【数学】北京市东城区2013-2014学年高二第一学期期末考试(文)

不妨设 A( 1,5 c) , B(3, 27 c) .
………………… 8 分
因为 A, B,O 三点共线，所以 kOA kOB .
5+c
即
1
27
c
，解得
c
3.
3
故所求 c 值为 3 .
………………… 9 分
22．（本题满分 9 分）
解：（Ⅰ）若曲线 C ： x2
y2
1是焦点在 x 轴上的椭圆，则有 m 2 3 m 0 ，
……………………… 8 分
4
20．（本题满分 8 分）
解：（Ⅰ） 因为圆 M 与 x 轴交于两点 A( 5,0) , B(1,0), 所以圆心在直线 x
2 上．
x 2,
x 2,
由
得
即圆心 M 的坐标为（ -2,1) ．……………… 2 分
x 2 y 4 0 y 1.
半径 r 32 12 10 , 所以圆 M 的方程为 ( x 2)2 （ y 1)2 10 .
Q
P
E
20. （本题满分 8 分）
A B
D C
已知圆 M 的圆心在直线 x 2 y 4 0 上，且与 x 轴交于两点 A( 5,0) , B(1,0) .
（Ⅰ）求圆 M 的方程；
（Ⅱ）求过点 C (1,2)的圆 M 的切线方程 .
21. （本题满分 9 分）
已知函数 f (x) x3 2ax2 bx c . （Ⅰ）当 c 0 时， f ( x) 的图象在点 (1,3) 处的切线平行于直线 y x 2 ，求 a, b的值；
所以 EO ∥ QB ．
……………………… 2 分
P E
又 EO 平面 AEC ， QB 平面 AEC ，
所以 QB ∥平面 AEC ．
……………………… 4 分
A
D
O
B
C
（II ）因为矩形 ABCD 所在的平面与正方形 ADPQ 所在的平面相互垂直，
平面 ABCD 平面 ADPQ = AD ， CD 平面 ABCD ， CD AD ，
3 （Ⅱ） 当 a ,b
2 求 c 的值 .
9 时， f ( x) 在点 A, B 处有极值， O 为坐标原点， 若 A, B,O 三点共线，
22．（本题满分 9 分）
已知曲线 C ： x 2
y2 1 (m R) ．
m2 3m
（Ⅰ）若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围；
（Ⅱ）设 m 2 ，过点 D (0, 4) 的直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点， O 为坐标原点，若
东城区 2013—2014 学年度第一学期期末教学统一检测
高二数学（文科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项．
1．设命题 p ： x
2
R, x
2014 ，则
p 为（
）
A． x R, x2 2014
B
． x R , x2 2014
．
x2
y2
15．已知 F1 ， F2 是椭圆
1 的左、右焦点，过
k 2 k1
圆于 A, B 两点，若△ ABF2 的周长为 8 ，则 k 的值为
F1 的直线交椭
.
பைடு நூலகம்
16．一个几何体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个
全等的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为
．
17．若直线 y kx 1与圆 x2 y2 1相交于 P ， Q 两点，且 POQ 120 ( 其中 O 为原
所以 CD 平面 ADPQ ．
又 AE 平面 ADPQ ，
所以 CD AE ．
……………………… 6 分
又因为 AD AQ ， E 是 QD 的中点，
所以 AE QD ．
又 QD CD D ，所以 AE 平面 QDC ． ……………………… 7 分
由 AE 平面 AEC ，
所以平面 QDC ⊥平面 AEC ．
A． 1
B
．－ 1
C
．2
D
5. 设点 P(a,b, c)关于原点的对称点为 P ，则 PP 等于（
．－ 2 ）
A． 2 a 2 b 2 c 2
B
． a2 b2 c2
C． a b c
D
．2a b c
6．若图中直线 l1 ， l2 ， l 3 的斜率分别为 k1 ， k2 ， k3 ，则 (
)
A． k1< k2 < k3 C． k3 < k2 < k1
-----------------7
分
又 x12 4
y12 1 , ②
将①代入②，消去 x1得 3 y12 4y1 4 0 ，
2 解得 y1 3 或 y1
2 （舍去），
6
2
将 y1
代入①，得
3
x1
2 5 ，所以 k
y1 4
3
x1
故所求 k 的值为 5 .
----------------9
5.
