线性分组码(7,4)码设计说明书
循环码(7,4)
第3 章 循环码编码和译码3.1 循环码概念循环码是线性分组码中一个重要的分支。
它的检、纠错能力较强，编码和译码设备并不复杂，而且性能较好，不仅能纠随机错误，也能纠突发错误。
循环码是目前研究得最成熟的一类码，并且有严密的代数理论基础，故有许多特殊的代数性质，这些性质有助于按所要求的纠错能力系统地构造这类码，且易于实现，所以循环码受到人们的高度重视，在FEC 系统中得到了广泛应用。
3.1.1、循环码定义定义：一个线性分组码，若具有下列特性，则称为循环码。
设码字(3-1) 若将码元左移一位，得(3-2)A (1)也是一个码字。
注意：循环码并非由一个码字的全部循环移位构成。
3.1.2 循环码的特点表3-1列出了某（7，4）循环码的全部码组循环码有两个数学特征：1.线性分组码的封闭型：即如果c1，c2，是与消息m1，m2对应的码字，则c1+c2必定是与m1+m2对应的码字。
)...(0121a a a a A n n --=)...(10112)1(---=n n n a a a a a A2.循环性，即任一许用码组经过循环移位后所得到的码组仍为该许用码组集合中的一个码组。
即若（a n-1 a n-2 … a 1 a 0）为一循环码组，则（a n-2 a n-3 … a n a n-1）、（a n-3 a n-2 … a n-1 a n-2）、……还是许用码组。
也就是说，不论是左移还是右移，也不论移多少位，仍然是许用的循环码组。
以3号码组（0010111）为例，左移循环一位变成6号码组（0101110），依次左移一位构成的状态图如图1.1-2所示。
图3-1 （7，4）循环码中的循环圈可见除全零码组外，不论循环右移或左移，移多少位，其结果均在该循环码组的集合中（全零码组自己构成独立的循环圈）。
3.2 码多项式为了用代数理论研究循环码，可将码组用多项式表示，循环码组中各码元分别为多项式的系数。
长度为n 的码组)...(0121a a a a A n n --=用码多项式表示则为(3-3)式中，x 的幂次是码元位置的标记。
循环码(7,4)
8.4 循环码时间：2012年09月01日信息来源：《通信原理》精品课程网站点击：2452次我要评论(0) 【字体：大中小】循环码是线性分组码重要的一个子类，现有的重要线性分组码都是循环码或与循环码密切相关。
与其他大多数码相比，循环码的编码及译码易于用简单的具有反馈连接的移位寄存器来实现，这是它的优势所在。
另外，对它的研究是建立在比较严密的数学方法基础之上，因此比较容易获得有效的译码方案。
循环码在实际中应用很广。
8.4.1 循环码基本概念一个线性（）分组码，如果它的任一码字经过循环移位后（左移或右移），仍然是该码的一个码字，则称该码为循环码。
上一节中表8-3所示的（7，3）分组码就是一个循环码。
为了便于观察，将（7，3）码重新排列如表8-9所示。
表8-9 循环码的循环移位在代数编码理论中，常用多项式（8.4-1）来描述一个码字。
表8-9中的任一码组可以表示为（8.4-2）这种多项式中，仅是码元位置的标记，因此我们并不关心x的取值，这种多项式称为码多项式。
例如，码字（0100111）可以表示为（8.4-3）左移一位后为（1001110），其码字多项式为（8.4-4）需要注意的是，码字多项式和一般实数域或复数域的多项式有所不同，码字多项式的运算是基于模二运算的。
（1）码多项式相加，是同幂次的系数模二加，不难理解，两个相同的多项式相加，结果系数全为0。
例如（8.4-5）（2）码多项式相乘，对相乘结果多项式作模二加运算。
例如（8.4-6）（3）码多项式相除，除法过程中多项式相减按模二加方法进行。
当被除式的幂次高于等于除式的幂次，就可以表示为一个商式和一个分式之和，即（8.4-7）其中余式的幂次低于的幂次。
把称作对取模的运算结果，并表示为（8.4-8）有了这个运算规则，就可以很方便地表示一个移位后码字多项式。
可以证明，字长为的码字多项式和经过次左移位后的码字多项式的关系为（8.4-9）例如，（7，3）循环码的码字（1001110），其多项式为，移位3次后的多项式可求得如下：（8.4-10）即，它对应的码字为11101008.4.2 循环码生成多项式由表8-9可知，（7，3）循环码的非0码字多项式是由一个多项式分别乘以得到的。
线性分组码
线性分组码一、原理：监督矩阵：线性分组码()k n ，中许用码组为k 2个。
定义线性分组码的加法为模二加法，乘法为二进制乘法。
即011=+、101=+、110=+、000=+；111=⨯、001=⨯、000=⨯、010=⨯。
且码组与码组的运算在各个相应比特位上符合上述二进制加法运算规则。
线性分组码具有如下性质()k n ，的性质：1. 封闭性。
任意两个码组的和还是许用的码组。
2. 码的最小距离等于非零码的最小码重。
对于码组长度为n 、信息码元为k 位、监督码元为k n r -=位的分组码，常记作()k n ，码，如果满足n r ≥-12，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。
下面我们通过（7，4）分组码的例子来说明如何具体构造这种线性码。
设分组码()k n ，中，4=k ，为能纠正一位误码，要求3≥r 。
取3=r ，则7=+=r k n 。
该例子中，信息组为()3456a a a a ,码字为()0123456a a a a a a a 。
用1S ，2S ，3S 的值与错码位置的对应关系可以规定为如表1所列。
由表中规定可知，当已知信息组时，按以下规则得到三个校验元，即：⎪⎩⎪⎨⎧⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=034631356224561aa a a S a a a a S a a a a S （式1.1）表1 错码位置示意表。
在发送端编码时，信息位6a ，5a ，4a 和3a 的值决定于输入信号，因此它们是随机的。
监督位2a ，1a 和0a 应根据信息位的取值按监督关系来确定，即监督位应使上三式中1S ，2S 和3S 的值为零（表示编成的码组中应无错码）。
