线性分组码的编码原理
线性分组编码
背景
在通信中，由于信息码元序列是一种随机序列，接收端无法预知码元的取值，也无法识别其中有无错码。所 以在发送端需要在信息码元序列中增加一些差错控制码元，它们称为监督码元（校验元）。这些监督码元和信息 码元之间有确定的关系。
在信息码元序列中加监督码元就称为差错控制编码，差错控制编码属于信道编码。
信息码元和监督码元之间有一种关系，关系不同，形成的码类型也不同。可分为两大类：分组码和卷积码。 其中，分组码是把信息码元序列以每k个码元分组，编码器将每个信息组按照一定规律产生r个多余的码元（称为 校验元），形成一个长为n=k+r的码字。
感谢观看
校验矩阵H
这也表示由G的行矢量所扩张成的k维子空间与H矩阵行矢量所扩张成的r维子空间是正交的。
G与H中只要有一个确定，另一个就是可以确定的。只要校验矩阵给订=定，校验码元和信息码元之间的关系 就完全确定了。
举例
下面是一个（7,3）线性分组码，有信息组(m2m1m0),信息组在码字的前部，即： 生成矩阵为 信息组和对应的码字由表3.1给出。 则其校验矩阵为
基本概念
当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时（用线性方程组），这种分组码就称为线性分组码。 包括汉明码和循环码。
对于长度为n的二进制线性分组码，它有种可能的码字，从中可以选择M=个码字（k<n）组成一种编码，其中 码字称为许用码字，其余码字称为禁用码字。这样，一个k比特信息可以映射到一个长度为n的码组中，该码字是 从M个码字构成的码字集合中选出来的，剩下的码字即可以对这个分组码进行检错或纠错。
在线性分组码中，两个码字对应位上数字不同的位数称为码字距离，简称距离，又称汉明距离。 编码中各个码字间距离的最小值称为最小码距d，最小码距是衡量码组检错和纠错能力的依据，其关系如下： （1）为了检测e个错码，则要求最小码距d>e+1; （2）为了纠正t个错码，则要求最小码距d>2t+1; （3）为了纠正t个错码，同时检测e个错码，则要求最小码距d>e+t+1,e>t。
信息论与编码_第7章线性分组码
Information and Coding Theory
第7章 线性分组码
王永容 机械与电气工程学院 wangyr416@
1
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
2
线性分组码概念 (n, k)线性分组码=“(n, k)分组”+“线性” 2元 (n, k)分组码 f : S=(F2)k C (F2)n m=(m2,…,mk)c=(c1c2,…,cn) C是(F2)n的一个k维线性子空间！
系统生成矩阵 1 0 0 1 1 1 Gs 0 1 0 1 1 0 I | P 0 0 1 0 1 1
校验矩阵 1 1 0 1 0 0 H P T | I 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
1 1 1 0 1 1 [000]. 0 0 1 0 0 1
17
线性分组码的校验矩阵
例7-2（续2）：求对偶码C
1 1 0 1 0 0 对偶码的生成矩阵=校验矩阵H 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
c mH , c1 m1 m2 m3 c m m 1 2 2 c3 m2 m3 c4 m1 c5 m2 c6 m3
f
F2n S=F2k
C
4
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
5
线性分组码的生成矩阵
生成矩阵 C是F2n的一个k维线性子空间，设{g1,g2,…, gk}是C的一个基
线性分组码编码器设计
线性分组码编码器设计1.引言2.线性分组码的基本原理线性分组码是由生成矩阵和校验矩阵组成的。
生成矩阵用于将数据进行编码，而校验矩阵用于检测和纠正错误。
生成矩阵是一个m×n的矩阵，其中n是数据位的数量，m是冗余位的数量。
生成矩阵的每一行表示一个码字，通过将生成矩阵与数据矩阵相乘，可以得到编码后的数据。
校验矩阵是一个n×m的矩阵，用于对编码后的数据进行检测和纠正。
3.线性分组码编码器的设计步骤3.1确定数据位数和冗余位数：根据实际应用需求确定数据位的数量和冗余位的数量。
3.2生成生成矩阵和校验矩阵：根据数据位数和冗余位数生成相应的生成矩阵和校验矩阵。
3.3将生成矩阵和校验矩阵存储在编码器中。
3.4输入数据：将待编码的数据输入到编码器中。
3.5编码：将输入的数据与生成矩阵进行矩阵乘法运算，得到编码后的数据。
3.6输出数据：将编码后的数据输出。
4.线性分组码编码器的性能分析线性分组码编码器的性能主要与生成矩阵和校验矩阵有关。
