．（1）0,2
e ⎛⎤ ⎥⎝
⎦
；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）需满足()0f x '恒成立，只需()0f x ''即可；（2）根据()g x 的单调性，构造新函数()(2)(2)()h x g ln a m g ln a m i m =--+=，并令12x ln a m =-，根据()i m 的单调性即可得证；
（3）将问题转化为证明2
1()2
x
b e x kx j x =--=有唯一实数解，对()j x 求导，判断其单调性，结合题目条件与不等式的放缩，即可得证． 【详解】
)2(x f x e ax '=-；
令()()2x g x f x e ax ='=-，则()0g x 恒成立；
()2x g x e a '=-，()(2)2(12)0min g x g ln a a ln a ==-； a ∴的取值范围是(0,]2
e
；
（2）证明：由（1）知，()g x 在(,2)ln a -∞上单调递减，在(2,)ln a +∞上单调递增； 122x ln a x ∴<<；
令()(2)(2)2(2)()m m h x g ln a m g ln a m a e e m i m -=--+=--=，0m >； 则()(0)0i m i <=；
令12x ln a m =-，则21()()(2)(2)g x g x g ln a m g ln a m ==-<+； 22x ln a m ∴<+； 1222x x ln a ∴+<；
（3）证明：()f x kx b =+，2
1()2
x
b e x kx j x =-
-=，要证明()b j x =有唯一实数解；
当m →+∞时，211(1)2m
e m m e --+→+∞；
当m →-∞时，211(1)2m
e m m e
--+→-∞；
即对于任意实数b ，2
12
x
b e x kx =-
-一定有解； ()x j x e x k '=--；
当1k >时，()j x 有两个极值点0m n <<；
函数()j x 在(-∞，)(m n ⋃，)+∞上单调递增，在(,)m n 上单调递减； 又12
b <
； ∴只需21()2
n b j n e n kn <=--，在11k e
+时恒成立； ∴只需21
1(1)2
n b e n n e
<--+；
令2111((1))(1)()02n n
e n n e n p n e e
'--+=--+==，其中一个正解是0n ；
0n >，1
((1))10n n e n e e
'--+=->；
()p n ∴单调递增，(0)0p <，p （1）0>； 001n ∴<<；
∴0
22
0000111111111(1)112222
n e n n n n b e e e e e --+=--++>--++=>；
综上得证． 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了转化思想、不等式的放缩，属难题． 22．（1）1；（2）证明见解析. 【解析】
（1）将不等式||20x m x +-≤化为22x x m x -≤+≤，求解得出x m ≥，根据解集确定正数m 的值；
（2）利用基本不等式以及不等式的性质，得出22a a b b
≥-，22b b c c ≥-，22c c a a ≥-，三式相加，即可得证.
【详解】
（1）解：不等式||20x m x +-≤，即不等式||222x m x x x m x +≤⇔-≤+≤
∴3x m m x ≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩
，而0m >，于是x m ≥
依题意得1m =
（2）证明：由（1）知1a b c ++=，原不等式可化为
222
a b c a b c b c a
++≥++ ∵,,a b c +∈R ，222a b ab +≥
∴22a a b b
≥-，同理22b b c c ≥-，22c c a a ≥-
三式相加得222
a b c a b c b c a
++≥++，当且仅当a b c ==时取等号
综上222
1a b c b c a
++≥.
【点睛】
本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围以及基本不等式的应用，属于中档题.。