由上式经移项运算，解出监督位：⎪⎩⎪⎨⎧⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕=346035614562aa a a a a a a a a a a （式1.2）给出信息位后，可直接按上式算出监督位，其结果见表2。
接收端收到每个码组后先按式(1.1)计算出1S ，2S 和3S ，再按表1判断错码情况。
matlab(74)汉明码和(74)循环码的编程设计
二、创新实验设计创新实验一：（7,4）汉明码的编码与译码实现1、实验目的实现（7,4）汉明码的编码与译码，通过这次实验不但加深了对汉明码编码和译码原理了解，而且对线性分组码有所了解。
2、实验原理线性分组码的构造方法比较简单、理论较为成熟，应用比较广泛。
汉明码是一种能够纠正一个错码的效率比较高的线性分组码，下面以（7,4）码为例就汉明码的编码与译码分别进行介绍：（1）编码原理一般来说，若汉明码长为n ，信息位数为k ，则监督位数r=n-k 。
若希望用r 个监督位构造出r 个监督关系式来指示一位错码的n 种可能位置，则要求21r n -≥或211rk r -≥++ (1)设汉明码（n,k ）中k=4，为了纠正一位错码，由式（1）可知，要求监督位数r ≥3。
若取r=3,则n=k+r=7。
这样就构成了（7,4）码。
用6543210a a a a a a a 来表示这7个码元，用123s s s 的值表示3个监督关系式中的校正子，则123s s s 的值与错误码元位置的对应关系可以规定如表1所列。
表2.1 校正子和错码位置的关系则由表1可得监督关系式：16542s a a a a =⊕⊕⊕()226531s a a a a =⊕⊕⊕()3 36430s a a a a =⊕⊕⊕()4 在发送端编码时，信息位6543a a a a 的值决定于输入信号，因此它们是随机的。
监督位2a 、1a 、0a 应根据信息位的取值按监督关系来确定，为使所编的码中无错码，则123,,S S S 等于0，即65426531643000(5)0a a a a a a a a a a a a ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩方程组（5）可等效成如下矩阵形式6543210111010001101010010110010a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（6）式(6)可简化为0T T HA =，H 为监督矩阵，则由式(6)可得到监督矩阵11101001101010=[P I ] (7)1011001r H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为生成矩阵'=[I Q]=[I ]k k G P ，所以由(7)得生成矩阵G 如下：[]k 10001110100110[']00101010001011k G I Q I P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦然后利用信息位和生成矩阵G 相乘产生整个码组，即有[][]65432106543=(8)A a a a a a a a a a a a G=其中A 为整个码组矩阵，6543a a a a 是信息位。
(完整word版)matlab(7,4)汉明码和(7,4)循环码的编程设计
二、创新实验设计创新实验一：（7,4）汉明码的编码与译码实现1、实验目的实现（7,4）汉明码的编码与译码，通过这次实验不但加深了对汉明码编码和译码原理了解，而且对线性分组码有所了解。
2、实验原理线性分组码的构造方法比较简单、理论较为成熟，应用比较广泛。
汉明码是一种能够纠正一个错码的效率比较高的线性分组码，下面以（7,4）码为例就汉明码的编码与译码分别进行介绍：（1）编码原理一般来说，若汉明码长为n ，信息位数为k ，则监督位数r=n-k 。
若希望用r 个监督位构造出r 个监督关系式来指示一位错码的n 种可能位置，则要求21r n -≥或211rk r -≥++ (1)设汉明码（n,k ）中k=4，为了纠正一位错码，由式（1）可知，要求监督位数r ≥3。
若取r=3,则n=k+r=7。
这样就构成了（7,4）码。
用6543210a a a a a a a 来表示这7个码元，用123s s s 的值表示3个监督关系式中的校正子，则123s s s 的值与错误码元位置的对应关系可以规定如表1所列。
表2.1 校正子和错码位置的关系则由表1可得监督关系式：16542s a a a a =⊕⊕⊕()226531s a a a a =⊕⊕⊕()3 36430s a a a a =⊕⊕⊕()4 在发送端编码时，信息位6543a a a a 的值决定于输入信号，因此它们是随机的。
监督位2a 、1a 、a 应根据信息位的取值按监督关系来确定，为使所编的码中无错码，则123,,S S S 等于0，即65426531643000(5)0a a a a a a a a a a a a ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩方程组（5）可等效成如下矩阵形式6543210111010001101010010110010a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（6）式(6)可简化为0T T HA =，H 为监督矩阵，则由式(6)可得到监督矩阵11101001101010=[P I ] (7)1011001r H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为生成矩阵'=[I Q]=[I ]k k G P ，所以由(7)得生成矩阵G 如下：[]k 10001110100110[']00101010001011k G I Q I P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦然后利用信息位和生成矩阵G 相乘产生整个码组，即有[][]65432106543=(8)A a a a a a a a a a a a G=其中A 为整个码组矩阵，6543a a a a 是信息位。
线 性 分 组 码
即: ( A1+A2 ) ·HT =0
所以 ( A1+A2 )也是一个许用码组.