生成矩阵的选择决定了编码器的纠错能力，校验矩阵的选择决定了编码器的错误检测和纠正能力。
通常情况下，生成矩阵和校验矩阵都需要满足一些特定的性质，如生成矩阵需要满秩，校验矩阵需要是生成矩阵的逆。
5.线性分组码编码器的应用总结：线性分组码编码器是一种常见的错误检测和纠正编码方法。
它通过生成矩阵和校验矩阵来对数据进行编码，并能够检测和纠正多位错误。
线性分组码编码器的设计步骤包括确定数据位数和冗余位数、生成生成矩阵和校验矩阵、将生成矩阵和校验矩阵存储在编码器中、输入数据、编码和输出数据。
线性分组码编码器广泛应用于通信和存储领域，提高了通信和存储的可靠性。
分组编码原理
分组编码（group coding）是一种编码技术，它将数据分成多个分组（group）进行编码，以提高数据传输效率和减少数据冗余。
分组编码通常用于数据传输和存储系统中，例如在网络传输、光盘存储和硬盘存储等领域中。
分组编码的原理是将数据分成多个分组，每个分组包含相同数量的数据位，然后对数据分组进行编码。
编码后的数据分组可以通过简单的位操作进行合并，以生成完整的数据流。
分组编码的目的是减少数据冗余，提高数据传输效率，同时保持数据的可靠性。
分组编码通常有两种方式：线性分组编码和非线性分组编码。
线性分组编码是一种基于线性代数的编码方式，它将数据分组成多个线性组合，然后对线性组合进行编码。
非线性分组编码则是一种基于非线性变换的编码方式，它将数据分组成多个非线性组合，然后对非线性组合进行编码。
分组编码的应用非常广泛，例如在网络传输中，它可以减少数据包的大小，提高数据传输速度；在光盘存储中，它可以减少光盘的存储容量，提高光盘的存储密度；在硬盘存储中，它可以减少数据的传输和存储时间，提高数据的读写速度。
通信原理(Ⅱ)第11章 -线性分组码-一般原理
110 101
I
k
Q
G
（11.5-15）
0001
011
G称为生成矩阵,具有[IkQ]形式
的生成矩阵称为典型生成矩阵 6
生成矩阵G 可以产生整个码组
a6a5a4a3a2a1a0 a6a5a4a3 G
A [a6a5a4a3]G
（11.5-16） （11.5-17）
a6 a4 a3 a0 0
式中已将模２ 加简写成“+”。
1 a6 1 a5 1 a4 0 a3 1 a2 0 a1 0 a0 0
1 a6 1 a5 0 a4 1 a3 0 a2 1 a1 0 a0 0 （11.5－8）
② 错码较多（超过该编码的检错能力），即式（11.5-10） 成立,B变为另一许用码组，这样的错码不可检测。
10
7、线性分组码的性质
封闭性： 指一种线性码中的任意两个码组之和仍为这种码的另一个码组。
Q
a6
1011 001
a5
a4
（11.5-12）
a3
Q为一个k × r阶
（11.5-13） 矩阵，Q=PT
011
上式表示，信息位给定后，用信息位
的行矩阵乘以矩阵Q就得到监督位。 若在Q的左边加上1个k × k阶单位方阵
1000 111
0100 0010
1 a6 0 a5 1 a4 1 a3 0 a2 0 a1 1 a0 0
a6
a5
1110100 1101010
a
4
a3
0 0
（模2）
1011001
线性分组码
C mG
G是一个k*n阶矩阵，称为(n,k)码的生成矩阵。
7
1 0 G 0
0 0 1 0 0 1
p11 p 21 p k1
p12 p 22 pk 2
p1( n k ) p 2( nk ) I P k pk ( nk )
n 1
u和v之间的距离表示2个码字对应位不同的数目。
如(7,3)码的两个码字：u=0011101
v=0100111
它们之间的距离d=4
4
码的最小距离的dmin ：在（n,k）线性码字集合中， 任意两个码字间的距离最小值，是衡量抗干扰能力的 重要参数，dmin越大，抗干扰能力越强。 码字的重量W：码字中非零码元符号的个数；在二元 线性码中，码字的重量是码字中含“1”的个数。 码的最小重量Wmin：线性分组码中，非零码字重量的 最小值，称为码的最小重量，表示为：
限， 性能界限，即码的译码错误概率的上、下 限。 对码距限而言，最重要的限是汉明限，普 洛特金限和吉尔伯特－瓦尔沙莫夫限，汉 明码和普洛特金限告诉我们，在给定码长n 和码的传输速率R=k/n下，最小距离可以达 到的最大值，故它们都是上限，而吉尔伯 特一瓦尔沙莫夫限给出了码的最小距离的 下限。
HC 0
T
T
r=n-k
H
阵是n列，(n-k)行的矩阵；
为了得到确定的码，r个监督方程必须是线性
无关的，即要求H阵的秩为r。
6
2. 生成矩阵G
把方程组写成矩阵的形式为
h11 h 21 h r1
h12 h1k h 22 h 2k h r2 h rk
m 信道编码
C
知识点7-4 线性分组码.
