研究生矩阵论总复习重点公式

x x0 x x1 2 x x1 x x0 2 H 3 ( x ) y0 [1 2 ]( ) y1[1 2 ]( ) x 1 x0 x0 x1 x 0 x1 x1 x0 x x1 2 x x0 2 m0 ( x x0 )( ) m1 ( x x1 )( ) x0 x1 x1 x0
第四章
一、 幂法
1. 定义: 计算主特征值及其对应的特征向量的方法。
yk Axk 1 2. 实用计算公式 mk max yk x y /m k k k
当 k 充分大时,有
( k 1, 2, )
1 mk v1 xk ( yk )
其中 mk 是 yk 绝对值最大的第一个分量.
三、向量与矩阵的范数
1. 常用的向量范数
x 1 x1 x2 xn
2 2 2 x 2 x1 x2 xn
x max xi
1 i n
2. 常用的矩阵范数
4. A max | i ( A) | 谱半径
（矩阵的列范数）
（矩阵的行范数） （矩阵的谱范数）
2. 迭代法的收敛条件 f ( xk ) ( k 0,1, ) 四、牛顿切线法 xk 1 xk f ( xk ) 五、 割线法 f ( xk ) xk 1 xk ( xk xk 1 ) ( k 1, 2, ) f ( xk ) f ( xk 1 )
1 (4) 2 2 R3 ( x ) f ( x ) H 3 ( x ) f ( )( x x0 ) ( x x1 ) 4!
第七章
m 1 m xi i 0 m n xi i 0
一、多项式拟合的正规方程组
i 0 m
2 x i
第 一、1. 画出y=f(x)或其等价方程φ(x)=ψ(x)中 y=φ(x)与y=ψ(x)的图形,确定根的大概位置 二 章 2. 根的存在唯一性
二、二分法 三、迭代法
1 1 * * x xn ( b a ) , x ( bn an ) 2 2n 1 1. xk 1 ( xk ) ( k 0,1, 2,)
第一章
一、误差的来源
1. 模型误差 2. 观测误差 3. 截断误差 4. 舍入误差 二、误差的基本概念 1. 绝对误差(简称误差) e(x*) 和误差限 (x*) . 2. 相对误差 er(x*) 和相对差限 r(x*) . 三、有效数字 误差限与有效数字的关系 设近似值x*有n位有效数 设近似值x*的相对误差限为 字, 则其相对误差限为 1 er ( x*) 10 n1 2( a1 1) 1 e r ( x*) 10 n1 x*至少有n位有效数字。 2a1
A max aij
n
A 1 max aij
1 j n i 1
1 i n j 1 n
A 2 max ( AT A)
3. cond A A A1
（矩阵的条件数）
四、1. Jacobi 迭代格式为 ( k 1) 1 (k) (k) (k) x ( a x a x a x 12 2 13 3 1n n b1 ) 1 a11 x ( k 1) 1 ( a x ( k ) (k) (k) a x a x 2 21 1 23 3 2 n n b2 ) a22 x ( k 1) 1 ( a x ( k ) a (k) xn 1 bn ) n n 1 1 n n 1 ann
i 0 m
xi
m

i 0 n 1 x i
i 0 m xin 1 i 0 m 2n xi i 0
m
xin
a0 a 1 an
m yi i 0 m xi yi i 0 m n xi yi i 0
二、 反幂法的迭代公式为
yk A1 xk 1 mk max yk x y /m k k k
( k 1, 2, )
其中 mk 是 yk 绝对值最大的第一个分量. 反幂法的实用迭代公式为
解Lzk xk 1 , 求出zk 解Uy z , 求出y k k k mk max yk xk yk / mk
第三章 一、消元法
1. Gauss顺序消元法
求解系数矩阵 A 的各
阶顺序主子式均不为零。 2. 主元素消元法（det A0）
3. 高斯—约当消元法（det A0） 二、三角分解 1. LU分解法 LU分解法的条件 追赶法 y) 分解法
3. 平方根法（LLT 分解法）
二、牛顿插值多项式
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , , xn ]( x x0 ) ( x xn 1 )
N n ( x ) N n1 ( x ) f [ x0 ,, xn ]( x x0 )( x xn1 )
三、 差商与导数的关系：
f ( n ) ( ) f [ x0 , x1 ,, xn ] n!
[ a, b]
四、三次埃尔米特插值多项式
x x0 x x1 2 0 ( x ) [1 2 ]( ) , 0 ( x ) ( x x0 )( x x1 ) 2 x 1 x0 x0 x1 x0 x1 x x1 x x0 2 x x0 2 1 ( x ) [1 2 ]( ) , 1 ( x ) ( x x1 )( ) x 0 x1 x1 x0 x1 x0
高斯—塞德尔迭代法的矩阵形式
x ( k 1) ( D L) 1Ux ( k ) ( D L) 1 b
3. 迭代法收敛的条件
⑴ 收敛的充分必要条件:
定理1
1） x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 2） x(k+1) = Bx(k) + f 收敛
lim B k =O; ( B )<1。
k 1, 2,
1 n , mk vn x k
第五章
一、拉格朗日插值多项式 Ln ( x )
i 0
yi li ( x )
n
( x x0 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn ) 基函数 li ( x ) ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn )
f [ x0 , , xn 2 , xn1 ] f [ x1 , , xn1 , xn ] f [ x0 , x1 , , xn ] x0 x n
误差 Rn ( x ) f [ x, x0 , x1 , , xn ]( x x0 )( x xn )
f ( n 1) ( ) ( x x0 )( x xn ) ( n 1)!
41xxxxfxhxfxr????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????miinimiiimiinminiminiminiminimiimiiminimiiyxyxyaaaxxxxxxxxm000100201001020001????????baaxatt??第七章一多项式拟合的正规方程组超定方程组axb的正规方程组
⑵ 收敛的充分条件: 定理2 若迭代矩阵||B ||<1, 则x(k+1) = Bx(k) + f 收敛。 定理3 若矩阵A严格对角占优,则解方程组 Ax=b 的
Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法均收敛 。
定理4 若 A 为正定矩阵, 则解线性方程组 Ax=b 的
Gauss- Seidel 迭代法收敛。
( a, b )
M n 1 n Rn ( x ) ( x xi ) , ( n 1)! i 0
n M n 1 Rn ( x ) max ( x xi ) , ( n 1)! a x b i 0
x ( a, b ) x ( a, b )
雅可比迭代法的矩阵形式
x ( k 1 ) D 1 ( L U ) x ( k ) D 1 b
2. Gauss — Seidel 迭代格式为
( k 1 ) 1 (k) (k) (k) x ( a x a x a x 12 2 13 3 1n n b1 ) 1 a 11 (k) (k) x ( k 1 ) 1 ( a x ( k 1 ) a x a x 21 1 23 3 2n n b2 ) 2 a 22 ( k 1 ) x ( k 1 ) 1 ( a x ( k 1 ) a x bn ) n n1 1 n n 1 n 1 a nn
超定方程组 Ax=b的正规方程组
AT Ax AT b