离散时间信号与系统

l 0
l 0
❖ y[-1]称为初始条件
滑动平均滤波器
❖ 重复测量可以较低噪声对测量的干扰 ❖ 在无法重复测量的情况下:
利用n-M+1<=l<=n的M个检测的受到噪声影响 的数据x[l]按照下式求M点均值y[n]:
y[n]
1
M 1
x[n l]
M l0
滑动平均滤波器
❖ 误差估计:标准方差
n
❖ 线性内插器定义的离散时间系统不是因果系 统
稳定系统
❖ 系统是稳定的,当有界的输入产生有界的输出 时 ❖ BIBO:有界输入产生有界输出 ❖ 即:
当对于所有的n,有|x[n]|<Bx, 则对于所有的n,有|y[n]|<By ❖ P61 例2.18 例2.19
无源和无损系统
❖ 无源离散系统:输出序列的能量不能超过输入 序列的能量
❖ 在LTI系统中:若知道了冲激响应h[n],就可以知 道系统对任意输入的输出响应 ❖ 输入输出的卷积公式 (P63推导)
y[n] x[n] h[n]
❖ P63 例2.24 ❖ P64 例2.25
卷积和
卷积运算的性质
❖ 交换x1[n] x2[n] x2[n] x1[n]
率
❖
结合x1[n] x2[n] x3[n] x1[n] x2[n] x3[n]
离散时间信号与系统..
抽样过程
x[n] xa (t) tnT xa (nT )
n 2n
t nT FT T
FT
1 T
2F
xa t Acos0t
x[n] Acos(0n )
P52 例2.11 演示
混叠
❖ 连续时间正弦族:
xa,k t Acos(0t kTt)
k 0,1,2,
❖ 意义:保证对于一个给定的输入信号,系统相应 的输出独立于输入信号的时刻
❖ P60 例2.17 时变系统
因果系统
❖ 在系统中,第n0个输出样本y[n0]仅仅依赖于所 有n<=n0的输入样本x[n],而不依赖于n>n0的输 入样本。
❖ 在因果系统中输出的变化并不先于输入的变 化(输入和输出的抽样率相同)
有限维LTI离散时间系统
❖ 可用线性常系数差分方程描述的子类:
N
M
dk y[n k] pk x[n k]
k 0
k 0
❖ 把y[n]表示成x[n]的函数:
N
y[n]
dk y[n k] M
pk x[n k]
d k 1 0
d k 0 0
❖ 若已知x[n]和初始条件y[n0-1],y[n0-2],…y[n0N],则可计算出所有n>=n0的输出y[n]。
❖ 当且仅当{h[n]}是满足下式的因果序列时,LTI 离散时间系统才是因果系统 h[k] = 0,k<0
❖ 级联 ❖ 并联
简单的互连方案
级联(图2.33)
❖ 两个系统是级联的:一个LTI离散时间系统的输出 作为另一个LTI离散时间系统的输入 ❖ 级联后的冲激响应是原两个系统冲激响应的卷积
h[n] h1[n] h2[n]
信号的相关
❖ 相关性:用来确定信号间的相似程度 ❖ 互相关:
rxy[l] x[n]y[n l] n
l 0,1,2,
M 1
(x[n l] y[n])2
l 0
M
❖ 有界性:原序列的取值有界 ❖ M的大小对处理结果的影响
滑动平均滤波器
❖ 化简: y[n] y[n 1] 1 (x[n] x[n M ]) M
❖ 例2.13
指数加权的移动平均滤波器
❖ 加权原则:权值的大小和距离成反比
y[n] y[n 1] x[n] 0 1
❖ 即: y[Leabharlann ] 2 xn2nn
❖ 无损系统:上式等号成立 ❖ P62 例2.20
冲激和阶跃响应
❖ 单位抽样响应:输入单位抽样序列时数字滤波 器的输出,简称冲激响应——{ h[n] }
❖ 单位阶跃响应:输入单位阶跃序列时数字滤波 器的输出,简称阶跃响应——{ s[n] }
❖ LTI(线性时不变系统)数字滤波器在时域中可 以通过冲激响应或阶跃响应完全描述
❖ 无限冲激响应(IIR)(因果)
n
y[n] x[k]h[n k] k 0
基于输出计算过程的分类
❖ 非递归离散时间系统:依靠当前和过去时刻的 输入样本来计算
❖ 递归离散时间系统:还需过去时刻的输出样本 ❖ 滑动平均模型(MA) ❖ 自回归模型(AR) ❖ 自回归滑动平均模型(ARMA)
三种模型
❖ 数字滤波器:处理数字信号的离散时间系统
离散时间系统举例
❖ 累加器 ❖ 滑动平均滤波器 ❖ 指数加权的移动平均滤波器 ❖ 线形内插器 ❖ 中值滤波器
累加器
n
y[n] x[l] y[n 1] x[n] l
1
n
n
y[n] x[l] x[l] y[1] x[l] n 0
l
N
h[n] i i n i i n
n0
n0 i1
i 1
n0
❖ BIBO稳定的充要条件:特征方程的每一个
根的幅度都小于1
LTI离散系统的分类
❖ 基于冲激响应长度的分类 ❖ 基于输出计算过程的分类 ❖ 基于冲激响应系数的分类
基于冲激响应长度的分类
❖ 有限冲激响应(FIR)
N2
y[n] h[k]x[n k] k N1
冲激响应
❖ 在时域中,用冲激响应{h[n]}可以完全描述LTI 离散时间系统的特性
❖ 可以利用卷积公式计算任何给定输入产生的 输出
❖ 输入序列和冲激响应一般是有限长的 ❖ 当冲激响应是无限序列时,利用等效系统来分