行矩阵 B ， 即
B =［bn-1bn-2 ...b0］ （7.24）
第7章
纠错编码
则发送码组和接收码组之差为
B -A= E （模2） （7.25）
式中， E 是传输中产生的错码行矩阵， 其值为 E =［en-1 en-2 ...e0］ 其中: （7.26）
0, bn an en 1, bn an
第7章
纠错编码
注： 上式中将“⊕”简写为“+”。 在本章后面， 除非另加说明 ， 这类式中的 “ +” 都指模 2 加。 式 （7.14）又可以表示成
a6 a 5 1110100 a 4 0 1101010 a 0 3 1011001 a2 0 a1 a0
接收端收到每个码组后， 先按式（7.9）~式（7.11） 计算出S1、 S2和S3， 再按表7.3判断错误情况。 例如， 若接收码组为0000011， 则按式（7.9）～式（7.11）计 算可得S1=0， S2=1 ， S3=1。 由于S1S2S3等于011， 故 根据表7.3可知在a3位有一错码。
第7章
纠错编码
第7章 纠错编码
7.1 差错控制方式 7.2 纠错编码的基本原理
7.3 常用的简单编码
7.4 线性分组码
7.5 卷积码
习题与思考题
第7章
纠错编码
7.4 线 性 分 组 码
7.4.1 线性分组码的概念
前面介绍的奇偶监督码其编码原理利用了代数关系式， 我们把这 类建立在代数基础上的编码称为代数码。 在代数码中， 常见的是线性码。 线性码中的信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着的， 或者说， 线性码是按一组线性方程构成的。 这里将以汉明码为例引入线性分组码 的一般原理。 按式（7.6a）条件构成的偶数监督码由于使用了1位监督位a0， 因 此它就能和信息位an-1 …a1一起构成一个代数式， 如式（7.6a）所示。 在 接收端解码时， 实际上就是计算
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(8.2.3)
将式(8.2.2)可写成：
H ·CT=0T 或 C ·HT=0 CT、HT、0T 分别表示 C、 H、0 的转置矩阵。
17.07.2020
Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng
c0 c5
c4
(8.2.1)
表 8.2.1 (7,3)分组码编码表
信息组 对应码字 000 0000000 001 0011101 010 0100111 011 0111010
c6 0 c4 c3 0 0 0 0
cc66
c5 c5
c4 0
0 0
c2 0 0 c1
0 0
0 0
0 c5 c4 0 0 0 c0 0
Department of Electronics andc0Infocr5mation, Nc4CUT Song Peng
第7页
8.2 一致监督方程和一致监督矩阵
(1) 一致监督方程
一致监督方程/一致校验方程：确定信息元得到监督元 规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码 字都按同一规则确定，又称为一致监督方程/一致校验 方程。
100 101 110 111
1001110 1010011 1101001 1110100
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17.07.2020
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第9页
8.2 一致监督方程和一致监督矩阵
(3) 一致监督矩阵
为了运算方便，将式(7.2.1)监 督方程写成矩阵形式，得：
信道编码-线性分组码1
H 阵的 r 行代表了 r 个监督方程，也表示由H 所确定
的码字有 r 个监督元。 为了得到确定的码，r 个监督方程（或H 阵的r 行）必 须是线性独立的，这要求H 阵的秩为 r。 若把H 阵化成标准形式，只要检查单位子阵的秩，就 能方便地确定H 阵本身的秩。
2013/4/11
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3. 线性分组码的生成矩阵
1. 一般概念
线性分组码的编码：线性分组码的编码过程分为两步：
把信息序列按一定长度分成若干信息码组，每组由 k 位组成；
编码器按照预定的线性规则(可由线性方程组规定)， 把信息码组变换成 n 重 (n>k) 码字，其中 (n－k) 个附 加码元是由信息码元的线性运算产生的。
信息码组长 k 位，有 2k 个不同的信息码组，则有 2k 个 码字与它们一一对应。
H 阵的每一行都代表一个监督方程，它表示与该行中“1”相对应
的码元的模2和为0。
2013/4/11
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2. 一致监督方程和一致监督矩阵
H 的标准形式还说明了相应的监督元是由哪些信息元 决定的。例如 (7,3) 码的H 阵的第一行为 (1011000)，说
