数学_2014年湖北省荆州市某校高考数学训练试卷(2)(文科)(含答案)

2014年湖北省荆州市某校高考数学训练试卷（2）（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1. 若A ={2, 3, 4}，B ={x|x =n ⋅m, m, n ∈A, m ≠n}，则集合B 的元素个数为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2
2. 设集合M ={y|y =2x , x <0}，N ={y|y =log 12
x, 0<x <1}，则“x ∈M”是“x ∈N”的
（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件 3. 已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题： ①若α // β，则l ⊥m ； ②若l ⊥m ，则α // β； ③若α⊥β，则l // m ； ④若l // m ，则α⊥β
其中正确命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 4. 设常数a >0，(ax 2+
√x
)4的展开式中x 3的系数为32，则a =( )
A 14
B 12
C 2
D 1
5. 点P(−π
6
, 2)是函数f(x)=sin(ωx +φ)+m(ω>0, |φ|<π
2
)的图象的一个对称中心，且
点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π
2，则（ ）
A f(x)的最小正周期是π
B f(x)的值域为[0, 4]
C f(x)的初相φ为π
3 D f(x)在
[4
3π, 2π]上单调递增
6. 已知函数f(x)=sinπx 的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式
为（ ）
A y =f(2x −1
2
) B y =f(2x −1) C y =f(x
2
−1) D y =f(x
2
−1
2
)
7. 已知函数f(x)在[0, +∞)上是增函数，g(x)=f(|x|)，若g(lgx)>g(1)，则x 的取值范围是（ ）
A (0, 10)
B (10, +∞)
C (1
10, 10) D (0, 1
10)∪(10, +∞)
8. 已知a n =log n+1(n +2)(n ∈N ∗)我们把使乘积a 1a 2...a n 为整数的数n 叫做“成功数”，则在区间(1, 2011)内的所有成功数的和为（ ） A 1024 B 2003 C 2026 D 2048
9. 已知F 1、F 2分别是双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，
OF 1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则当△PF 1F 2的面积等于a 2时，双曲线的离心率为（ ）
A √2
B √3
C √6
2 D 2
10. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD =DC =1，
AB =3，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设AP →
=αAD →
+βAB →
(α, β∈R)，则α+β的取值范围是（ ） A (0, 4
3
] B [43, 5
3
] C (1, 4
3
) D (1, 5
3
)
二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 已知各项不为零的等差数列{a n }满足2a 3−a 72
+2a 11=0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 5b 9=________．
12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2−b 2=√3bc ，sinC =2√3sinB ，则A 等于________．
13. 将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种________（用数字作答）
14. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥1
x −y ≥−12x −y ≤2 目标函数z ＝ax +2y 仅在点(1, 0)处取得最小值，则a
的取值范围是________．
15. 过点P(3
2, −1)作抛物线y =ax 2
的两条切线PM 、PB （U ，B 为切点），若PA →
⋅PB →
=0，
则a =________．
三、解答题（共75分）
16. △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →
=(a +c,a −b)，n →
=(sinA −sinC,−sinB)，且m →
⊥n →
． （1）求角C 的大小；
（2）设函数f(x)=sin x
2+2cos 2x
4，求f(A)的取值范围．
17. 某射击小组有甲，乙两名射手，甲的命中率为P 1=2
3，乙的命中率为P 2，在射击比赛活
动中，每人射击两发子弹则完成，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该小组为“先进和谐组”
（1）若甲射手连续射击4次，求该射手恰好第四次击中目标的概率； （2）若P 2=1
2，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率．
18. 已知△ABC 与△DBC 都是边长为2的等边三角形，且平面ABC ⊥平面
DBC ，过点A 作PA ⊥平面ABC ，且AP =2√3． （1）求证：PA // 平面DBC ；
（2）求直线PD 与平面DBC 所成角的大小．
19. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，点P(a n , S n )在直线y =2x −2上 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记b n =2(1−
1a n
)，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ≥a 2−2恒成立，求a 的最大值．
20. 已知椭圆
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)和圆O:x 2+y 2=b 2，过椭圆
上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）
（I ）若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；