由封闭性可知两个码组(A1、A2 )的码距必是另一码组 ( A1+A2 )的码重。
1 .2 汉明码
汉明码是一种能够纠正单个错误的线性分组码。它有 以下特点：
（1）最小码距dmin＝3，可纠正一位错误； （2）码长n与监督元个数r之间满足关系式：
1 1 1 0 1 0 0
0
1 1 0 1 0 1 0 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 T 0
1 0 1 1 0 0 1
0
上式可以记作：HAT=0T或AHT=0 。
其中： 0 0 0 0
A a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0
1 1 1 0 1 0 0
H 1 1 0 1 0 1 0 P Ir
E B A
其中பைடு நூலகம்=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且：
ei
0
1
；当bi=ai ；当bi≠ai
式(10.6)也可写作
B AE
令S=BHT，称为伴随式或校正子。
S BHT (A E)HT EHT
因此，校正子仅与E有关，即错误图样与校正子之 间有确定的关系。如表10.4所示, 用于检错并能纠正一位 错码。
n 2r 1
通常二进制汉明码可以表示为：
n,k 2r 1 , 2r 1 r
（7，4）系统汉明码的编码器电路：
a6
a6
a5
a5
a4
a4
a3
a3
a2
a1
a0
（7，4）系统汉明码的译码器电路：
b6
a6
b5
a5
74线形分组码实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除74线形分组码实验报告篇一：线性分组码实验报告综合性设计性实验报告专业：学号：姓名：实验所属课程：实验室(中心)：信息技术软件实验室指导教师：2一、题目线性分组码编译码实验二、仿真要求1.分别用不同的生成矩阵进行（7,4）线性分组码的编码，经调制解调后译码，并比较两种线性分组码的纠错能力。
2.掌握线性分组码的编码原理、编码步骤和译码方法。
3.熟悉matlab软件的基本操作，学会用matlab软件进行线性分组码的编码和译码。
三、仿真方案详细设计编码：本实验采用的是（7，4）线性分组码，线性分组码的编码由监督矩阵和生成矩阵实现，监督矩阵h为（3×4）的矩阵，由监督方程和（4×4）的单位矩阵构成，生成矩阵g为（4×7）的矩阵，由（4×4）的单位矩阵和监督矩阵的转置矩阵构成。
实现过程为：1、将要编码的序列先整形，整为4列2、如果序列不能被4整除在后边补0使其能被4整除3、将整形后的序列与生成矩阵g相乘即得到编码后的码字在本实验中，分别生成两种生成矩阵，在产生了生成矩阵后根据输入的四位信息位和生成矩阵相乘即可得到编码矩阵。
译码：在译码过程中，我们利用错误图样和伴随式来进行纠错。
1、设一个接收码字矩阵为R，R*h=s（模2乘），则s为码字对应的伴随式矩阵如果s=0则说明接受码字无差错；2、如果s不为0，查看矩阵s中不为0的那行所在行数，该行即收码字错误所在行i；3、将s转置，将不为0的一列与h每一列进行比较，找到h中相同列，该列的列数即为错误所在列；4、由步骤2和3得到错误具体位置，模2加对应的错误图样就可得到正确码字。
bpsK调制:bpsK调制利用载波的相位变化来传递数字信息，振幅和频率保持不变。
双极性的全占空矩形脉冲序列与正弦载波相乘就得到调制信号。
因此进行调制时首先进行码形变换变为双极性的，再经乘法器与载波相乘得到调制信号。
其具体实现方法如下：1、将0、1序列变为-1、1序列；2、将序列与载波相乘，为‘1’时与载波相位相同，为‘-1’时与载波相位相反。
(完整版)(7,4)汉明码编译码程序说明
（7，4）汉明码编译码原理程序说明书1、线性分组码假设信源输出为一系列二进制数字0和1.在分组码中，这些二进制信息序列分成固定长度的消息分组（message blocks ）。
每个消息分组记为u ，由k 个信息位组成。
因此共有2k 种不同的消息。
编码器按照一定的规则将输入的消息u 转换为二进制n 维向量v ，这里n>k 。
此n 维向量v 就叫做消息u 的码字（codeword ）或码向量（code vector ）。
因此，对应于2k 种不同的消息，也有2k 种码字。
这2k 个码字的集合就叫一个分组码（block code ）。
一个长度为n ，有2k 个码字的分组码，当且仅当其2k 个码字构成域GF （2）上所有n维向量空间的一个k 维子空间时被称为线性（linear ）（n ，k ）码。
对于线性分组码，希望它具有相应的系统结构（systematic structure ），其码字可分为消息部分和冗余校验部分两个部分。
消息部分由k 个未经改变的原始信息位构成，冗余校验部分则是n-k 个奇偶校验位（parity-check ）位，这些位是信息位的线性和（linear sums ）。
具有这样的结构的线性分组码被称为线性系统分组码（linear systematic block code ）。
本实验以（7，4）汉明码的编译码来具体说明线性系统分组码的特性。
其主要参数如下：码长：21mn =-信息位：21mk m =-- 校验位：m n k =-，且3m ≥ 最小距离：min 03d d ==由于一个（n ，k ）的线性码C 是所有二进制n 维向量组成的向量空间n V 的一个k 维子空间，则可以找到k 个线性独立的码字，0,1,1k g g g -…… ，使得C 中的每个码字v 都是这k 个码字的一种线性组合。
（7，4）汉明码的生成矩阵如下，前三位为冗余校验部分，后四位为消息部分。