明此码的第一个监督元等于第一个和第三个信息元的模 2和，依此类推。
系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示
2013/4/11
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2. 一致监督方程和一致监督矩阵
推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字中的 r(r=n－k) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性 方程组确定
2013/4/11
ldpc编码原理
ldpc编码原理LDPC编码原理。
LDPC码（Low Density Parity Check Code），是一种由Robert Gallager于1962年提出的一种线性分组码，它是一种具有低密度校验矩阵的分组码，具有容错能力强，译码性能优秀等特点。
LDPC码在通信领域得到了广泛的应用，特别是在无线通信系统中，由于其良好的性能表现而备受青睐。
接下来，我们将介绍LDPC编码的原理以及其在通信系统中的应用。
LDPC码的原理。
LDPC码的编码原理主要是通过矩阵运算来实现的。
首先，我们需要构建一个稀疏的校验矩阵H，然后将信息位向量乘以校验矩阵H，得到编码后的数据位向量。
在这个过程中，校验矩阵H的每一行代表一个校验方程，校验方程的系数表示了每个数据位与校验位的关系。
通过这种方式，LDPC码实现了对数据的编码，同时也保证了校验矩阵H的稀疏性，从而降低了译码的复杂度。
LDPC码的译码原理是基于图的消息传递算法，即利用信念传播算法（Belief Propagation，BP算法）进行译码。
在译码过程中，译码器会不断地通过消息传递来更新节点的状态，直到达到收敛条件为止。
通过这种方式，LDPC码实现了高效的译码性能，使得其在通信系统中得到了广泛的应用。
LDPC码在通信系统中的应用。
由于LDPC码具有优秀的性能表现，因此在通信系统中得到了广泛的应用。
在无线通信系统中，LDPC码被广泛应用于各种通信标准中，如WiMAX、LTE等。
在卫星通信系统中，LDPC码也被用于地面站与卫星之间的通信链路中。
此外，LDPC码还被应用于光通信系统、存储系统等领域。
总结。
LDPC码作为一种具有低密度校验矩阵的分组码，具有容错能力强，译码性能优秀等特点，因此在通信系统中得到了广泛的应用。
通过对LDPC编码的原理和在通信系统中的应用进行介绍，我们可以更好地理解LDPC码的工作原理，以及其在通信系统中的重要作用。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
[理学]信息论与编码原理_第8章_线性分组码
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一致监督方程/一致校验方程：确定信息元得到监督元 规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码 字都按同一规则确定，又称为一致监督方程/一致校验 方程。
为什么叫线性分组码？由于一致监督方程是线性的，即 监督元和信息元之间是线性运算关系，所以由线性监督 方程所确定的分组码是线性分组码。
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8.2 一致监督方程和一致监督矩阵
(3) 一致监督矩阵
系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示：
1 0 1
P43
1 1
1 1
1 0
0 1 1
1 0 0 0
I4
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0 0 1
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8.2 一致监督方程和一致监督矩阵
(4) 一致监督矩阵特性
对 H 各行实行初等变换，将后面 r 列化为单位子阵，
得到下面矩阵，行变换所得方程组与原方程组同解。
p11
H rn
p21
pr
1
p12 p1k p22 p2k
pr 2 prn
1 0 0
H 阵的 r 行代表了 r 个监督方程，由 H 所确定的码字有 r 个监督元。
为了得到确定的码，r 个监督方程（或 H 阵的 r 行）必须是线性独立 的，这要求 H 阵的秩为 r。
若把 H 阵化成标准形式，只要检查单位子阵的秩，就能方便地确定 H
阵本身的秩。
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2019/5/13
Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng
线性分组码
• 伴随式是校验矩阵列向量的线性表示。以 下列校验矩阵为例，考察不同错误模式下 的伴随式结构。
• 因此，列向量的线性无关性，与纠错能力 密切相关。：任意d-1个列向量线性无关。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
