2025福建高考数学一轮复习-函数知识点专项训练【含答案】

2025福建高考数学一轮复习-函数知识点专项训练
一、单项选择题
1．已知函数f (x )＝－x 2－4x ＋5，则函数y ＝f (x )的单调递增区间为()
A ．(－∞，－2]
B ．(－∞，2]
C ．[－2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
2．(2024·沧州七校)已知f (x )为二次函数，且f (x )＝x 2＋f ′(x )－1，则f (x )等于()
A ．x 2－2x ＋1
B ．x 2＋2x ＋1
C ．2x 2－2x ＋1
D ．2x 2＋2x －1
3．已知m >2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则()
A ．y 1<y 2<y 3
B ．y 3<y 2<y 1
C ．y 1<y 3<y 2
D ．y 2<y 1<y 3
4．一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是(
)
5．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则OA ·OB 等于()
A.
c a B ．－
c a C ．±
c a
D ．无法确定
6．(2024·长沙市一中)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0在x ∈[1，3]恒成立”的(
)
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知二次函数f (x )图象的对称轴是x ＝x 0，它在区间[a ，b ]上的值域为[f (b )，f (a )]，则(
)
A ．x 0≥b
B ．x 0≤a
C ．x 0∈(a ，b )
D ．x 0∉(a ，b )
8．(2024·郑州)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x ，
12恒有y ≥0成立，则a 的最小值是()
A ．0
B ．2
C ．－
52D ．－3
二、多项选择题
9．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是()
A ．a <1
B ．若x 1x 2≠0，则1x 1＋1x 2＝
2
a C ．f (－1)＝f (3)
D ．函数y ＝f (|x |)有四个零点
10．若二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2，3]上的最大值为6，则a 的值可以是()
A ．－
13
B.13
C ．－5
D ．5
三、填空题与解答题
11.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b ________0，ac ________0，a －b ＋c ________0.
12．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________．
13．(1)已知函数f (x )＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．(2)若函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5在(－∞，2)上不单调，则实数b 的取值范围为________．
14．(2024·江西赣州市)已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时，y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则a 的取值范围是________．
15．函数f (x )＝x 2＋2x ，若f (x )>a 在区间[1，3]上满足：(1)有解，则a 的取值范围为________；(2)恒成立，则a 的取值范围为________．
16．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1，x ∈R .
(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求实数k 的取值范围．
17．(2024·安徽A10联盟)已知y ＝(x －a )(x －b )－2(a <b )，且α，β(α<β)是方程y ＝0的两个根，则α，
β，a ，b 的大小关系是(
)
A ．a <α<β<b
B ．a <α<b <β
C ．α<a <b <β
D ．α<a <β<b
18．(2024·湖南师大附中)定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）
b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，
如y ＝x 4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________
参考答案与解析
1．答案A 2．答案B
解析
设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
则f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋b －1，
＝1，＝2a ，＝b －1，
＝1，＝2，＝1，
因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.3．答案A
解析
∵m ＞2，∴m －1＞1.
∴三点均在对称轴的右边．
∵函数在[1，＋∞)上单调递增，m ＋1＞m ＞m －1，∴y 1＜y 2＜y 3.4．答案C
解析
若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排
除A 、D ；对于B ，由直线可知a >0，b >0，从而－b
2a
<0，而二次函数的图象的对称轴在y 轴的右侧，故可排除B.故选C.5．答案B
解析
由图知a <0，c >0，则OA ·OB ＝|x A x B |＝|c
a |
＝－c
a
.
6．答案C
解析若f (x )<0在x ∈[1，3]恒成立，
1）＝2－4m <0，3）＝18－6m <0，
解得m >3，
又{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，
所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1，3]恒成立”的必要不充分条件．7．答案D
解析
若x 0∈(a ，b )，f (x 0)一定为最大值或最小值．
8．答案C
解析
设y ＝g (x )＝x 2＋ax ＋1，则g (x )≥0，
12上恒成立，即a ≥，
1
2上恒成立．令
h (x )h (x )，
12上单调递增，则h (x )max ＝a ≥h (x )max ＝－
＝－5
2.9．答案ABC
解析
易知二次函数对应的二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a ＝4－4a >0，解得a <1，故A 正确；
由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2
a ，故B 正确；因为f (x )图象的对称轴
为x ＝1，点(－1，f (－1))，(3，f (3))关于对称轴对称，故C 正确；当a <0时，y ＝f (|x |)只有两个零点，故D 不正确．10．答案BC
解析
由题知f (x )图象的对称轴为x ＝－1，a ≠0.
(1)当a >0时，f (x )的大致图象如图①，最大值为f (3)＝15a ＋1＝6，∴a ＝1
3
.
(2)当a <0时，f (x )的大致图象如图②，最大值为f (－1)＝－a ＋1＝6，∴a ＝－5.故选BC.
11.答案><<
解析
∵a <0，－
b
2a
>0，∴b >0.∵c
a ＝x 1x 2<0，∴ac <0，a －
b ＋
c ＝f (－1)<0.12．答案9或25
解析
y ＝＋m －7－，
∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－＝0，∴m ＝9或25.13．(1)答案(－∞，－16]∪[8，＋∞)
解析函数f (x )＝4x 2＋kx －8的图象的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k
8
≥2，解得k ≥8或k ≤－
16.
(2)答案(－4，＋∞)
解析函数y＝x2＋bx＋2b－5的图象是开口向上，以x＝－b
2为对称轴的抛物线，所以此函数在
∞
(－∞，2)上不单调，只需－b
2
<2，解得b>－4.所以实数b的取值范围为(－4，＋∞)．
14．答案[0，1]
解析方法一：设cos x＝t(－1≤t≤1)，y＝f(t)＝(t－a)2－1，画出f(t)的图象如图，由图易知0≤a≤1.
方法二：设cos x＝t(－1≤t≤1)，y＝f(t)＝(t－a)2－1
1）≥f（1），1≤a≤1，
1－a）2－1≥（1－a）2－1，
1≤a≤1，
∴0≤a≤1.
15．答案(1)(－∞，15)(2)(－∞，3)
解析(1)f(x)>a在区间[1，3]上有解，等价于a<f(x)max，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1，3]，故当x＝3时，f(x)max＝15，故a的取值范围为a<15.(2)f(x)>a在区间[1，3]上恒成立，等价于a<f(x)min，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1，3]，故当x＝1时，f(x)min＝3，故a的取值范围为a<3.
16．答案(1)f(x)＝x2＋2x＋1，单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]
(2)(－∞，1)
解析(1)
－
b
2a＝－1，
1）＝a－b＋1＝0，
＝1，
＝2.
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，
即k<x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立．
令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
由g(x)＋
3
4，知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数．
则g(x)min＝g(－1)＝1.所以k<1.
即k的取值范围是(－∞，1)．
17．答案C
解析设g(x)＝(x－a)(x－b)(a<b)，则y＝g(x)－2，所以y的图象是由g(x)的图象向下平移2个单位长度得到的，因为α，β(α<β)是方程y＝0的两个根，所以α<a<b<β.故选C.
18．答案(0，2)
解析因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以f（1）－f（－1）
＝m＝f(x0)，即关于x0的方程－x02＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根，解方程得1－（－1）
x0＝1(舍去)或x0＝m－1.所以－1<m－1<1，即0<m<2，所以实数m的取值范围是(0，2）。