高考物理万有引力与航天的基本方法技巧及练习题及练习题(含答案)及解析

高考物理万有引力与航天的基本方法技巧及练习题及练习题(含答案)及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．据报道，一法国摄影师拍到“天宫一号”空间站飞过太阳的瞬间．照片中，“天宫一号”的太阳帆板轮廓清晰可见．如图所示，假设“天宫一号”正以速度v =7.7km/s 绕地球做匀速圆周运动，运动方向与太阳帆板两端M 、N 的连线垂直，M 、N 间的距离L =20m ，地磁场的磁感应强度垂直于v ，MN 所在平面的分量B =1.0×10﹣5 T ，将太阳帆板视为导体．
（1）求M 、N 间感应电动势的大小E ；
（2）在太阳帆板上将一只“1.5V 、0.3W”的小灯泡与M 、N 相连构成闭合电路，不计太阳帆板和导线的电阻．试判断小灯泡能否发光，并说明理由；
（3）取地球半径R =6.4×103 km ，地球表面的重力加速度g = 9.8 m/s 2，试估算“天宫一号”距离地球表面的高度h （计算结果保留一位有效数字）． 【答案】（1）1.54V （2）不能（3）5410m ⨯ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）法拉第电磁感应定律
E=BLv
代入数据得
E =1.54V
（2）不能，因为穿过闭合回路的磁通量不变，不产生感应电流． （3）在地球表面有
2Mm
G
mg R
= 匀速圆周运动
2
2
()Mm v G m R h R h
=++ 解得
2
2gR h R v
=-
代入数据得
h ≈4×105m
【方法技巧】
本题旨在考查对电磁感应现象的理解，第一问很简单，问题在第二问，学生在第一问的基础上很容易答不能发光，殊不知闭合电路的磁通量不变，没有感应电流产生．本题难度不
大，但第二问很容易出错，要求考生心细，考虑问题全面．
2．a 、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R ，己知地球半径为R ，表面的重力加速度为g ，试求： （1）a 、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a 、b 两颗卫星速度之比是多少？
（3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】（1
）2
，16（2）速度之比为2
【解析】
【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解；
解：（1）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， 对地面上的物体由黄金代换式2Mm
G
mg R
= a 卫星2
2
24a
GMm m R R T π=
解得2a T =b 卫星
2
224·4(4)b
GMm m R R T π=
解得16b T = （2）卫星做匀速圆周运动，F F =引向，
a 卫星2
2
a mv GMm R R
=
解得a v =
b 卫星b 卫星2
2
(4)4Mm v G m R R
=
解得v 4b GM
R
=
所以 2a
b
V V = （3）最远的条件22a b
T T πππ-= 解得87R t g
π=
3．已知地球同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球半径为R ，地球视为均匀球体，两极的重力加速度为g ，引力常量为G ，求： （1）地球的质量；
（2）地球同步卫星的线速度大小．
【答案】(1) G
gR M 2
= (2)7
gR
v = 【解析】 【详解】
（1）两极的物体受到的重力等于万有引力，则
2
GMm
mg R
= 解得
G
gR M 2
=； （2）地球同步卫星到地心的距离等于地球半径的7倍，即为7R ，则
()
2
2
77GMm
v m R
R =
而2
GM gR =，解得
7
gR
v =
.
4．某双星系统中两个星体 A 、B 的质量都是 m ，且 A 、B 相距 L ，它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期 T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值 T 0，且= k (
） ，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星体 C 的影响，并认
为 C 位于双星 A 、B 的连线中点．求： (1)两个星体 A 、B 组成的双星系统周期理论值； (2)星体C 的质量．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】
(1)两星的角速度相同,根据万有引力充当向心力知:
可得：
两星绕连线的中点转动,则
解得：
(2)因为C的存在,双星的向心力由两个力的合力提供,则
再结合： k
可解得：
故本题答案是：（1）；（2）
【点睛】
本题是双星问题,要抓住双星系统的条件:角速度与周期相同,再由万有引力充当向心力进行列式计算即可.
5．2016年2月11日，美国“激光干涉引力波天文台”（LIGO）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13亿光年之外一个双黑洞系统的合并．已知光在真空中传播的速度为c，太阳的质量为M0，万有引力常量为G．
（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26倍和39倍，合并后为太阳质量的62倍．利用所学知识，求此次合并所释放的能量．
（2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在．假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体．
a．因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在．天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T，半径为r0的匀速圆周运动．由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞．利用所学知识求此黑洞的质量M；b．严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿
力学体系预言过黑洞的存在．我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m 1、m 2的质点相距为r 时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为12
p m m E G
r
=-（规定无穷远处势能为零）．请你利用所学知识，推测质量为M′的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径R 最大不能超过多少？
【答案】（1）3M 0c 2（2）23
2
4r M GT
π=；22GM R c '＝ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）合并后的质量亏损
000(2639)623m M M M ∆=+-=
根据爱因斯坦质能方程
2E mc ∆=∆
得合并所释放的能量
203E M c ∆=
（2）a ．小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m 根据万有引力定律和牛顿第二定律
2
0202Mm G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
解得
23
02
4r M GT
π= b ．设质量为m 的物体，从黑洞表面至无穷远处；根据能量守恒定律
2102Mm mv G R ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭ 解得
2
2GM R v '
=
因为连光都不能逃离，有v =c 所以黑洞的半径最大不能超过
2
2GM R c
'
=
6．我国的火星探测器计划于2020年前后发射，进行对火星的科学研究．假设探测器到了火星上空，绕火星做匀速圆周运动，并测出探测器距火星表面的距离为h ，以及其绕行周期T 和绕行速率V ，不计其它天体对探测器的影响，引力常量为G ，求： (1)火星的质量M ．
(2)若4TV
h π
=
，求火星表面的重力加速度g 火大小．
【答案】（1）3
2TV M G
π= （2）8=V g T π火
【解析】
(1)设探测器绕行的半径为r ，则：2r
T V
π= 得：2TV
r π
=
设探测器的质量为m ，由万有引力提供向心力得：2
2
GMm V m r r = 得：3
2TV M G
π=
(2)设火星半径为R ，则有r R h =+ 又4TV h π=
得：4TV
R π
= 火星表面根据黄金代换公式有：2=GM
g R
火 得：8=
V
g T
π火 【点睛】（1）根据周期与线速度的关系求出半径，再根据万有引力提供向心力求解火星质量；
（2）根据黄金代换公式可以求出．
7．在物理学中，常常用等效替代、类比、微小量放大等方法来研究问题．如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G 的数值，如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图．卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量”的实验，因为由G 的数值及其它已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个称量地球的人．
（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m 1、m 2相距为r 的两个小球之间引力的大小为F ，求万有引力常量G ；
（2）若已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，万有引力常量为G ，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式．
【答案】（1）万有引力常量为2
12
Fr G m m =．
（2）地球质量为2R g
G
，地球平均密度的表达式为34g RG ρπ=
【解析】 【分析】
根据万有引力定律12
2
m m F G
r =，化简可得万有引力常量G ； 在地球表面附近的物体受到重力等于万有引力2
Mm
G mg R =，可以解得地球的质量M ，地球的体积为343V R π=，根据密度的定义M V
ρ=，代入数据可以计算出地球平均密度． 【详解】
（1）根据万有引力定律有：
12
2m m F G
r
= 解得：
2
12
Fr G m m =
（2）设地球质量为M ，在地球表面任一物体质量为m ，在地球表面附近满足：
2
Mm
G
mg R = 得地球的质量为： 2R g
M G
=
地球的体积为：34
3
V R π=
解得地球的密度为：
34g
RG
ρπ=
答：（1）万有引力常量为2
12
Fr G m m =．
（2）地球质量2R g
M G
=
，地球平均密度的表达式为34g
RG
ρπ=
．
8．我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。

