最小公倍数和最大公因数的应用题归纳讲课稿

最⼩公倍数和最⼤公因数的应⽤题归纳讲课稿
最⼩公倍数与最⼤公因数典型的应⽤题汇总
⼀、解题技巧：
最⼤公因数解题技巧：
通常从问题⼊⼿，所求的数量处于⼩数（即处于除数、商、因数）的地位时，因为⼩数（即处于除数、商、因数）是⼤数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此时，所求的数量就处于因数的地位。

如果出现相同的（公有的）/最长的所求数量，即求他们的公因数/最⼤公因数的应⽤题。

最⼩公倍数解题技巧：
通常从问题⼊⼿，所求的数量处于⼤数（即处于被除数、被除数、积）的地位时，因为⼤数（即处于被除数、被除数、积）是⼩数（即处于除数、商、因数）的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。

如果出现相同的（公有的）/最⼩的所求数量，即求他们的公倍数/最⼩公倍数的应⽤题。

补充部分公式
⼩长⽅形个数=（⼤正⽅形边长÷⼩长⽅形长）×（⼤正⽅形边长÷⼩长⽅形的宽）
⼩正⽅形个数=（⼤长⽅形的长÷⼩正⽅形边长）×（⼤长⽅形的宽÷⼩正⽅形边长）
⼩长⽅体个数=（⼤正⽅体边长÷⼩长⽅体长）×（⼤正⽅体边长÷⼩长⽅体的宽）×（⼤正⽅体边长÷⼩长⽅体⾼）
⼩正⽅体个数=（⼤长⽅体边长÷⼩正⽅体边长）×（⼤长⽅体的宽÷⼩正⽅体边长）×（⼤长⽅体的⾼÷⼩正⽅体边长）
剩余定理
余数相同时，总数（被除数）=最⼩公倍数＋余数
缺数相同时，总数（被除数）=最⼩公倍数－缺数
植树问题公式
不封闭型：2、只有⼀端都栽
1、两端都栽间隔个数=株数
间隔个数=株数－1
株数=间隔个数＋1 株数=间隔个数
距离=⼀个间隔的长度×间隔个数距离=⼀个间隔的长度×间隔个数
3、两端都不栽
间隔个数=株数＋1
株数=间隔个数－1
距离=⼀个间隔的长度×间隔个数
封闭型：
间隔个数=株数
株数=间隔个数
距离=⼀个间隔的长度×间隔个数
封闭型再正⽅形边上栽，并且4个顶点都栽：
株数=（每边株数－1）×4
备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运⽤实质上是两端都栽树的植树问题，这类题通常先求⼀层／⼀段需要多少时间，再乘以段数即可
⼆、经典题⽬
1、⼀个⼤长⽅形长24厘⽶，宽18厘⽶，把它裁成若⼲个⼩正⽅形⽽没有剩余，如⼩正⽅形的边长最长，边长是多少厘⽶？最多能裁成多少个⼩正⽅形？
2、⼀个长⽅形的长6厘⽶，宽4厘⽶，⾄少要多少个这样的⼩长⽅形才能拼成⼀个⼤的正⽅形？此时，⼤的正⽅形的边长是多少厘⽶？
3、⼀个⼤长⽅体长24厘⽶，宽18厘⽶，⾼12厘⽶，把它裁成若⼲个⼩正⽅体⽽没有剩余，如⼩正⽅体的边长最长，正⽅体的棱长是多少厘⽶？最多能裁成多少个⼩正⽅体？
4、⼀个长⽅体的长6厘⽶，宽4厘⽶，⾼2厘⽶。

⾄少要多少个这样的⼩长⽅体才能拼成⼀个⼤的正⽅体？此时，⼤的正⽅体的棱长是多少厘⽶？
5、⼀路车5分钟发⼀次车，⼆路车6分钟发⼀次车，他们现在同时发车，⾄少要多少时间再次同时发车？
6、崔青青5天去⼀次图书馆，李幻霞3天去⼀次图书馆，修畅6天去⼀次图书馆，她们今天同时在图书馆，⾄少要多少天她们3⼈再次相遇？
7、五（3）班做早操，每6⼈⼀排或每7⼈⼀排，都能排成整排⽽没有剩余，五（3）班⾄少有多少⼈？
8、五（3）班做早操，每6⼈⼀排或每7⼈⼀排，都都剩余3⼈，五（3）班⾄少有多少⼈？（备注：最⼩公倍数与剩余定理题综合出题）
9、五（3）班做早操，每6⼈⼀排少3⼈，每7⼈⼀排剩余4⼈，五（3）班⾄少有多少⼈？（备注：最⼩公倍数与剩余定理题综合出题）
10、五（3）班分⽔果，桃⼦84个，苹果42个，平均分给每个同学正好分完⽽没有剩余。

五（3）班最多有多少⼈？
11、两根铁丝分别长72⽶、48⽶，把他们裁成相等的段数，正好裁完，⽽没有剩余，每段最长是多少⽶？
12、有⼀段路每8⽶栽⼀棵树，头尾都栽共栽了51棵。

如果改成5⽶⼀棵，⾄少⼏⽶有⼀棵不动？共有多少棵不动？（备注：最⼩公倍数与植树问题综合出题）
附加：
1、起步价问题
某城市根据不同的⽤⽔量采⽤不同的⾃来⽔收费标准，收费标准如下表：
（1）⼩明家五⽉份⽤⽔9⽴⽅⽶，应付⽔费多少元？
（2）⼩明家六⽉份付⽔费31.20元，算⼀算，他家六⽉份⽤了多少⽴⽅⽶⽔？
（3）抄表员七⽉⼀⽇到⼩明家抄⽔表时，⽔表上显⽰1363⽴⽅⽶，⼋⽉⼀⽇再次抄表时，⽔表上显⽰1384⽴⽅⽶。

⼩明家七⽉份需要付⽔费多少元？。