0123 1 1 0 1 0 0 00 1 1 0 1 0 01 1 1 0 0 1 01 0 1 0 0 0 1g g G g g ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭如果()0123u u u u u =是待编码的消息序列，则相应的码字可如下给出：()0101230011223323g g v u G u u u u u g u g u g u g g g ⎧⎫⎪⎪⎪⎪===+++⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭编码结构即码字()0123456v v v v v v v v =，对于（7，4）线性分组码汉明码而言，3456,,,v v v v 为所提供的消息序列，而0356v v v v =⊕⊕，1345v v v v =⊕⊕，2456v v v v =⊕⊕。
(7,4)汉明码信道编码
(7,4)汉明码信道编码1.课程设计目的（1）通过利用matlab simulink，熟悉matlab simulink仿真工具。
（2）通过课程设计来更好的掌握课本相关知识，熟悉汉明码的纠错与检错方法。
（3）更好的了解通信原理的相关知识，磨练自己分析问题、查阅资料、巩固知识、创新等各方面能力。
2.课程设计要求（1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。
（2）程序设计合理、能够正确运行。
3.相关知识3.1汉明码的概念汉明码是1950年由Hamming首先构造的，它是一种能够自动检测并纠正一重错的线性纠错码，即SEC（Single Error Correcting）码，它不仅性能好，而且编译码电路非常简单，易于实现。
从20世纪50年代问世以来，在提高系统可靠性方面获得了广泛的应用。
最先用于磁芯存储器，60年代初用于大型计算机，70年代在MOS存储器中得到应用，后来在中小型计算机中普遍采用，目前常用于RFID系统中多位错误的纠正。
3.2 汉明码的校验与其他的错误校验码类似，汉明码也利用了奇偶校验位的概念，通过在数据位后面增加一些比特，可以验证数据的有效性。
利用一个以上的校验位，汉明码不仅可以验证数据是否有效，还能在数据出错的情况下指明错误位置。
3.2 汉明码的纠错在接受端通过纠错译码自动纠正传输中的差错来实现码纠错功能，称为前向纠错FEC。
在数据链路中存在大量噪音时，FEC可以增加数据吞吐量。
通过在传输码列中加入冗余位(也称纠错位)可以实现前向纠错。
但这种方法比简单重传协议的成本要高。
汉明码利用奇偶块机制降低了前向纠错的成本。
在接受端通过纠错译码自动纠正传输中的差错来实现码纠错功能，称为前向纠错FEC。
在数据链路中存在大量噪音时，FEC可以增加数据吞吐量。
通过在传输码列中加入冗余位(也称纠错位)可以实现前向纠错。
但这种方法比简单重传协议的成本要高。
汉明码利用奇偶块机制降低了前向纠错的成本。
3.3 汉明码的编码方法设原代码的码长为 k比特，附加纠错编码部分为r比特，当码字长度n = 2 r -1，r=n-k，r = 1 ，2 …时就称这种线性分组码为汉明码。
单片机实现(7,4)汉明码的编码毕业设计[管理资料]
![单片机实现(7,4)汉明码的编码毕业设计[管理资料]](https://img.taocdn.com/s3/m/3b7367eca300a6c30d229f0e.png)
单片机实现（7，4）汉明码的编码摘要在当今和未来的信息化社会中，数字通信已成为信息传输的重要手段，全球数字化已成为当今世界的主要潮流。
但是，数字信号在传输过程中，加性噪声，码间串扰等都会产生误码，因此需要用信道编码来降低误码率，提高数字通信的可靠性。
随着差错控制编码技术的蓬勃发展，作为信道传输过程抗干扰的有效手段，其中较为成熟的编码方法如汉明码、奇偶校验码、循环冗余码等编码技术，被广泛应用于计算机、电子通信、控制等领域。
其中汉明码是一种能够纠正一位错误且编码效率较高的线性分组码。
由于它的编译码在工程上较易实现，所以应用广泛。
与其他的错误校验码类似，汉明码也利用了奇偶校验位的概念，通过在数据位后面增加一些比特，可以验证数据的有效性。
利用一个以上的校验位，汉明码不仅可以验证数据是否有效，还能在数据出错的情况下指明错误位置。
在接受端通过纠错译码自动纠正传输中的差错来实现码纠错功能，称为前向纠错FEC。
在数据链路中存在大量噪音时，FEC可以增加数据吞吐量。
通过在传输码列中加入冗余位(也称纠错位)可以实现前向纠错。
但这种方法比简单重传协议的成本要高。
汉明码利用奇偶块机制降低了前向纠错的成本。
软件实现下面给出基于最常用的MCS-51单片机汇编语言的汉明码测试程序。
它的有效信息占到了总编码长度的70%，测试程序中自动生成11个字节的原始数据。
原始数据块的长度、存放地址可根据实际情况由用户自己确定，只要将本测试程序的汉明码编码、解码子程序嵌入用户应用程序中，就可直接使用。
本课题就是研究利用C8051F系列单片机来实现（7，4）汉明码的编码。
关键词：单片机；线性分组码；（7，4）汉明码C8051F series MCU(7,4)hamming code encodingABSTRACTIn today's and future information society, digital communication has become an important means of information transmission, the global digital has become a major trend in today's world. However, the digital signal in the transmission process, the additive noise, intersymbol interference, and this will result in error, channel coding, therefore need to reduce the error rate and improve the reliability of digital communications. With the error control coding techniques flourished as the transmission channel interference and