高一数学复习知识点专题讲义课件34---两角和与差的正弦、余弦和正切公式

= cos(20°+70°)
=cos90°
=0
（3） 由公式 T（α +β ）及45° = 1， 得
1+15° 45°+15°
=
1−15° 45°−15°
= 45° + 15°
= 60°
=2021/12/8
3
达标检测
1． cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于(
例 ４ 利用和 （ 差 ） 角公式计算下列各式的值 ：
（ １ ）sin72°cos42°－ cos72°sin42° ;
（ ２ ） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ;
1+15°
（3）
;
1−15°
分析 ： 和 、 差角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α ， β 的三角函数式 ．
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝__________________
sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
2021/12/8
两角和与差的正切公式
3
名称
简记符号
公式
tan(α＋β)＝
两角和的正切
T(α＋β)
tan α＋tan β
______________
1－tan
αtan β
tan(α－β)＝
两角差的正切
2021/12/8
T(α－β)
tan α－tan β
______________
1＋tan
αtan β
使用条件
π
α，β，α＋β≠kπ＋2(k∈Z)
且 tan α·tan β≠1
π
α，β，α－β≠kπ＋2(k∈Z)
且 tan α·tan β≠－1
=(-1)×cos + ．
＝－ cos．
2021/12/8
例２ 已知s
4

= ，∈( ,),
5

4
5
cos =
5
− ，是第三象限角，求cos
13


4
5
− 的值．
解：由s = ，∈( ,),得cos = − 1 − 2 = − 1 − ( )2 = −
与其和角 α ＋ β 的三角函数值之间的关系 ． 为方便起见 ， 我们把这三个公式都
叫做 和角公式 ．
类似地 ， Ｓ(α － β ) ， Ｃ(α － β ) ， Ｔ(α － β )都叫做 差角公式 ．
和 （ 差 ） 角公式中 ， α ， β 都是任意角 ． 如果令 α 为某些特殊角 ，
就能得到许多有用的公式 ． 你能从和 （ 差 ） 角公式出发推导出诱导公式
人教2019A版必修 第一册
高一数学复习知识点专题讲义课件
第五章
三角函数
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2021/12/8
学习目标
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)
2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正
切公式．(重点)
3．会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、
− =
2
×
2
− , cos
−5
4
5
=-
3 2
(− )
5
3
4

sin
4
(− )=
7 2
;
10
=
4
5

− cos
4

4
+ , tan

−
4
的值 ．
cos
=

+
4
2
4
×
2
5
−

4

4
= − sin
−

4
2
×
2
3 7 2
由公式 cos − 出发 ， 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
下面以公式 cos − 为基础来推导其他公式 ．
例如 ， 比较cos − 与cos + ，并注意到 α ＋ β 与
− 之间的联系 ： + ＝ − （ − ）则由公式 cos − ，
2021/12/8
不妨令 ≠ 2kπ＋β，k∈Z． 如图5.5.1，设单位
圆与轴的正半轴相交于点A（１，０），以轴非
负半轴为始边作角α，β，α—β， 它们的终边分别
与单位圆相交于点1 （cosα，sinα）， 1 （cosβ，
sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一个圆绕着
2 =(cos
− )2 +(sin − )2 ，
化简得:
cos − =cos +sin
当 = 2kπ＋β （k∈Z）时，容易证明上式仍然成立．
所以，对于任意角α，β有
cos − =cos +sin （Ｃ（α－β））
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，
2
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ 5 × 10 － 5 × 10 ＝－ 2 ，
π
∴α－β＝－4.
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课堂小结
1
两角和与差的余弦公式
名称
简记符号
两角差的余弦公式
C(α－β)
cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
cos(α－β)＝__________________
其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性
质叫做圆的旋转对称性．连接1 1 ，AP．若把扇
形OAP,绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点1 , 1
重合．根据圆的旋转对称性可知，
෢
෣
与
1 1 重合，从而， 所以AP＝1 1
2021/12/8
根据两点间的距离公式，得
cos − − 1 2 + s −
差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系．如果把特殊角换为任
意角β，那么任意角α与β的和 （或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么
关系呢？下面来研究这个问题．
2021/12/8
问题探究
１.两角差的余弦公式
如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正
弦、余弦吗？
下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
cos(α＋β)＝__________________
2021/12/8
公式
使用条件
2 两角和与差的正弦公式
公式
使用条件
名称
简记符号
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝__________________
sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
通过推导 ， 可以得到 ：
2021/12/8
ห้องสมุดไป่ตู้
+ =
+
1−
T(α + β )
− =
−
1+
T(α − β )
问题探究
公式 Ｓ (α ＋ β ) ， Ｃ(α ＋ β ) ， Ｔ(α ＋ β ) 给出了任意角 α ， β 的三角函数值
)
A．cos 100°
B．sin 100°
3
C． 2
1
D．2
【解析】
3
原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝ 2 .
【答案】
C
2021/12/8
π