n-k+1，即d<=n-k+1。
伴随式的计算电路
• 根据校验矩阵H，得到校正子S各元素的数学 表达式，进而给出对应的电路。
• 软件实现方式， sT=HRT为算法。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
C3 =C6 C4 C2 =C6 C5 C4 C1=C6 C5 C0 =C5 C4
C6
1
1
1 0
0 1 1 1
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0
0
0 1
C5 CC43 C2 C1
• 汉明码定义：最小码距d=3的（n=2m-1，k=2m-m-1）线性 分组码的统称。
两种特殊的H矩阵
• 系统的H矩阵：将重量为1的n-k个列向量排 列成单位阵形式，其他列向量任意放置。 构成系统汉明码的H矩阵。
• 按列向量的二进制数从小到大排列，得到 特殊的非系统汉明码。当发生单个错误的 时候，伴随式的二进制数的大小，就是接 收码字发生错误的位置。因此，译码非常 简单。这种汉明码是最常用的。
• （n,k）的线性分组码，H矩阵列向量中没有0向量，且任 意两列互不相等，即可构成最小码距为3的分组码。H矩阵 为n-k行n列的矩阵，列向量一共有2n-k-1个，即n= 2n-k-1， 满足这种关系，最小码距为3的（n,k）线性分组码称为汉 明码。
第六章纠错编码4线性分组码资料
例3-1 基底及其性质
例3 -1 直角坐标系中的任何点都可以用一个二维矢量 (x, y)来表示，其中x, y R(实数域)，则可以认为：
两维空间是由两个矢量(1, 0)和(0,1) 作为基底张成的，空间的任意一矢量 可由这两个基底线性组合而成。 (x, y) x (1, 0) y (0,1) 两维空间是由两个矢量(-1, 0)和(0, -1)作为基底张成的， 空间的任意一矢量可由这两个基底线性组合而成。
码字与矢量、矢量空间
码字Ci是n个码元的有序排列，是n维n重矢量空间Vn 的元素之一，但是矢量空间Vn的元素不一定是码字。
例如：k位二进制信息有2k 种组合，如果将一个信息 组合对应成一个码字，那么总共有2k 个码字；而n重码 矢所在的n维n重矢量空重矢量不是码字。
信息编码理论
信道编码定理和方法
之 线性分组码
线性分组码
• 矢量空间与码空间 • 线性分组码编码 • 线性分组码伴随式与译码 • 码的纠检错能力与MDC码 • 完备码与汉明码 • 分组码的性能极限
矢量空间与码空间
分组码： 信息：I (i1,i2, ik ) - - - - k位信息 码字：C (c1,c2, cn ) - - - - n位码字
码字与矢量、矢量空间
为便于区分，码字Ci写作(ci0 , ci1, , ci(n1) )，将码字 的集合写作C，称为码集。码集C不一定能构成Vn的一个 子空间，线性分组码的码集C一定是Vn的一个子空间。
对于一般q进制(n, k)分组码，编码前有qk种信息组合， 属于q元域上k维k重矢量空间；编码后有qn种可能的码字 组合，属于q元域上n维n重矢量空间；通常qn qk
分组码编码任务
分组码的任务： 在q n种可能的组合中选择其中q k 个构成一个k维 n重子空间作为码空间。 确定由k维k重矢量空间 映射到 n维n重矢量空间的 映射方法。
(完整word版)线性分组码信道编码
数字通信课程报告题目：数字通信中的线性分组码讲课老师：学生姓名：所属院系:专业：学号：1设计目的和要求0 1 1 1 0 1 1 1 0数字信号在传输中往往由于各种原因，使得在传送的数据流中产生误码，从而使接收端产生图像跳跃，不连续，出现马赛克等现象.通过信道编码可实现对数据流进行相应的处理，使系统具有一定的纠错能力和抗干扰能力，可极大地避免码流传送中误码的发生。
通过线性分组码实现信道编码,提高系统的可靠性。
2 设计原理要设计一个（6，3)线性分组码的编译码程序，最基本的是要具备对输入的信息码进行编码，让它具有抗干扰的能力。
同时，还要让它具有对接收到的整个码组中提取信息码组的功能。
但是,在实际的通信系统中，由于信道传输特性不理想以及加性噪声的影响，接收到的信息中不可避免地会发生错误，影响通信系统的传输可靠性，因而,本设计还要让该程序具有纠正错误的能力,当接收到的码组中有一位码，发生错误时可以检测到这一位错码，并且可以纠正这一位错码,并且让系统从纠正后的码组中提取正确的信息码组. 针对给定的矩阵Q=完成如下的工作：1 完成对任意信息序列的编码2 根据生成矩阵,形成监督矩阵;3 根据得到的监督矩阵，得到伴随式，并根据它进行译码；4 验证工作的正确性.2。
1 线性分组码的编码2.1.1 生成矩阵线性分组码（n ，k ）中许用码字(组)为2k 个。
定义线性分组码的加法为模二加法，乘法为二进制乘法。
即1+1=0、1+0=1、0+1=1、0+0=0；1×1=1、1×0=0、0×0=0、0×1=0.且码字与码字的运算在各个相应比特位上符合上述二进制加法运算规则。
线性分组码具有如下性质（n,k）的性质：1、封闭性。
任意两个码组的和还是许用的码组。
2、码的最小距离等于非零码的最小码重。