量子卫星成功运行后，我国已首次实现了卫星和地面之间的量子通信，成功构建了天地体化的量子保密通信与科学实验体系。

假设量子卫星轨道在赤道平面， 如图所示。

已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m 倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，图中P 点是地球赤道上一点，求量子卫星的线速度与P 点的线速度之比。

【答案】
【解析】试题分析：研究量子卫星和同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，求出两颗卫星的线速度；研究地球赤道上的点和同步卫星，具有相等角速度，求P点的线速度，从而比较量子卫星的线速度与P点的线速度之比。

设地球的半径为R，对量子卫星，根据万有引力提供向心力
则有：，又
解得：
对同步卫星，根据万有引力提供向心力
则有：，又
解得：
同步卫星与P点有相同的角速度，则有：
解得：
则量子卫星的线速度与P点的线速度之比为
【点睛】求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．
9．“场”是除实物以外物质存在的另一种形式，是物质的一种形态．可以从力的角度和能量的角度来描述场．反映场力性质的物理量是场强．
（1）真空中一个孤立的点电荷，电荷量为+Q，静电力常量为k，推导距离点电荷r处的电场强度E的表达式．
（2）地球周围存在引力场，假设地球是一个密度均匀的球体，质量为M ，半径为R ，引力常量为G ．
a ．请参考电场强度的定义，推导距离地心r 处（其中r ≥R ）的引力场强度E 引的表达式．
b ．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．推导距离地心r 处（其中r ＜R ）的引力场强度E 引的表达式． 【答案】（1）2kQ
E r =（2）a ． 2GM E r =引 b ． 3
GM E r R =引
【解析】 【详解】 （1）由F E q =
，2qQ F k r
= ，得 2kQ
E r = （2）a ．类比电场强度定义，
F E m
=万引，由2
GMm
F r =万， 得 2
GM
E r =
引 b ．由于质量分布均匀的球壳对其内部的物体的引力为0，当r ＜R 时，距地心r 处的引力场强是由半径为r 的“地球”产生的．设半径为r 的“地球”质量为M r ，
3
3334433
r M r M r M
R R
ππ=⨯=． 得23r GM GM
E r r R
=
=引
10．“嫦娥四号”卫星从地球经地一月转移轨道，在月球附近制动后进入环月轨道，然后以大小为v 的速度绕月球表面做匀速圆周运动，测出其绕月球运动的周期为T ，已知引力常量G ，月球的半径R 未知，求： （1）月球表面的重力加速度大小； （2）月球的平均密度。

【答案】(1)2v g T π= (2)2
3GT π
ρ= 【解析】 【详解】
（1）在月球表面，万有引力等于重力，重力加速度等于向心加速度n g a =
g v ω=⋅
2T
π
ω=
以上各式联立得2v
g T
π=
（2）“嫦娥四号”卫星绕月球表面做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
222
4Mm R G m R T
π= 由密度公式：M V ρ=球
球体的体积公式为343
V R π=球 联立以上各式得23GT
πρ=。