3
2．已知 α 是锐角，sin α＝5，则 cos4＋α等于(


2
A．－ 10
2
B． 10
2
C．－ 5
2
D． 5
2021/12/8
)
如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 ．
解 ：（ １ ） 由公式 S（α － β ） ， 得
sin72°cos42°－ cos72°sin42°
=Sin(72°－ 42°)
=sin30°
1
=
2
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（2） 由公式 C（α +β ） ， 得
cos20°cos70°－ sin20°sin70°
1
5
10
5．已知 α，β 均为锐角，sin α＝ 5 ，cos β＝ 10 ，求 α－β.
【解】
5
10
∵α，β 均为锐角，sin α＝ 5 ，cos β＝ 10 ，
3 10
2 5
∴sin β＝ 10 ，cos α＝ 5 .
π
∵sin α<sin β，∴α<β，∴－2<α－β<0，
5
10 2 5 3 10
＝－13×5＋13×5
33
＝65.故选 A．
【答案】 A
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3－tan 15°
4．计算
＝________.
1＋ 3tan 15°
3－tan 15° tan 60°－tan 15°
【解析】
＝
＝tan 45°＝1.
1＋ 3tan 15° 1＋tan 60°tan 15°
【答案】
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有cos + =cos[ − − ]
＝cos − +sin −
=cos −sin
于是得到了两角和的余弦公式 ， 简记作 C（α ＋ β ） ．
cos + =cos −sin ．
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公式推导
上面得到了两角和与差的余弦公式 ． 我们知道 ， 用诱导公式五 （ 或六 ） 可以
3
【解析】 因为 α 是锐角，sin α＝5，
4
所以 cos α＝5，
所以
π

cos4＋α＝


【答案】
2021/12/8
B
2 4
2 3
2
2 ×5－ 2 ×5＝ 10 .故选 B．
3
5
3．已知锐角 α，β 满足 cos α＝5，cos(α＋β)＝－13，则 cos β 等于(
33
A．65
33
s − ＝ sin − cos ; （ S（α － β ） ）
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你能根据正切函数与正弦函数 、 余弦函数的关系 ， 从 Ｃ(α ± β ) ， Ｓ( α ± β ) 出
发 ， 推导出用任意角 α ， β 的正切表示 + ， − 的公式吗 ？
计算等．(难点)
4．熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆
用以及角的变换的常用方法．(易错点)
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提出问题
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达
到化简、求值或证明的目的．这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是
三角恒等变换．观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和 （或
实现正弦 、 余弦的互化 ． 你能根据 Ｃ （α ＋ β ） ， Ｃ （ α － β ） 及诱导公式五
（ 或六 ）， 推导出用任意角α ， β 的正弦 、 余弦表示 sin （ α ＋ β ）， sin（ α － β ）
的公式吗 ？
通过推导 ， 可以得到 ：
s + ＝ sin + cos，（ S（α ＋ β ） ）
B．－65
54
C．75
54
D．－75
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)
【解析】
3
5
因为 α，β 为锐角，cos α＝5，cos(α＋β)＝－13，
4
12
所以 sin α＝5，sin(α＋β)＝13.
所以 cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α
5 3 12 4
吗 ？ 你还能得到哪些等式
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典例解析
例3. 已知s =
3

− ，是第四象限角，求s
5
4
解 ： 由 s =
得cos = 1 −
所以 =
于是有s
=
2
4
×
2
5
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−

4
3
− ，是第四象限角，
5
2 =


3
5
1−
3
=
又由cos =
5
− ，是第三象限角，得
13
sin = − 1
− 2 = −
1
5 2
− (− ) =
13
所以cos − =cos +sin
3
5
=(− ) ×(−
33
65
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=−
5
4
12
)+( ) ×(− )
13
5
13
12
− ．
13
3
5
问题探究
(− )= ;
5
10

=
− 4
=
1+ 4
−1
1+
3
=
−4−1
3
1+(−4)
= −7
由以上解答可以看到 ， 在本题条件下有s

4
− = cos
α ， 此等式成立吗 ？ 若成立 ， 你会用几种方法予以证明?
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4
+ ． 那么对于任意角
称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).
2021/12/8
典例解析
例１ 利用公式cos − 证明：
（１）cos

−

= sin
（２）cos − = cos．
证明: (1)cos

−





= cos +sin sin
=0＋1×sin
=sin．
(2)cos − == cos +sin sin