2019年最新高中物理竞赛辅导全套课件第11节 能均分定理 麦克斯韦速率分布 (共16张PPT)

N v2 f (v)dv
N
v1
速率在 [0, ∞ ] 范围内的分子
数显然就是分子总数 N

N f (v)dv N
0
分布函数的
归一化条件:

f (v)dv 1
0
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7.6.2 理想气体分子麦克斯 韦速率分布律
f (v) 4 π (

)3
2

e
v2 2kT
v
2
刚性多原子分子 (常温) i = 6 (3t+3r)
7.5.2 能量按自由度均分定理 气体分子平均平动动能
1 v2 ,
2
v2x

v2y

v2z

1 3
v2


3 2

v
2 x
3kT
2
1 2
vi2

1 2
kT
第7章 气体动理论
每个自由度上平均能量为: 1 kT
2
能量均分定理: 在温度为 T 的 平衡态下, 物质分子的每一个自 由度对应的能量平均值相等, 都 等于 kT/2.
解:
vp
2RT M
(1) T1 < T2
(2) B: 氧 R: 氢
例: 求速率在 [v1, v2] 区间内的分子的平均 速率
解:
vv1 v2

v v2
v1
f (v)dv
?
v v1v2 v
v2 v dN
v1
v2 dN

v1
v2 vN f (v)dv
v1

v2
........ ........
........
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小格总数 n, 红豆总数 N
每个红豆(或单个红豆每次)不能 确定落入哪个小格.
反复实验结果: 某个小格有红豆 落入的概率
i

lim
N
Ni N
注: 与测量工具和被测物都有关.
红豆总数与小格总数满足
n i
i 1
n
lim
N
f (v)dv
v1
v2 v f (v)dv
v1
v2 f (v)dv
v1
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7.6.4 气体分子速率分布的测定
1920年斯特恩从实验上证实了 速率分布定律.
φ
v
金
属
ω
ω
蒸 方向选择
L
屏
汽
速率选择
器
1934年我国物理学家葛正权用实 验测定了分子的速率分布.
第7章 气体动理论
在同一平衡态下, 理想 气体的三种统计速率有 固定的大小关系.
i = 5 (3t+2r)
氢, 氧, 氮等
位置 x y z

多原子分子
3. 刚体 方向
(常温)
0
y
自转角度
x
弹性分子还要考虑振动自 由度(v)
水分子, 甲烷等 i = 6 (3t+3r)
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气体分子自由度:
单原子分子 i = 3 (3t)
刚性双原子分子 (常温) i = 5 (3t+2r)
分子的平均能量 i kT
2
单原子分子: 3 kT
2
刚性双原子分子: 5 kT
2
刚性多原子分子: 6 kT
2
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第7章 气体动理论
能量均分定理: 在温度为 T 的 7.5.3 理想气体的内能
平衡态下, 物质分子的每一个 自由度对应的能量平均值都等 于 kT/2.
速率区间内的概率;
结论: 麦克斯韦速率分布曲线下 的任意面积等于分子出现在相应 速率区间内的概率, 或等于相应 速率区间内分子数占总分子数的
或速率在 [v1, v2] 区间内的分 百分比. 子数占总分子数的百分比.
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第7章 气体动理论
7.6.3 三个统计速率
3. 方均根速率
1. 最概然速率(最可几速率) d f (v) 0 dv
§7.5 能量均分定理 理想气体的内能
第7章 气体动理论
例: 气体分子
理想气体分子热运动能量:
平动+转动+振动能量 7.5.1 自由度
确定物体位置所需的独立坐标 数目, 记作 i
z
1. 质点 x y z
i = 3 (3t)
单原子分子 氦, 氩等
2. 刚性 细杆
位置 x y z
双原子分子
方向
(常温)
vp v v2
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§7.8 气体分子的平均碰撞次数 和平均自由程
维持平衡态的宏观性质 非平衡态向平衡态过渡
依赖
分子与分子的频繁碰撞
刚性球 模型
不能像讨论压强那
样将分子看成质点;
第7章 气体动理论
1. 平均碰撞次数 Z
单位时间内分子间碰撞的 次数的平均值. ·设分子有效直径 d , 某分 子以平均速率 v 运动, 而 其它分子都不动;
πM
M
v
v
p
v2
v
结论: 同种气体特定温度下
vp v v2
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1. 最概然速率
vp 1.41
RT M
2. 平均速率
v 1.60 RT M
3. 方均根速率
v2 1.73 RT M
f(v)
T1
T2
O
vp1 vp2
第7章 气体动理论
例: 如图: (1) 若图为同种气体不同温度下 的速率分布曲线, 问哪条曲线对应的温度 较高? (2) 若两条曲线分别对应同一温度 下氧气和氢气的速率分布曲线, 问哪条曲 线对应氧气, 哪条对应氢气?
dN f (v)dv与 v, dv 有关 N
速率分布函数 f (v) dN Ndv
意义: 分子在速率 v 附近的 单位速率区间(区间宽度为1) 内出现的概率(概率密度).
第7章 气体动理论
速率在 [v1, v2 ] 区间内的分子数:
N v2 N f (v)dv v1
速率在 [v1, v2 ] 区间内的分子数 占分子总数的百分比:
v
2. 平均自由程
·凡是中心位于管壁以内的分 子都与该分子进行碰撞.
分子在连续两次碰撞之间能自由 通过的路程的平均值.
单位时间内该分子与中心位于 管壁以内的其他分子碰撞次数
v 1
Z 2 π d 2n
为:
Z nvΔtd 2 nvπd 2
Δt
常温常压下约 10-8 ~ 10-7m.
理想气体内能: 所有分子热运 动能量总和, 包括分子平动动能, 转动动能, 分子内原子的振动动
分子的平均能量 i kT
能和原子之间的振动ห้องสมุดไป่ตู้能.
2
单原子分子: 3 kT
2
刚性双原子分子: 5 kT
2
刚性多原子分子: 6 kT
2
1 mol:
Emol