effective means by which the more mature coding methods, such as Hamming codes, parity bits, cyclic redundancy code and other coding techniques are widely used in computers, electronics communication, control and other fields. Hamming code which is able to correct a mistake and the code more efficient linear block codes. Encoding and decoding in the project because of its easier to achieve, so widely used. With other similar error check code, Hamming code parity bit also use the concept, followed by an increase in the number of bits of data bits, the validity of data can be verified. Use more than one parity bit, Hamming codes can not only verify the data is valid, but also in the caseof data error location specified in the error. By error correction decoding in a receiver automatically correct the transmission errors to achieve error correction code, known as forward error correction FEC. There are a lot of data-link noise, FEC can increase data throughput. Transmission code in the column by adding redundant bits (also known as error correction bits) can be achieved FEC. However, this method than a simple retransmission protocol to the high cost. Hamming code parity block mechanism reduces the use of forward error correction costs. Software are given below based on the most popular MCS-51 microcontroller Hamming code assembly language test program. It accounts for effective information length of 70% of the total coding and testing program automatically generates 11 bytes of raw data. The length of the original data block, or hold the actual situation according to the user to determine if the Hamming code of the test program encoding and decoding routines embedded in user applications, can be used directly.This topic is to study the use of C8051F MCU to achieve (7,4) hamming code encoding.Keywords：MCU;linear block codes; (7,4) hamming code目录第1章绪论 (1)第2章实验的软硬件环境 (2)VHDL语言的概述 (2)VHDL语言的发展历史 (2)VHDL语言的特点 (2)VHDL语言的开发流程 (3)VHDL的程序结构 (4)逻辑芯片的分类 (5)MAX+plusⅡ的使用 (8)第3章基于CPLD的PCM解码电路的设计 (11)PCM的概述 (12)解调PCM码的基本原理 (17)位同步的实现 ............................................................................ 错误!未定义书签。
7.4节循环码
南京邮电大学 通信与信息学院
课件制作：朱 10彤
2. 循环码的生成矩阵G
问题 生成矩阵 G可由k 个线性无关的码组构成。那么，如何寻找这 k 个
线性无关的码组呢？
定理：线性分组码全0信息码必对应全0校验码。
在(n, k) 循环码的2k个码组中挑出一个前面(k−1)位都是“0”第k位
是1的码组，用g(x)表示。(常数(即末位)不为0、次数最低的非全0码。
g(x)称为循环码的生g(成x) 多项 式。
g(x)一旦确定，整个(n, k)循环码就被确定了。它是循环码中唯一的一
个常数不为0的(n−k)次多项式。
南京邮电大学 通信与信息学院
课件制作：朱11彤
例
解: r = n–k = 7–3 =4，码组中唯一一个4次码多项式代表的码组是：
0010111 g(x) =x4+x2+x+1
（3）作 a(x) = xn–k m(x)+r(x)
—— 即得循环码的码多项式。(注：对二进制+−等价， r(x)即为校验码)
由上，可得直接构成循环码系统码生成矩阵的方法：
