初升高数学暑假衔接(人教版)第06讲 等式性质与不等式性质(学生版)

4
可乘性
a b ac bc 同向
二、不等式的性质 性质
5 别名
可除性
a b, c 0 a b 同向 cc
性质内容
1
对称性
a>b⇔b<a
2
传递性
a>b，b>c⇒a>c
3
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
4
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc
5
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
注意 可逆 同向 可逆
c 的符号
同向 同向 同正
2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若 a＞b，b＞c，则 a＞c；若 a＜b，b＜c，那么 a＜c．其中 b 是介于 a 与 c 之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式 大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出 其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小 的式子，要注意营养函数的有关性质。
C． a 1 b 1 ab
7．（多选）已知1 a 2， 3 b 5 ，则（ ）
பைடு நூலகம்
A． a b 的取值范围为4, 7
B． b a 的取值范围为 2,3
D．
a b
m m
a b
C．ab 的取值范围为 3,10
D．
a b
的取值范围为
1 3
,
2 5
8．已知 a
b
0 ，试比较
a2 a2
b2 b2
与
a a
b b
的大小.
9．（1）已知 x，y R ，求证： x2 2y2 2xy 2 y 1 .
（2）已知 2 a 3,1 b 2 ，求代数式 a b 和 2a 3b 的取值范围．
10．（1）已知a b 0 ， c 0 ，求证： c c ． ab
（2）比较 3x2 4x 3与 4x2 5x 5 的大小．
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．若 a b 0, c d 0 ，则一定有 a b cd
C．若
b
a
0,
m
0
，则
a b
m m
a b
B．若
a c2
b c2
，则 a b
D．若 a b, c d ，则 a c b d
2．已知 a b c 0 ，则（ ）
A． 2a b c
B． ab c ba c
6
正数同向可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
7
正数乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
三、比较两个实数（或代数式）大小
1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．
①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
②作商法的步骤：作商、变形、判断商与 1 的大小、得出结论．
5．（多选）对于实数 a,b, c ，下列说法正确的是（ ）
A．若
a
b
0
，则
1 a
1 b
B．若 ac2 bc2 ，则 a b
C．若 a 0 b ，则 ab a2
D．若
c
a
b
，
c
a
a
c
b
b
6．（多选）若a b 0 ， m 0 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． a2 b2
B． a3 b3 ab2 a2b
考点一：利用不等式的性质判断命题的真假
例 1．设 a 、 b 、 c 为实数，且 a b 0 ，则下列不等式正确的是（ ）
A．
1 a
1 b
B． ac2 bc2
C． b a ab
D． a b
【变式训练】已知 a b c d 0 ，则下列结论不正确的是（
A． a c b d
B． ac bd
C．
a
1
c
b
1
c
D． a c3 b c3
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．若 a b ， c d ， 则 a c b d
D．若 a b c 0 ，则 c c ab
2．已知 a 0 ， b 0 ，设 m a 2 b 2, n 2 a b ，则（ ）
A． m n
B． m n
C． m n
D． m n
3．已知 0 a b 2 ， 2 a b 4 ，则 3a b 的范围是（ ）
A． 4,8
第 06 讲 等式性质与不等式性质
1．理解不等式的概念，能在具体问题中建立不等式关系； 2．掌握不等式的基本性质，能用不等式的基本性质解决一些简单问题。
一、等式的基本性质
性质 文字表述
性质内容
注意
1
对称性
a b b a 可逆
2
传递性 a b, b c a c 同向
3 可加、减性 a b a c b c 可逆
B． 6,10
C． 4,10
D． 6,12
4．（多选）已知 a,b, c, d R ，则下列结论正确的为（ ）
A．若 a b, c d ，则 ac bd
B．若 b a 0 ， c 0 ，则 (a b)c 0
C．若 ac2 bc2 ，则 a b
D．若 a b, c d ，则 a d b c
ab
考点三：求代数式的取值范围
例 3．已知1 x 3 ， 3 y 1，则 x 3y 的取值范围是（ ）
A． (0,12)
B． (2,10)
C． (2,12)
D． (0,10)
【变式训练】已知1 a b 4 ， 1 a b 2 ，则 3a 2b 的取值范围是______．
考点四：不等式的证明 例 4．用综合法证明:如果a b 0 ，那么 a b
【变式训练】（1）已知
a
b
c
，且
a
b
c
0
，证明：
a
a
c
b
a
c
．
（2）证明： a a 2 a 1 a 3 ． (a 3)
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 a b 0 ，则 ac2 bc2
B．若 a b 0 ，则 a2 ab b2
C．若 a b ， c d ，则 ac bd
C．
a c
b d
）
D．
a d
c b
考点二：比较两个数（式）的大小
例 2．已知 c＞1，且 x＝ c 1 － c ，y＝ c － c 1 ，则 x，y 之间的大小关系是（ ）
A．x＞y
B．x＝y
C．x＜y
D．x，y 的关系随 c 而定
【变式训练】比较大小： （1） a2 b2 和 2(a b 1) ； （2） b2 a2 和 a b ，其中 a 0,b 0．