分
7
OMN 为直角，求直线 l 的斜率．
3
东城区 2013—2014 学年度第一学期期末教学统一检测 高二数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分．
1． A 2 ． C 3 ．D 4 ． B
5
．A 6 ．B
7． C 8 ． A 9 ．B 10 ． D 11 ． A 12 ． D
C． x R, x2 2014
D
． x R , x2 2014
2．直线 2x 3 y 6 0 在 y 轴上的截距为（
）
A． 3
B
．2
C
3．双曲线 x 2 2
y2 1 的渐近线方程为（
2
．2
）
D
．3
A． y 4x B ． y 2x C ． y
2x D ． y x
4．如图，函数 y f ( x) 在 A ， B 两点间的平均变化率是 ( )
分
y kx 4
(32k) 2 240(1 4k 2 ) 64k2 240 ，当
0 时，解得 k 2
15
．
4
设 M , N 两点的坐标分别为 (x1, y1) ,( x2 , y2) ，
因为 OMN 为直角，所以 kOM k
1 ，即 y1 y1 4 x1 x1
1，
整理得 x12 4 y1 y12 ． ①
……………… 4 分
（Ⅱ）由 C 坐标可知点 C 在圆 M 上，由 kCM
1
，可知切线的斜率为
3
3 ．…… 6 分
故过点 C (1,2) 的圆 M 的切线方程为 3x y 5 0 . ……………… 8 分
21．（本题满分 9 分）
解：（Ⅰ） 当 c 0 时， f ( x) x3 2ax2 bx.
所以 f '(x) 3x2 4ax b .
……………… 2 分
依题意可得 （f 1）=3 , f (1) 1，
3 4a b 1,
a 2,
即
解得
1 2a b 3,
b 6.
………………… 5 分
（Ⅱ）当 a 3 ,b 2
9 时， f (x) x3 3x2 9x c .
所以 f '(x) 3x2 6x 9 3(x 3)(x 1) .
………………… 7 分
0) 交于 A, B 两点，点 F 为抛物线的
焦点，若△ FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率为（
）
5
6
A．
B
．
5
5
C
．5
D
．6
二、填空题：本大题共 6 小题 , 每小题 3 分 , 共 18 分 . 将答案填在题中横线上 .
13．曲线 y x3 2x 4 在点 (1，3) 处的切线的斜率为
.
14．若直线 x (m+1)y 2 m 与直线 mx 2 y 8 互相垂直， 则 m 的值为
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
9．已知 l 表示空间一条直线，
， 表示空间两个不重合的平面，有以下三个语句：①
1
l
；② l ∥ ；③
. 以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三
个命题，其中正确命题的个数是（
）
A． 0
B
．1
C
．2
D
．3
10．若圆 x 2 y 2 Dx Ey F 0 关于直线 l1 : x y 4 0 和直线 l 2; x 3y 0 都对
称，则 D E 的值为（ ）
A． 4
B
．2
C
．2
D
．4
1 11．若函数 f ( x) ax ln x 在 ( , ) 内单调递增，则 a 的取值范围为 ( )
2
A． [ 2, )
B
． ( ,2]
C． ( ,0]
D
． ( ,0] [ 2, )
12. 抛物线 y2 4x 的准线与双曲线
x2 a2
y2
1(a
其中所有正确结论的序号是 ________．
三、解答题：本大题共 4 小题 , 共 34 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
2
19．（本题满分 8 分）
如图，矩形 ABCD 所在的平面与正方形 ADPQ 所在的平面相互垂直，
E 是 QD 的中点 .
（I ）求证： QB ∥平面 AEC ; （II ）求证：平面 QDC ⊥平面 AEC ．
二、填空题：本大题共 6 小题 , 每小题 3 分 , 共 18 分 .
13. 1 14.
2
15.
3
2
16
64
．
17
．
3
3 或 3 18 ． ①②
三、解答题：本大题共 4 个小题，共 34 分 .
19．（本题满分 8 分）
解: （ I ）连接 BD 交 AC 于 O , 连接 EO ．
Q
在三角形 BDQ 中， E ， O 分别为 QD 和 BD 的中点，
点 ) ，则 k 的值为
．
18．已知椭圆
C1
：
x2 a1 2
y2 b1 2
1（ a1 b1
0 ）和椭圆
C2
：
x2 a22
y2 b2 2
1（ a2
b2
0）
的离心率相同，且 a1 a2 . 给出如下三个结论：
①椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点；
a1 ② a2
b1 ； b2
③ a12 a22 b12 b22 .
令 f (x) 0 ，解得 x1 3 ， x2 1 .
当 x 变化时， f '(x), f ( x) 变化情况如下表：
x
( , 1)
1
( 1,3)
3
(3, )
f '(x)
0
0
f ( x)
5+ c
27+ c
5
所以当 x 1 时， f (x)极大值 5 c ；当 x 3 时， f ( x)极小值 27 c .
2
7．已知 P 为椭圆 x 16
B． k1 < k3 < k2 D． k3 < k1 < k2
2
y 1 上的一点， B1， B2 分别为椭圆的上、下顶点，若△ 9
PB1B2 的
面积为 6，则满足条件的点 P 的个数为（ ）
A． 0
B
．2
C
．4
D
．6
8. “ a b ”是“直线 y x 2与圆（ x a) 2 ( y b) 2 2 相切”的（ ）
m2 3m
1
解得 m 3 ．
-------------------3
分
2
（Ⅱ） m 2 时，曲线 C 的方程为 x2 4
y 2 1 ， C 为椭圆，
由题意知，点 D(0,4) 的直线 l 的斜率存在，所以设 l 的方程为 y kx 4 ，
x2 由4
y2
1，
消去
y 得 (1
4k2 ) x2
32kx 60 0 . ------------------5