析 ❖ P64 例2.26 例2.27
用matlab计算卷积
❖ 函数:
conv input length disp stem
用列表法计算卷积和
❖ 例2.29
用冲激响应表示的稳定条件
❖ 离散时间系统的BIBO稳定性:对所有有界输 入序列{x[n]},系统的输出序列{y[n]}仍保持有界 ❖ LTI系统的稳定条件:
S h[n] n
❖ 对复冲激响应序列也成立 ❖ P69 例2.31 例2.33
用冲激响应表示因果性条件
用matlab计算冲激和阶跃响应
❖ 函数impz ❖ 函数stepz ❖ 例2.44
根据特征方程的根确定BIBO稳定性
❖ 观察:稳定LTI系统的冲激响应的样本随着时 间序号n的变大而衰减到零值 ❖ 观察:稳定LTI系统的阶跃响应的样本随着n变 大而趋于某个恒定值 ❖ 如何确定一个系统的稳定性？
N
❖ 逆系统
h1[n] h2[n] [n]
并联(图2.34)
❖ 同样的输入分别经过两个LTI离散时间系统,然 后把两个输出加起来形成新的输出 ❖ 多个并联则冲激响应为各冲激响应的和
m
h[n] hk[n] k 0 ❖ 若各系统是稳定的,则并联系统也是稳定的 ❖ 若各系统是无源(无损)的,则并联系统也是
❖ P62 例2.21 例2.22 例2.23
LTI离散时间系统的时域特性
❖ LTI两大特性:线性和时不变 ❖ LTI离散时间系统可以看成多个简单子系统的
互连 ❖ 讨论步骤:
输出序列可表示成冲激响应序列与输入序列的 卷积和 利用列表法计算有限长序列的卷积和 用冲激响应表示稳定性和因果性条件
输入输出关系
离散时间系统的分类
❖ 线性系统 ❖ 移不变系统 ❖ 因果系统 ❖ 稳定系统 ❖ 无源和无损系统
本书讨论的离散时间系统
线性系统
❖ 叠加原理:对于线性离散时间系统,若输入为 x1[n]和x2[n],系统输出为y1[n]和y2[n],则当输入为
x[n] x1[n] x2[n]
系统输出为:
y[n] y1[n] y2[n]
❖ 意义:在处理复杂序列时,可以将其砍成简单序 列的加权组合,然后分别进行处理 ❖ P59 例2.15线性系统和有条件线性系统
例2.16非线性系统
移不变特性
❖ 若y1[n]是输入x1[n]的响应,则当输入为 x[n]=x1[n-n0]时,对应的响应为y[n]=y1[n-n0]
❖ 在离散系统中:序数n与离散时刻关联,称为时 不变特性
❖ 滑动平均模型(MA):
M
y[n] pk x[n k] k 0
❖ 自回归模型(AR):
N
y[n] x[n] dk y[n k] k 0
❖ 自回归滑动平均模型(ARMA):
M
M
y[n] pk x[n k] dk y[n k]
k 0
k 0
基于冲激响应系数的分类
❖ 实离散时间系统 ❖ 复离散时间系统
计算冲激响应
❖ h[n]是当输入x[n]为单位脉冲序列时系统的输 出
❖ 此时:
是零状态响应 当n>0时x[n]=0,故特解是0
❖ 因此:可根据齐次解得到冲激响应 ❖ 例2.40
用matlab计算输出
❖ matlab函数filter ❖ 内部变量si[n] ❖ 初始条件: si[n]开始时刻的一组值 ❖ 零初始条件下:y=filter(p,d,x) ❖ 非零初始条件下:[y,sf]=filter(p,d,x,si) ❖ 例2.43
可以产生相同的抽样信号！
❖ 混叠:由较高频的连续正弦信号和较低频 的连续正弦信号抽样可以得到相同的离 散时间序列。 例2.12
离散时间系统
❖ 功能:对给定的输入序列进行处理得到输出序 列
❖ 处理过程:从时间序号n开始,随着n值的增加, 顺序产生输出序列: y[k] y[k+1] y[k+2] ……
全解计算
❖ 求解类似于常系数微分方程:齐次解和特解 ❖ 齐次解:输入x[n]=0时为齐次差分方程的解yc ❖ 特解:某一特定输入x[n]得到的输出yp ❖ 全解=齐次解+特解 ❖ 特解一般设为与特定输入x[n]有相同的形式 ❖ 例2.37
零输入响应和零状态响应
❖ yzi[n]:输入x[n]为0时的解 ❖ yzs[n]:初始条件为0并运用给定输入时的解 ❖ 全解 = yzi[n] + yzs[n] ❖ 例2.39
❖ 加权原则的证明
线性内插器
❖ 用于估计离散序列中相邻的一对样本值之间 的样本值得大小
❖ 做法:
上抽样 将上抽样的零值处填入线性内插值
❖ 双线性内插
y[n]
x [n]
x [n
1] 2
x [n
1]
❖ 应用:图像放大
中值滤波器
❖ 中值的定义: 在大小为2k+1的数据集合中,存在这样一
个数据,有k个数据大于该数,剩下k个数据小于 该数。 ❖ 中值滤波器:在输入序列上滑动的一个长度为 奇数的窗口来实现 ❖ 使用方法 ❖ 用途:处理加性随机突发噪声 程序2_5
率
❖ 分x1[配n] x[n]2 x3[n] x1[n] x2[n] x1[n] x3[n]
率
卷积运算的操作
y[n] x[k]h[n k] k
1. 将h[k]时间反转得到h[-k] 2. 将h[-k]平移形成序列h[n-k] 3. 形成乘积序列v[k]=x[k]h[n-k] 4. 将v[k]的全部样本值求和得到卷积和y[n] 的第n个样本