课标专用5年高考3年模拟A版2021高考数学专题四三角函数1三角函数的概念同角三角函数的基本关系式

专题四三角函数
【真题探秘】
4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
探考情悟真题
【考情探究】
考点内容解读
5年考情预测热
度考题示例考向关联考点
三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式①了解任意角的概念和弧度制的概
念;
②能进行弧度与角度的互化;
③理解任意角三角函数(正弦、余
弦、正切)的定义;
④理解任意角三角函数的基本关系
式:sin2x+cos2x=1,sss x
sss x
=tanx;
⑤能利用单位圆中的三角函数线推导
出s
2
±α,π±α的正弦、余弦、正
切的诱导公式
2018课标Ⅱ,15,5
分
利用同角三角函
数的基本关系式
求值
两角和的
正弦公式
★★
★
2016课标Ⅲ,5,5分
利用同角三角函
数的基本关系式
求值
二倍角公式
分析解读 1.三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式与诱导公式是高考考查的重点内容,单独命题的
概率较低.2.常与两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式相联系,用于求值和化简.3.本节内容常以选择题、填空题的形式出现,偶尔也会出现在解答题中,分值大约为5分,因此在高考备考中要给予高度重视.
破考点练考向
【考点集训】
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
1.(2020届四川资阳一诊,9)已知角α的顶点在坐标原点O,始边与x 轴的非负半轴重合,将α的终边按顺时针方向旋转π
4后经过点(3,4),则sin2α=( ) A.-12
25
B.-7
25
C.7
25
D.24
25
答案 B
2.(2020届宁夏顶级名校第一次月考,2)已知tanα=-3,α是第二象限角,则sin (π
2+α)=( )
A.-
√10
10
B.-
3√1010
C.
√10
5
D.
2√55
答案 A
3.(2019河北唐山二模,4)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上一点A(2sinα,3) (sinα≠0),则cosα=( ) A.1
2
B.-1
2
C.√3
2
D.-√3
2
答案 A
4.(2019晋冀鲁豫名校期末联考,6)若sin (s +3π2
)=35,且α是第三象限角,则cos (s +
2019π2
)=( )
A.3
5
B.-3
5
C.4
5
D.-4
5
答案 D
5.(2019湖南衡阳一中月考,5)已知α是第三象限角,且|cos s 3|=-cos s 3,则s
3是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
答案 C
6.(2020届甘肃会宁第一中学第一次月考,13)已知扇形的圆心角为3
2,半径为2,则圆心角所对的弧长为 . 答案 3
炼技法 提能力 【方法集训】
方法 同角三角函数基本关系式的应用技巧
1.(2019湖北武汉4月调研,3)若角α满足sin s
1-cos s =5,则1+cos s sin s
=( )
A.1
5
B.5
2
C.5或1
5
D.5
答案 D
2.(2018课标全国Ⅰ文,11,5分)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点
A(1,a),B(2,b),且cos2α=2
3
,则|a-b|=( )
A.1
5B.√5
5
C.2√5
5
D.1
答案 B
3.(2019广东惠州二调,9)已知sinx+cosx=1
5
,x∈[0,π],则tanx的值为( )
A.-3
4B.-4
3
C.±4
3
D.-3
4
或-4
3
答案 B
【五年高考】
A组统一命题·课标卷题组
1.(2016课标Ⅲ,5,5分)若tanα=3
4
,则cos2α+2sin2α=()
A.64
25B.48
25
C.1
D.16
25
答案 A
2.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.
答案-1
2
B 组 自主命题·省(区、市)卷题组
1.(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sinα=1
3,则cos(α-β)= .
答案 -7
9
2.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-4
5). (1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=5
13,求cosβ的值.
解析 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力. (1)由角α的终边过点P (-3
5,-4
5)得sinα=-4
5, 所以sin(α+π)=-sinα=45.
(2)由角α的终边过点P (-3
5,-4
5)得cosα=-3
5,
由sin(α+β)=5
13
得cos(α+β)=±12
13
.
由β=(α+β)-α得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα, 所以cosβ=-56
65或cosβ=16
65.
思路分析 (1)由三角函数的定义得sinα的值,由诱导公式得sin(α+π)的值.
(2)由三角函数的定义得cosα的值,由同角三角函数的基本关系式得cos(α+β)的值,由两角差的余弦公式得cosβ的值.
C 组 教师专用题组
(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m=(√2
2,-√2
2),n=(sinx,cosx),x∈(0,π
2). (1)若m⊥n,求tanx 的值; (2)若m 与n 的夹角为π
3,求x 的值. 解析 (1)因为m⊥n, 所以m·n=√2
2sinx-√2
2cosx=0, 即sinx=cosx,又x∈(0,π
2), 所以tanx=sin s
cos s =1.
(2)易求得|m|=1,|n|=√sin 2x +cos 2x =1.
因为m 与n 的夹角为π
3
,
所以
cos π3=s ·s |s |·|s |=√22sin s -√2
2
cos s 1×1=12
.
