吴中区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案

吴中区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设函数F（x）=是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）对于x
∈R恒成立，则（）
A．f（2）＞e2f（0），f B．f（2）＜e2f（0），f
C．f（2）＞e2f（0），f D．f（2）＜e2f（0），f
2．在△ABC中，，则这个三角形一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角D．等腰或直角三角形
3．已知=（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥，则实数x的值是（）
A．﹣2B．2C．﹣D．
4．
某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（）
A．80＋20π
B．40＋20π
C．60＋10π
D．80＋10π
5．在平面直角坐标系中，直线y=x与圆x2+y2﹣8x+4=0交于A、B两点，则线段AB的长为（）A．4B．4C．2D．2
6．设M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（
）
A．B．
C．D．
7．命题“若a＞b，则a﹣8＞b﹣8”的逆否命题是（）
A．若a＜b，则a﹣8＜b﹣8B．若a﹣8＞b﹣8，则a＞b
C．若a≤b，则a﹣8≤b﹣8D．若a﹣8≤b﹣8，则a≤b
8．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）
A．y=3x﹣4B．y=﹣3x+2C．y=﹣4x+3D．y=4x﹣5
9．已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
10．已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n秒内的位移为a n，则数列{a n}是（）
A．公差为a的等差数列B．公差为﹣a的等差数列
C．公比为a的等比数列D．公比为的等比数列
11．函数的定义域是（）
A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．（1，+∞）
12．若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）
A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数
二、填空题
13．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数，其中，若存在唯一的整数
()()21x
f x e
x ax a =--+1a <，使得，则的取值范围是
0x ()00f x <a 14．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）＝lnx － （m ∈R ）在区间[1，e]上取得m
x
最小值4，则m ＝________．
16．已知直线l 过点P （﹣2，﹣2），且与以A （﹣1，1），B （3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．17．复数z=
（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．
18．命题“若1x ≥，则2421x x -+≥-”的否命题为
．
三、解答题
19．(本小题满分10分）选修4­4：坐标系与参数方程．
在直角坐标系中，曲线C 1：（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
{x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α
)
标系，C 2的极坐标方程为ρ＝
.2
sin （θ＋π
4
）
（1）求C 1，C 2的普通方程；
（2）若直线C 3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R ），设C 3与C 1交于点M ，N ，P 是C 2上一点，求△PMN 的面
3π4
积．
20．（本小题满分12分）
已知函数，数列满足：，（）.
21
()x f x x +={}n a 12a =11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
N n *∈（1）求数列的通项公式；
{}n a
（2）设数列的前项和为，求数列的前项和.
{}n a n n S 1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
n n T 【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.
21．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1234Y 51484542
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；（II ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
22．（本小题满分12分）已知等差数列｛｝满足：（），，该数列的n a n n a a >+1*
∈N n 11=a 前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且.1log 22-=+n n b a （1）求数列｛｝，｛｝的通项公式；n a n b （2）求数列｛｝的前项和.
n n b a ⋅n T
23．函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx ．
（1）求函数f （x ）的递增区间；（2）当x ∈[0，
]时，求f （x ）的值域．
24．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，．{}n a n n S 990S =15240S =（1）求的通项公式和前项和；
{}n a n a n n S （2）设是等比数列，且，求数列的前n 项和．
(){}
1n
n n b a --257,71b b =={}n b n T 【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、n 运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
吴中区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵F（x）=，
∴函数的导数F′（x）==，
∵f′（x）＜f（x），
∴F′（x）＜0，
即函数F（x）是减函数，
则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜e2f（0），f，
故选：B
2．【答案】A
【解析】解：∵，
又∵cosC=，
∴=，整理可得：b2=c2，
∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形．
故选：A．
3．【答案】A
【解析】解：∵=（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥，
∴=0，
∴8﹣6+x=0；
∴x=﹣2；
故选A．
【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0，建立关于x的方程求出x的值．
4．【答案】
【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．
依题意得（2r ×2r ＋πr 2）×2＋5×2r ×2＋5×2r ＋πr ×5＝92＋14π，
12 即（8＋π）r 2＋（30＋5π）r －（92＋14π）＝0，即（r －2）[（8＋π）r ＋46＋7π]＝0，∴r ＝2，
∴该几何体的体积为（4×4＋π×22）×5＝80＋10π.