即先求xn−i,(i=1,2,…,k−1)分别除以g(x)的余式，r n−i(x), 从而系统码生
成矩阵为
xn1 rn1(x)
a0 xi
an1xi1
ani
（模(xn + 1)）
所以，这时有
a(x) an1i xn1 an2i xn2 a0 xi an1xi1 ani
显而易见，模(xn + 1)运算的结果是把所有指数大于n的项指数n置 于尾部。
将码字用多项式表示是为了利用多项式代数分析、研究编码，并
用其对循环码进行构造、编、译码。
7.3节线性分组码
2r 1 n 或 2r k r 1
当“=”成立时，构造的线性分组码 称为汉明码 —能纠1位错码
(n, k) (2r 1, 2r 1 r)
高效线性分组码
信息元和校验(parity check)元是平等的。此外，后者不应称为监督元。
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例 (7, 4)汉明码
偶校验关系是经典使用的。它的一个特 点是：全0信息码必对应全0校验码。
编码时，用ai替代bi。校验位a2 、 a1、 a0的取值应使上3式中s1、 s2和s3为0 （无错码），即
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a6 a5 a4 a2 0 a6 a5 a3 a1 0 a6 a4 a3 a0 0
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差错控制
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§3
线性分组码
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基本概念
线性码：按照一组线性方程构成的代数码。 即每个码字的校验码元是信息码元的线性组合。
代数码：建立在代数学基础上的编码。 分组码：每一码组的校验码元仅与本组中的信息码元有关。 线性分组码：按照一组线性方程构成的分组码。
[例2解]依次取从0000到1111信息码与G相乘，实际上就是把G中一行或 几行按位相加凑成前4位是所需信息码，则整个码组就是所需编码。例如， 第2行与第4行相加得0101101。所有码组见前述汉明码码字表(p.8)
[例3解] n=4，对于奇偶校验码来说，校验位r=1。H矩阵为14阵。由于 校验和式是把所有位都模2加，因此，H=[1 1 1 1]。 H中，P=[1 1 1](前3 位)，单位矩阵为[1]。因此， G为34阵，G=[I3 PT]100 1
(完整版)(7,4)汉明码信道编码_共10页
a2
1 1 1 0 a4
a1
1 1 0 1 a3
a0
1011
A = [a6 a5 a4 a3] ·G
其中
(4.3.1) （4.3.2）
1000 111 0100 110 G= 0010 101 0001 011
（4.3.3）
G 称为生成矩阵，由 G 和信息组就可以产生全部码字。生成矩阵也可以分成2部分，
4.课程设计分析
4.1 (7,4)汉明码信道编码的基本概念
线性分组码是一类重要的纠错码，应用很广泛。在（n，k）分组码中，若
督元是按线性关系相加而得到的，则称其为线性分组码。
现在以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特点。设其码字为 A=[a6，a5，a4，a3， a2，a1，a0]，其中前4位是信息元，后3位是监督元，可用下列线性方程组来描述 该分组码，产生监督元：
3.2 汉明码的校验
与其他的错误校验码类似，汉明码也利用了奇偶校验位的概念，通过在数 据位后面增加一些比特，可以验证数据的有效性。利用一个以上的校验位，汉明 码不仅可以验证数据是否有效，还能在数据出错的情况下指明错误位置。
3.2 汉明码的纠错
在接受端通过纠错译码自动纠正传输中的差错来实现码纠错功能，称为前向 纠错 FEC。在数据链路中存在大量噪音时，FEC 可以增加数据吞吐量。通过在 传输码列中加入冗余位(也称纠错位)可以实现前向纠错。但这种方法比简单重传 协议的成本要高。汉明码利用奇偶块机制降低了前向纠错的成本。在接受端通过
信息传输中信道中的噪声干扰不仅使原代码的每一位(k 比特)可能出错，而 且附加纠错位(比特)也可能出错，故“一个差错”的情况共有 k+r 种，加上“ 正常” 态共有 k+r +1 种状态，而 r 比特的附加纠错位要能分辨这 k+r +1 种状态。 推导并使用长度为 k 位码字的汉明码，所需步骤如下 ：
线性分组码(7_4)码设计说明书
G [I k Q]
PQ
T
Q PT
则有
G HT 0
或
H GT 0
（3.5）
已知监督矩阵 1 H= 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
则可以根据监督阵求出生成矩阵
1 G= 0 0 0
0 1 0 0
k
100
a0
1
011
a4
6
010
a1
2
101
a5
5
001
a2
4
111
a6
7
110
a3
3
000
无错
0
由 表 可 知 ， 当 误 码 位 置 在 时 ， 校 正 子 s0 ＝ 1 ； 否 则 s0 ＝ 0 。 因 此 有 s0 ＝ a2⊕a4⊕a5⊕a6，同理有 S1＝a1⊕a3⊕a4⊕a6 和 S2＝a0⊕a3⊕a5⊕a6。在编码时 a6、 a5、a4、a3 为信息码元，a0、a1、a2 为监督码元。则监督码元可由以下监督方程唯一 确定:
H 矩阵与 (n, k ) 码的任何一个许用码字进行相乘的结果必等于 0，即若 C mG 是
T 任一 (n, k ) 码字，则必有 CH 0 。若不属于许用码字，或有传输差错，且差错位数在 (n, k ) 码纠错能力内，则运算结果将为非 0 值，此时，可以纠错或检错重发。如本例中
发生 1 位错时， 其运算结果一定会等于 H 矩阵的某一列，这就表明是接收码组中的该对 应码位发生错误，于是能够即时自动纠错，这一基本原理在下面伴随式解码运算时将进 一步解释。 当编码矩阵与生成矩阵的转置矩阵相乘时，若当其中的一位编码出现差错时会有七 种情况，则更具这些情况列出错码矩阵如下：