则√2
2sinx-√2
2cosx=sin (s -π
4)=1
2. 又因为x∈(0,π
2),所以x-π
4∈(-π4
,π
4).
所以x-π4
=π
6,解得x=
5π12
.
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2020届湖南长沙一中月考,5)如图,点A 为单位圆上一点,∠xOA=π
3,点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点 B (-√22,√2
2
),则sinα=( )
A.
-√2+√6
4
B.
√2-√6
4
C.
√2+√6
4
D.-
√2+√6
4
答案 C
2.(2020届四川五校联考,4)已知sinα+√3cosα=2,则tanα=( ) A.√3
3
B.√3
C.-√3
3
D.-√3
答案 A
3.(2019江西九江一模,3)若sinx<0,且sin(cosx)>0,则角x 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
答案 D
4.(2019广东东莞第一次统考,6)函数y=log a (x+4)+2(a>0且a≠1)的图象恒过点A,且点A 在角θ的终边上,则sin2θ=( ) A.-513 B.5
13 C.-1213 D.12
13
答案 C
5.(2019河北六校第三次联考,5)若sinα是方程5x 2
-7x-6=0的根,则
sin (-s -32
π)sin (
3π
2
-α)tan 2(2π-s )cos (π2-α)cos (π
2
+α)sin(π+s )
=( )
A.3
5
B.5
3
C.4
5
D.5
4
答案 B
6.(2018山西康杰中学等五校3月联考,4)已知tanθ=2,则sin s +cos s
sin s
+sin 2
θ的值为( )
A.19
5
B.16
5
C.23
10
D.17
10
答案 C
7.(2018湖北襄阳四校3月联考,8)△ABC 为锐角三角形,若角θ的终边过点P(sinA-cosB,cosA-sinC),则sin s
|sin s |+cos s
|cos s |+tan s
|tan s |的值为( ) A.1
B.-1
C.3
D.-3
答案 B
8.(2019湖南怀化一模,9)已知圆O 与直线l 相切于点A,点P,Q 同时从点A 出发,P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动,当Q 运动到点A 时,点P 也停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S 1,S 2的大小关系是( )
A.S 1=S 2
B.S 1≤S 2
C.S 1≥S 2
D.先S 1<S 2,再S 1=S 2,最后S 1>S 2
答案 A
二、填空题(每小题5分,共15分)
9.(2019安徽五校联盟第二次联考,14)设θ为第二象限角,若tan (s +π
4)=1
2,则cosθ= .
答案 -3√1010
10.(2019江西金太阳联考卷(六),15)已知sinα和cosα是方程4x 2
+2√6x+m=0的两个实数根,则sin 3
α-cos 3
α= . 答案 ±
5√28
11.(命题标准样题,12)已知tanα=√2
2,则cos s -sin s
cos s +sin s = ;cos2α= . 答案 3-2√2;1
3 三、解答题(共25分)
12.(2020届甘肃会宁第一中学第一次月考,17)已知tanα=2. (1)求3sin s +2cos s sin s -cos s
的值;
(2)求
cos(π-s )cos (π
2
+α)sin (s -
3π2
)sin(3π+s )sin(s -π)cos(π+s )
的值.
解析 (1)
3sin s +2cos s sin s -cos s
=3tan s +2tan s -1=
3×2+22-1
=8.
(2)cos(π-s )cos (π2
+α)sin (s -
3π2
)sin(3π+s )sin(s -π)cos(π+s ) =(-cos s )(-sin s )cos s
(-sin s )(-sin s )(-cos s )=-cos s
sin s =-1
tan s =-1
2.
13.(2020届宁夏顶级名校第一次月考,18)如图,在直角坐标系xOy 中,角α的顶点是原点,始边与x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈(π
6,π
2).将角α的终边按逆时针方向旋转π
3,交单位圆于点B.A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). (1)若x 1=1
4,求x 2;
(2)分别过A,B 作x 轴的垂线,垂足依次为C,D.记△AOC 的面积为S 1,△BOD 的面积为S 2.若S 1=2S 2,求角α的值.
解析 (1)由三角函数的定义,得x 1=cosα,x 2=cos (s +π
3).
∵α∈(π6,π2),cosα=14,∴sinα=√1-cos 2α=√1-(14)2=√15
4.(3分)
∴x 2=cos (s +π3)=12cosα-√32sinα=12×14-√3
2×
√154=1-3√5
8
.(6分)
(2)由已知,得y 1=sinα,y 2=sin (s +π
3),
∴S 1=12
x 1·y 1=12
cosα·sinα=1
4
sin2α,(7分)
S 2=12|x 2|·|y 2|=12[-cos (s +π3)·sin (s +π
3)] =-1
4
sin (2s +
2π3
).(9分)
由S 1=2S 2,得sin2α=-2sin (2s +
2π3
)⇒cos2α=0.(11分)
又α∈(π
6,π
2),∴2α∈(π
3,π),∴2α=π
2⇒α=π
4.(12分)。