12
5． 【答案】A
【解析】解：圆x 2+y 2﹣8x+4=0，即圆（x ﹣4）2+y 2 =12，圆心（4，0）、半径等于2．
由于弦心距d==2，∴弦长为2
=4
，故选：A ．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．　
6． 【答案】B
【解析】解：A 项定义域为[﹣2，0]，D 项值域不是[0，2]，C 项对任一x 都有两个y 与之对应，都不符．故选B ．
【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．
7． 【答案】D
【解析】解：根据逆否命题和原命题之间的关系可得命题“若a ＞b ，则a ﹣8＞b ﹣8”的逆否命题是：若a ﹣8≤b ﹣8，则a ≤b ．故选D ．
【点评】本题主要考查逆否命题和原命题之间的关系，要求熟练掌握四种命题之间的关系．比较基础．　
8． 【答案】B
【解析】解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y ′=3x 2﹣6x ，∴y ′|x=1=﹣3，即切线斜率为﹣3．
∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x ﹣1），即y=﹣3x+2．故选B ．
【点评】考查导数的几何意义，该题比较容易．
9．【答案】D
【解析】解：∵PD⊥矩形ABCD所在的平面且PD⊆面PDA，PD⊆面PDC，
∴面PDA⊥面ABCD，面PDC⊥面ABCD，
又∵四边形ABCD为矩形
∴BC⊥CD，CD⊥AD
∵PD⊥矩形ABCD所在的平面
∴PD⊥BC，PD⊥CD
∵PD∩AD=D，PD∩CD=D
∴CD⊥面PAD，BC⊥面PDC，AB⊥面PAD，
∵CD⊆面PDC，BC⊆面PBC，AB⊆面PAB，
∴面PDC⊥面PAD，面PBC⊥面PCD，面PAB⊥面PAD
综上相互垂直的平面有5对
故答案选D
10．【答案】A
【解析】解：∵，
∴a n=S（n）﹣s（n﹣1）=
=
∴a n﹣a n﹣1==a
∴数列{a n}是以a为公差的等差数列
故选A
【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用
11．【答案】A
【解析】解：由题意得：2x﹣1≥0，即2x≥1=20，
因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则x≥0．
所以函数的定义域为[0，+∞）
故选A
【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．　
12．【答案】C
【解析】解：∵对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=﹣1
∴令x 1=x ，x 2=﹣x ，得f （0）=f （x ）+f （﹣x ）+1，∴f （x ）+1=﹣f （﹣x ）﹣1=﹣[f （﹣x ）+1]，∴f （x ）+1为奇函数．故选C
【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．　
二、填空题
13．【答案】
【解析】试题分析:设
,由题设可知存在唯一的整数，使得
在直线0x
的下方.因为
,故当
时,
,函数
单调递减;
当
时,
,函数单调递增;故,而当
时,
,故当
且
,解之得
,应填答案
.3,12e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．
【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点，使得为背景,设置了一道求函数解析式中的参数0x ()00f x <的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数，使得在直线
的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依
0x 据题设建立不等式组求出解之得.
14．【答案】1－1，3]【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈ ≤≤≤＝1－1，3]考点：集合运算【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．15．【答案】－3e 【解析】f ′（x ）＝＋＝，令f ′（x ）＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递1x 2m x 2
x m
x +减，
当x>－m 时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f （x ）min ＝f （1）＝－m ≤1，不可能等于4；
若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f （x ）min ＝f （－m ）＝ln （－m ）＋1，令ln （－m ）＋1＝4，得m ＝－e 3 （－e ，－
1）；若－m>e ，即m<－e 时，f （x ）min ＝f （e ）＝1－，令1－＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m e m
e
m ＝－3e.