（II ）若椭圆上存在点P ，使得∠APB =90∘，求椭圆离心率e 的取值范围； （2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：
a 2|ON|
2+
b 2|OM|2
为定值．
21. 已知函数f(x)=4x 3−3x 2cosθ+1
32，其中x ∈R ，θ为参数，且0≤θ≤π
2．
（1）当cosθ=0时，判断函数f(x)是否有极值；
（2）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a −1, a)内都是增函数，求实数a 的取值范围．
2014年湖北省荆州市某校高考数学训练试卷（2）（文科）答案
1. C
2. A
3. C
4. C
5. D
6. B
7. D
8. C
9. A
10. D
11. 16
12. 30∘
13. 1080
14. (−4, 2)
15. 1
4
16. 解：（1）因为m→=(a+c,a−b)，n→=(sinA−sinC,−sinB)且m→⊥n→，(a+c, a−b)⋅(sinA−sinC, −sinB)=0，
可得(a+c)(a−c)=(a−b)b，
即：ab=a2+b2−c2，
cosC=a2+b2−c2
2ab =1
2
，C∈(0, π)
C=π
3
．
（2）函数f(x)=sin x
2+2cos2x
4
=sin x
2
+cos
x
2
+1
=√2sin(x
2+π
4
)+1，
f(A)=√2sin(A
2+π
4
)+1又C=π
3
，
∴ A+B=2π
3，∴ 0<A<2π
3
，
∴ π
4<A
2
+π
4
<7π
12
，
又∵ sinπ
4<sin7π
12
，
∴ √2
2<sin(A
2
+π
4
)≤1．
2<f(A)≤√2+1．
17. 解：（1）∵ 甲的命中率为P1=2
3
，
∴ 甲的不命中的概率为1−P1=1
3
，
∴ 甲射手连续射击4次，恰好第四次击中目标的概率P=1
3×1
3
×1
3
×2
3
=2
81
，
(I)）∵ P 1=23
，P 2=1
2
，
根据“先进和谐组”的定义可得：
该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次， ∴ 该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率
P =(C 21⋅23⋅1
3
)(C 21
⋅1
2
⋅1
2
)+(2
3
⋅2
3
)(12⋅1
2
)=1
3
．
18. （1）证明：取BC 的中点O ，连接DO ，
∵ △ABC 与△DBC 都是边长为2的等边三角形， ∴ DO ⊥BC ，
又∵ 平面DBC ⊥平面ABC ，∴ DO ⊥平面ABC ．
∵ AP ⊥平面ABC ，∴ DO // PA ， 又∵ DO 在平面DBC 内，PA 不包含于平面DBC ， ∴ PA // 平面DBC ．
（2）解：∵ D 在平面ABC 的射影是O ，P 在平面ABC 的射影是A ， ∴ DP 在平面ABC 的射影是OA ，
即直线PD 与平面ABC 所成角就是直线PD 与直线OA 所成的角， 过D 作DM // OA 交PA 于M ，由（1）可知DO // PA ， ∴ DM =OA =1，DO =MA =1，∴ PM =1， ∴ cos∠PDM =
DM PD
=
√2
2
，∴ ∠PDM =45∘．
∴ 直线PD 与平面DBC 所成角的大小为45∘．
19. 解：（1）依题意得S n =2a n −2，则n ≥2时， S n−1=2a n−1−2． ∴ n ≥2时，
S n −S n−1=2a n −2a n−1， 即a n =2a n−1．
又n =1时，a 1=2，
∴ 数列{a n }是以a 1=2为首项，以2为公比的等比数列， ∴ a n =2⋅2n−1=2n ；
（2）∵ b n =2(1−1a n
)=2(1−12)=2−1
2，
∴ T n =2n −(1+12+122+⋯+1
2n−1)=2n −1−
12n 1−12
=2n −2(1−1
2n )=2n −2+2×(1
2)n ．
由T n ≥a 2−2恒成立，得2n −2+2×(1
2)n ≥a 2−2．
即a 2≤2[n +(1
2
)n ]．
令g(n)=n +(1
2
)n ，
∵ g ′(n)=1−(1
2)n ln2>0， ∴ g(n)=n +(1
2)n 为增函数，
∴ 当n =1时，2[n +(1
2)n ]有最小值3．
故a 2≤3，解得−√3≤a ≤√3． ∴ a 的最大值为√3．
20. 解：(I)(I)∵ 圆O 过椭圆的焦点，圆O:x 2+y 2=b 2， ∴ b =c ，∴ b 2=a 2−c 2=c 2，∴ a 2=2c 2， ∴ e =
√22
． （II ）由∠APB =90∘及圆的性质，可得|OP|=√2b ， ∴ |OP|2=2b 2≤a 2，∴ a 2≤2c 2 ∴ e 2≥12，√2
2≤e <1．
(II)设P(x 0, y 0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 0−y 1x 0
−x 1
=−x
1y 1
整理得x 0x +y 0y =x 12+y 12∵ x 12+y 12
=b 2
∴ PA 方程为：x 1x +y 1y =b 2，PB 方程为：x 2x +y 2y =b 2．
∴ x 1x +y 1y =x 2x +y 2y ，∴ y 2−y 1x 2−x 1
=−x
0y 0
，
直线AB 方程为y −y 1=−x 0y 0
(x −x 1)，即x 0x +y 0y =b 2． 令x =0，得|ON|=|y|=b 2
|y 0|，令y =0，得|OM|=|x|=
b 2
|x 0|
，
∴ a 2
|ON|2+b 2
|OM|2=
a 2y 02+
b 2x 0
2b 4
=
a 2
b 2b 4=a 2
b 2，
∴ a 2
|ON|2+b 2
|OM|2为定值，定值是a 2
b 2． 21. 解：（1）解：当cosθ=0时f(x)=4x 3+
132
，则f(x)在(−∞, +∞)内是增函数，
故无极值．
（2）解：f ′(x)=12x 2−6xcosθ，令f ′(x)=0， 得x 1=0，x 2=
cosθ2
．
由0≤θ≤π
2及（1），只需考虑cosθ>0的情况． 当x 变化时，f ′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：
因此，函数f(x)在x =cosθ2处取得极小值f(
cosθ2
)，且f(
cosθ2
)=−1
4cos 3θ+1
32．
要使f(
cosθ2
)>0，必有−1
4cos 3θ+1
32>0，
可得0<cosθ<12
，所以π3
<θ<π2
（3）解：由（2）知，函数f(x)在区间(−∞, 0)与(
cosθ2
，+∞)内都是增函数．
由题设，函数f(x)在(2a −1, a)内是增函数，
则a 须满足不等式组{2a −1<a
a ≤0
或{2a −1<a 2a −1≥12
cosθ
由（2），参数θ∈(π3，π2)时，0<cosθ<12．要使不等式2a −1≥1
2cosθ关于参数θ恒成立，必有2a −1≥1
4．
综上，解得a ≤0或5
8≤a <1． 所以a 的取值范围是(−∞,0]∪[5
8，1)．。