对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n－k位的分组码，常记作(n，k）码，如果满足2r－1≥n，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。
qc-ldpc 编码原理
qc-ldpc 编码原理一、引言随着通信技术的快速发展，信道编码在我国通信系统中扮演着越来越重要的角色。
作为一种线性分组码，QC-LDPC 码（Quasi-Cyclic Low-Density Parity-Check，准循环低密度奇偶校验码）因其良好的性能和简单的结构而备受关注。
本文将详细介绍QC-LDPC 编码原理，包括QC-LDPC 码的定义、编码过程、译码原理以及在通信系统中的应用。
二、QC-LDPC 编码原理简介1.LDPC 码的定义LDPC 码（Low-Density Parity-Check，低密度奇偶校验码）是一种线性分组码，其校验矩阵具有低密度特性。
在编码过程中，信息位和校验位通过一定的连接关系组成一个矩阵，该矩阵称为校验矩阵。
2.QC-LDPC 码的结构QC-LDPC 码是一种特殊的LDPC 码，其校验矩阵具有准循环结构。
QC-LDPC 码的结构可以分为两个部分：一部分是固定的循环矩阵，另一部分是可变的矩阵。
这种结构使得QC-LDPC 码在存储和计算上具有较低的复杂度。
3.QC-LDPC 码的编码过程QC-LDPC 码的编码过程主要包括以下几个步骤：（1）初始化：根据信息位和校验位的需求，生成校验矩阵。
（2）编码：将信息位和校验位按照校验矩阵的连接关系进行排列，形成编码矩阵。
（3）校验：对编码矩阵进行奇偶校验，确保编码的正确性。
三、QC-LDPC 码的译码原理QC-LDPC 码的译码原理主要包括硬判决译码和软判决译码两种方法。
1.硬判决译码硬判决译码是基于校验矩阵进行译码的一种方法。
在硬判决译码过程中，根据校验矩阵的性质，通过计算校验位之间的关系来判断信息位的值。
2.软判决译码软判决译码是基于软信息的译码方法。
在软判决译码过程中，利用软信息（如信道估计、噪声估计等）对校验矩阵进行更新，进而进行迭代译码。
四、QC-LDPC 码在通信系统中的应用1.信道编码在无线通信系统中，QC-LDPC 码广泛应用于信道编码。
线性分组码
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2、某（n,k）系统线性分组码的全部码字如下： 、 ）系统线性分组码的全部码字如下： 00000 01011 10110 11101 求： （1）n = ? , k = ? ） 和监督矩阵H。 （2）码的生成矩阵 和监督矩阵 。 ）码的生成矩阵G和监督矩阵
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系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示
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6.3.2 线性分组码的监督方程和监督矩阵
推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字中的 r(r=n－k) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性 方程组确定
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010 011 100 101 110 111
6.3.2 线性分组码的监督方程和监督矩阵
(3) 监督矩阵
为了运算方便，将式 (5.1)监督方程写成 矩阵形式，得 式(5.2)可写成 H CT=0T或 C HT=0 CT、HT、0T分别表 示C、H、0的转置 矩阵。
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6.3.2 线性分组码的监督方程和监督矩阵
6. 3 一、名词解释
线性分组码
线性分组码：通过预定的线性运算将长为 k 位的信息码组变换 成 n 长的码字 ( n>k )。由 2k 个信息码组所编成的 2k个码字集 合，称为线性分组码。 码矢：一个 n 长的码字可以用矢量来表示 码矢
C = (Cn－1,Cn－2,…,C1,C0 ) 1 2
所以码字又称为码矢。 ( n, k ) 线性码 线性码：信息位长为 k，码长为 n 的线性码。 编码效率/编码速率/码率：R=k /n。它说明了信道的利用效率， 编码效率 R是衡量码性能的一个重要参数。 是衡量码性能的一个重要参数
实验三 线性分组码的信道编码和译码
简述实验原理；
根据不同的线性分组码，观察生成矩阵和校验
矩阵的特性。
根据不同的线性分组码，分析检错和纠错能力。
实验三 线性分组码的信道编码和译码
一、实验目的
熟悉 Matlab 工作环境及工具箱； 掌握线性分组码的编码、译码原理以及纠错原
பைடு நூலகம்
理。
二、实验原理
信源发出的信息序列通常不能直接传送给信道传输，