16．【答案】　[，3]　．
【解析】解：直线AP 的斜率K==3，
直线BP 的斜率K ′=
=
由图象可知，则直线l 的斜率的取值范围是[，3]，故答案为：[，3]，
【点评】本题给出经过定点P 的直线l 与线段AB 有公共点，求l 的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．
17．【答案】 ．
【解析】解：复数z=
=﹣i （1+i ）=1﹣i ，复数z=
（i 虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．
18．【答案】若1x <，则2421
x x -+<-【解析】
试题分析：若1x <，则2421x x -+<-，否命题要求条件和结论都否定．
考点：否命题.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：（α为参数）{x ＝1＋3cos αy ＝2＋3sin α)
得（x －1）2＋（y －2）2＝9（cos 2α＋sin 2α）＝9.
即C 1的普通方程为（x －1）2＋（y －2）2＝9，
由C 2：ρ＝得2sin （θ＋π4）ρ（sin θ＋cos θ）＝2，
即x ＋y －2＝0，
即C 2的普通方程为x ＋y －2＝0.
（2）由C 1：（x －1）2＋（y －2）2＝9得
x 2＋y 2－2x －4y －4＝0，
其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0，
将θ＝代入上式得3π4ρ2－ρ－4＝0，
2ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－4，
2∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝＝3.
（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ22C 3：θ＝π（ρ∈R ）的直角坐标方程为x ＋y ＝0，34
∴C 2与C 3是两平行直线，其距离d ＝＝.222∴△PMN 的面积为S ＝|MN |×d ＝×3×＝3.121222即△PMN 的面积为3.
20．【答案】
【解析】（1）∵，∴. 211()2x f x x x +==+11(2n n n
a f a a +==+即，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列，
12n n a a +-={}n a ∴.
（5分）1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=（2）∵数列是等差数列，
{}n a ∴，1()(22)(1)22
n n a a n n n S n n ++=
==+∴. （8分）1111(1)1
n S n n n n ==-++∴1231111n n
T S S S S =++++ 11111111(()()()1223341
n n =-+-+-++-+ . （12分）111n =-+1n n =+21．【答案】
【解析】
【专题】概率与统计．
【分析】（I ）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；
（II ）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．
【解答】解：（I ）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株
数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；
（II ）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y 的分布列
∵P （Y=51）=P （X=1），P （48）=P （X=2），P （Y=45）=P （X=3），P （Y=42）=P （X=4）
∴只需求出P （X=k ）（k=1，2，3，4）即可
记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数（k=1，2，3，4），则n 1=2，n 2=4，n 3=6，n 4=3
由P （X=k ）=得P （X=1）=，P （X=2）=，P （X=3）==，P （X=4）==
∴所求的分布列为
Y 51
48 45 42
P
数学期望为E （Y ）=51×+48×+45×+42×=46
【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
22．【答案】（1）,；（2）.12-=n a n n n b 2
1=
n n n T 2323+-=【解析】试题分析：（Ⅰ1）设为等差数列的公差，且，利用数列的前三项分别加上后成等比数列，
d {}n a 0>d 3,1,1求出，然后求解；（2）写出利用错位相减法求和即可．d n b n
n n T 212...232321321-++++=
试题解析：解：（1）设为等差数列的公差，，d {}n a 0>d 由，，，分别加上后成等比数列，]
11=a d a +=12d a 213+=3,1,1所以 ，)24(2)2(2d d +=+ 0>d ∴2
=d ∴122)1(1-=⨯-+=n n a n 又 ∴，即 （6分）1log 22--=n n b a n b n -=2log n n b 21=
考点：数列的求和．
23．【答案】
【解析】解：（1）
…（2分）令解得…f （x ）的递增区间为
…（6分）（2）∵，∴…（8分）∴，∴…（10分）∴f （x ）的值域是…（12分）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．　
24．【答案】
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，
{}n a 1a d 则由，，得，解得，……………3分990S =15240S =119369015105240
a d a d +=⎧⎨+=⎩12a d ==所以，即，
2(n 1)22n a n =+-⨯=2n a n =
，即．……………5分(1)22(1)2
n n n S n n n -=+⨯=+1n S n n =+（）。