通信原理设计报告(7,4)汉明码的编解码设计
b(2)<=a(3)XORa(2)XORa(1);
b(1)<=a(3)XORa(2)XORa(0);
b(0)<=a(3)XORa(1)XORa(0);
最后将上式计算所得的监督位和输入的信息位一起输出，则此次编码就算完成了。（7，4）汉明码的编码源程序见下文附录。
使用组合编译方式可一次完成整体设计流程。
自动定位编译错误、
高效的器件编程与验证工具。
可读入标准的EDIF网表文件、VHDL网表文件和Verilog网表文件。
能生成第三方EDA软件使用的VHDL网表文件和Verilog网表文件。
●VHDL语言
VHDL语言主要用于描述数字系统的结构、行为、功能和接口，除了含有许多具有硬件特征的语句外，VHDL的语言形式和描述风格与句法是十分类似于一
5.1 （7，4）汉明码的译码方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12
5.2 （7，4）汉明码译码程序的设计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13
5.3 （7，4）汉明码译码程序的编译及仿真．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15
3.3 校正子（伴随式S）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8
第4章（7，4）汉明码编码器的设计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10
4.1 （7，4）汉明码的编码原理及方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10
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言
设计数字通信系统时,应首先合理选择信道编译码码组种类，这样才可以在信号的 传输，以及接收环节达到较好的效果，线性分组码具有编译码简单，封闭性好等特点， 采用差错控制编码技术是提高数字通信可靠性的有效方法，是目前较为流行的差错控制 编码技术。 分组码是一组固定长度的码组，可表示为（n , k） ，通常它用于前向纠错。在分组 码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。在编码时，k 个信息位被编为 n 位码组 长度，而 n-k 个监督位的作用就是实现检错与纠错。 对于长度为 n 的二进制线性分组码，它有种可能的码组，从种码组中，可以选择 M= 个码组（k<n）组成一种码。这样，一个 k 比特信息的线性分组码可以映射到一个长度 为 n 码组上， 该码组是从 M=个码组构成的码集中选出来的， 这样剩下的码组就可以对这 个分组码进行检错或纠错。
上述方法构造的能纠正单个误码的线性分组码又称为汉明码。它具有以下一些特 点：码长 n＝2m－1，最小码距为 d＝3，信息码长 k＝2n－m－1，纠错能力 t＝1，监督码 长 r＝n－k＝m。这里 m 为≥2 的正整数。给定 m 后，就可构造出汉明码（n，k）。
5
第三章 推导过程
3.1 编码过程
监督阵 H 与生成矩阵 G 的关系： 由 H 与 G 的分块表示的矩阵形式 H [ P I n k ]
其中 A 为纠错输出码序列，E 为错码矩阵，B 为信道输出码。 对接收到的信息进行改正求出正确的编码，从而再提去更正后的接收序列的前四 位来提取信息位，以至获得信息矩阵 I。
8
第四章 仿真过程及结果分析
4.1 程序流程图
4.1.1 主程序流程图 主程序一开始就有欢迎界面，并对用户显示出了选择提示语句，可以选择编码器、 译码器、退出三种选择，当用户做出选择后便会进入各自的子程序，执行相应的功能， 整个主程序的流程如下：
H 矩阵与 (n, k ) 码的任何一个许用码字进行相乘的结果必等于 0，即若 C mG 是
T 任一 (n, k ) 码字，则必有 CH 0 。若不属于许用码字，或有传输差错，且差错位数在 (n, k ) 码纠错能力内，则运算结果将为非 0 值，此时，可以纠错或检错重发。如本例中
发生 1 位错时， 其运算结果一定会等于 H 矩阵的某一列，这就表明是接收码组中的该对 应码位发生错误，于是能够即时自动纠错，这一基本原理在下面伴随式解码运算时将进 一步解释。 当编码矩阵与生成矩阵的转置矩阵相乘时，若当其中的一位编码出现差错时会有七 种情况，则更具这些情况列出错码矩阵如下：
摘
要
此系统是（ 7 ，4）线性分组码的编译码实现，它可以对输入的四位的信息码进行 Hamming 编码，对于接受的七位信息码可以进行译码，从而译出四位信息位。当接收到 的信息码中有一位错误时，可以纠正这一位错码，进而译出正确的信息码组，整个过程 是用 Matlab 语言实现的。
关键词：编码; 译码; 纠错;
1
目
录
第一章 设计目标 .......................................................... 3 第二章 基本原理 .......................................................... 4 第三章 推导过程 .......................................................... 6 3.1 编码过程 .......................................................... 6 3.2 译码过程 .......................................................... 7 第四章 仿真过程及结果分析 ................................................ 