它们需要经过某种变换使其适合信道传输。
变换——编码和译码 信道编码：
降低平均差错率，提高传送的可靠性——纠错编码。
生成矩阵确定以后，由编码函数的后三个方程可以确
定检验方程。
检验方程的矩阵形式为：CHT=0或HCT=0, H称为一致
性校验矩阵。
一致性校验矩阵如下：
一般情况下：G是k*N生成矩阵；H为r*N一致性校验
矩阵，r =N-k为校验数目。
H和G的关系为：G=[Ik*K Ak*r] H=[Ak*r Ir*r] 纠错译码时，若发送码字为 c ，则接收序列为 y ，校
纠错编码：
是引入可控冗余，在信息序列中加入一些冗余码元，
或称校验码元，组成一个相关的码元序列——码字，
译码时利用码元之间的相关性质来检测和纠正错误。
分组码
将信息序列分成K个符号一组，称为信息组，然后，在 信息组中加入一些校验码元，组成N长码字，由此得到 （N，K）分组码。（N，K）分组码中任一码字的码长 为N，所含的信息位数目为K，校验位数目为r=N－K。
正s=y*HT=e*HT 。
因此，可以得到译码 c=y e 。 其中，e称为差错图样。
S是传输是否出错的标志，称为伴随式。
线性分组码编码分析与实现
线性分组码编码分析与实现第一章线性分组码的基本概念与特点1.1 线性分组码的定义：线性分组码是一种具有线性结构的编码方式，采用矩阵运算的方式实现数据的编码和解码。
1.2 线性分组码的特点：（1）码字长度相同（2）编码和解码具有线性性质（3）具有很强的纠错和检错能力（4）编码和解码过程中没有死区（5）对于大量数据的编码和解码工作具有很高的效率1.3 线性分组码的模型：线性分组码的模型由3部分组成：（1）信息部分（2）校验部分（3）生成矩阵第二章编码和解码的实现原理2.1 编码的实现原理：（1）将数据划分为信息部分和校验部分（2）利用生成矩阵将信息部分和校验部分按照一定的规则进行编码（3）产生码字2.2 解码的实现原理：（1）接收到码字，并划分为信息部分和校验部分（2）建立校验矩阵（3）根据校验矩阵的摆放方式进行解码（4）恢复原始数据第三章线性分组码的具体实现3.1 编码的具体实现步骤：（1）确定数据长度和校验长度（2）生成矩阵的构建（3）信息部分和校验部分按照一定的规则进行编码（4）产生码字3.2 解码的具体实现步骤：（1）接收到码字，并划分为信息部分和校验部分（2）建立校验矩阵（3）根据校验矩阵的摆放方式进行解码（4）恢复原始数据第四章线性分组码的应用4.1 线性分组码在通信领域的应用：（1）在通信过程中往往会出现误码和丢包现象，利用线性分组码可以增强数据传输的可靠性（2）线性分组码可以应用于数字语音、数字视频、加密通信等领域，提高通信的效率和安全性4.2 线性分组码在计算机网络领域的应用：（1）在计算机网络领域，线性分组码可以应用于数据校验和错误纠正，提高数据传输的可靠性和稳定性（2）线性分组码可以应用于TCP/IP协议中，提高数据传输的效率和安全性第五章线性分组码的发展趋势5.1 智能化：线性分组码的智能化发展趋势是将其与人工智能、大数据处理等技术相结合，实现自动化编码和自动化解码，提高编码和解码的效率。
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《通信原理课件》
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信道编码的效用
《通信原理课件》
[例9.2.1]
《通信原理课件》
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9.2.2 信道编码的译码方法
《通信原理课件》
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编码中的几个定义
在信道编码中， n 长码字中非零码元的数目定义为码字的汉明
（Hamming）重量，简称码重。例如“10101”码字的码重为 3，“01111” 码字的码重为 4。
两个 n 长码字 x，y 对应码元取值不同的个数定义为码字的汉明距离，
简称码距，用 d(x，y)表示。在一种编码中，码字集合中任意两码字
9.1 引言
《通信原理课件》
在无记忆信道中，噪声独立随机地影响着 每个传输码元，因此接收的码元序列中的错 误是独立随机出现的，以高斯白噪声为主体 的信道属于这类信道。在有记忆信道中，噪 声和干扰的影响往往前后相关，错误成串出 现。还有些信道既有独立随机差错也有突发 性成串差错，称为混合信道。对不同类型的 信道，需要设计不同类型的信道编码，才能 收到良好效果。按照信道特性和设计的码字 类型进行划分，信道编码可以分为纠独立随 机差错码、纠突发差错码和纠混合差错码。 本章将只讨论纠独立随机差错码。
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9.2.1 信道编码的检错和纠错能力
信道编码的检错和纠错能力是通过信息 量的冗余度来换取的。为了便于理解，先 通过一个简单的例子来说明。例如，要传
送A和B两个消息，可以用一个二进制码元 来表示一个消息，比如“0” 码代表A， “1”码表示B。在这种情况下，若传输中产