NA
i 2
kT

i 2
理想气体分子的平均能量
(4) i RT 2
1 mol 理想气体内能
(5) m 3 RT M2
质量为 m 的理想气体分子平 动动能总和
(6) m i RT M2
质量为 m 的理想气体内能
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§7.6 麦克斯韦速率分布
热力学系统的统计规律. 统计规律: (抛硬币, 掷色子) 大量偶然事件整体所遵从的规律.
2) 棕色斜线部分面积:
v2 f (v)dv N
v1
N
平衡态下, 分子出现在 [v1, v2] 速率
区间内的概率;
或速率在 [v1, v2] 区间内的分子数 占总分子数的百分比.
O v v+dv v1
v2
v
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第7章 气体动理论
2. 理论曲线分析
1) 蓝格小矩形面积: f (v)dv dN 3) 归一化条件 N
不能预测 能多次重复
抛硬币: 抛的次数越多, 出现正面 或反面的结果都越接近 50%. 伽尔顿板实验 ·每个红豆的落点完全是偶然的; ·少量红豆的分布明显有偶然性; ·大量红豆的分布呈现规律性. 涨落: 实际情况与统计平均之间 的偏差.
第7章 气体动理论
............ ........
........ ........
(A) 内能相等; (B) 分子的平均动能相同; (C) 分子的平均平动动能相同; (D) 分子的平均转动动能相同.
答: 分子的平均平动动能相同.
例: 指出下列各式的物理意义
(1) 1 kT 分子每个自由度上 2 分配的平均能量
(2) 3 kT 分子平均平动动能 2
第7章 气体动理论
(3) i kT 2
p nkT
kT 2 πd2p
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平均碰撞次数
Z 2 π d 2nv 平均自由程
v 1
Z 2 π d 2n
kT
2 πd2p
例: 求氢在标准状况下分 子的平均碰撞频率和平均 自由程. (设分子直径 d = 210-10 m)
解: v 8RT Mπ
第7章 气体动理论
2πkT
分子质量
k R 1.381023 J K1 NA
玻耳兹曼常数
1. 麦克斯韦速率分布律
f(v)
第7章 气体动理论
2. 理论曲线分析 1) 蓝格小矩形面积: f (v)dv dN
N 平衡态下, 分子出现在 [v, v+dv] 速率区间内的概率;