9 4.1 程序流程图 ........................................................ 9 4.1.1 主程序流程图 ................................................. 9 4.1.2 编码程序流程图 .............................................. 10 4.1.3 译码程序流程图 .............................................. 11 4.2 主引导界面程序运行分析 ........................................... 12 4.3 信道编码程序运行分析 ............................................. 13 4.4 信道译码程序运行分析 ............................................. 14 4.5 纠错程序运行分析 ................................................. 15 4.6 退出程序运行分析 ................................................. 16 4.6.1 正常输入 ................................................... 16 4.6.2 系统不正常输入 ............................................. 17 结计总结 ................................................................ 19 参考文献 ................................................................ 20 附录 .................................................................... 21
3
第二章 基本原理
线性分组码（n，k）中许用码字（组）为 2 个。定义线性分组码的加法为模 2 和， 乘法为二进制乘法。 即 1+1=0、 1+0=1、 0+1=1、 0+0=0； 1×1=1、 1×0=0、 0×0=0、 0×1=0。 且码字 上述二进制加法运算规则。 线性分组码具有如下性质（n，k）的性质： 1、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。 2、码的最小距离等于非零码的最小码重。 对于码组长度为 n、 信息码元为 k 位、 监督码元为 r＝n－k 位的分组码， 常记作 （n， k）码，如果满足 2r－1≥n，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。 下面我们通过 （7， 4） 分组码的例子来说明如何具体构造这种线性码。 设分组码 （n， k）中，k = 4，为能纠正一位误码，要求 r≥3。现取 r＝3，则 n＝k＋r＝7。我们用 a0a1a2a3a4a5a6 表示这 7 个码元，用 s0、s1、s2 表示由三个监督方程式计算得到的校 正子，并假设三位 s0、s1、s2 校正子码组与误码位置的对应关系如表 1 所示。 表 2.1 （7，4）码校正子与误码位置 S2s1s0 误码位置 S2s1s0 数值 S2s1s0 误码位置 S2s1s0 数值 与码字 的运算在各个相应比特位上符合
7
错码矩阵： 0 0 0 0 E= 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
而这些情况正好是和校验子有某种对应关系的，根据这些对应关系可以进行相关编程。 若编程检测到了那一位错误可以根据 A=B+E （3.7）
|| 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
监督位 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
3.2 译码过程
对于译码过程来说，同样已知监督矩阵： 1 H= 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
4
a 2 a 6 a5 a 4 a1 a6 a 4 a3 a 0 a 6 a5 a3
（ 2.1 ） 由上面方程可得到表 12.3 所示的 16 个许用码组。在接收端收到每个码组后，计 算出 s2、s1、s0，如果不全为 0，则表示存在错误，可以由表 12.2 确定错误位置并予 以纠正。例如收到码组为 0000011，可算出 S1S2S3=011,由表 2.2 可知在 a3 上有一误码。 通过观察可以看出，上述（7，4）码的最小码距为 dmin＝3，它能纠正一个误码或检测两 个误码。如果超出纠错能力则反而会因“乱纠”出现新的误码。 表 2.2 （7，4）许用码组 信 息 位 a6a5a4a3 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 监 督 位 a2a1a0 000 011 110 101 101 110 011 000 信 息 位 a6a5a4a3 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 监 督 位 a2a1a0 111 100 001 010 010 001 100 111
（3.1） （3.2） （3.3） （3.4）
G [I k Q]
PQ
T
Q PT
则有
G HT 0
或
H GT 0
（3.5）
已知监督矩阵 1 H= 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
则可以根据监督阵求出生成矩阵
1 G= 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0