生错码，即“0”错成“1”，或“1”错成 “0”，接收端将无法检测到差错，因此， 这种编码没有检错和纠错能力。
样不变，后 r 位为监督码元。
图9-3 (n，k）线性分组码为系统码的结构
《通信原理课件》
9.3.1线性分组码的编码
在介绍线性分组码的原理之前，首先我 们来看一种简单而又常用的线性分组码— —奇偶监督码（也称为奇偶校验码），分 为奇数监督码和偶数监督码。无论信息码 元有多少，监督码元只有一位。在偶数监 督码中，监督码元的加入使得每个码字中 “1”的数目为偶数；在奇数监督码中，监 督码元的加入使得每个码字中“1”的数目 为奇数。
元，构成 n k r 个码元组成的码字。线性码是指监督码元与信
息码元之间的关系是线性关系，它们的关系可用一组线性代数方程 联系起来。
线性分组码一般用符号 n, k 表示，其中 k 是每个码字中二进制信
息码元的数目； n 是码字的长度。
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一个 n 长的码字 C 可以用矢量 C cn1,cn2 , ,c1,c0 表示。线性分组码 n, k 为系统码的结构如图 9-3 所示，码字的前 k 位为信息码元，与编码前原
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一、最大后验概率（MAP）译码
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二、最大似然（ML）译码
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三、最小汉明距离译码
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9.3 线性分组码
线性分组码既是分组码，又是线性码。分组码的编码包括两个
基本步骤：首先将信源输出的信息序列以 k 个信息码元划分为一 组；然后根据一定的编码规则由这 k 个信息码元产生 r 个监督码
《通信原理课件》
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本章我们将讨论常见的信道编码和译码的方法。信道编码的数字 通信模型如图 9-1 所示。进入信道编码器的是二进制信息码元序列
M 。信道编码根据一定的规律在信息码元中加入监督码元，输出码 字序列 C 。由于信道中存在噪声和干扰，接收码字序列 R 与发送码 字序列 C 之间存在差错。信道译码根据某种译码规则，从接收到的码 字 R 给出与发送的信息序列 M 最接近的估值序列 Mˆ 。
监督子 S1S2 的可能值就有 4 种组合，故能表示 4 种不同的信息，如果用其中
一种表示无错，则其余 3 种就可以用来指示一位错码的 3 种不同位置。同理，
监督子 S1S2 Sr 的可能值就有 2r 种组合，可以用其中一种表示无错，其余
2r 1 种用来指示一个错码的 2r 1 个可能的位置。
《通信原理课件》
如果用两个二进制码元来表示一个消息，有4 种可能的码字，即“00”、 “01”、“10”和
“11”。比如规定“00”表示消息A， “11”表示 消息B。码字“01”或“10”不允许使用，称为禁
用码字，对应地，用来表示消息的码字称为许用 码字。如果在传输消息的过程中发生一位错码， 则变成禁用码字“01”或“10”，译码器就可判决 为有错。这表明在信息码元后面附加一位监督码 元以后，当只发生一位错码时，码字具有检错能 力。但由于不能判决是哪一位发生了错码，所以 没有纠错能力。
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线性分组码的编码原理
《通信原理课件》
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一般地，在 n, k 线性分组码中，设 M 是编码器的输入信息Байду номын сангаас元序列，
如果编码器的输出码字 C 表示为 C＝M G
（9.3-14）
则 G 为该线性分组码 n, k 码的生成矩阵。生成矩阵G 为 k n 矩阵。容易看
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9.2 信道编码的基本原理
香农的信道编码定理指出：对于一个给
定的有扰信道，如果信道容量为C，只要发 送端以低于C的信息速率R发送信息，则一
定存在一种编码方法，使译码差错概率随 着码长的增加，按指数规律下降到任意小 的值。这就是说，通过信道编码可以使通 信过程不发生差错，或者使差错控制在允 许的数值之下。
《通信原理课件》
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如果 S 0 ，则认为无错，反之有错。式（9.3-2）称为监督关系式或校
验关系式，S 称为监督子或校验子。由于只有一个监督码元，则只有一个监督 关系式，S 的取值只有两种，只能代表有错和无错这两种信息，不能进一步指 明错码的位置。可以推测，如果将监督码元增加一位，则有两个监督关系式，