2021-2022学年广东省深圳市南山区高一上学期期末数学试题

2021-2022学年度第一学期期末教学质量监测
高一数学试题
2022.01
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔在答题卡上填写自己的姓名､班级､学校，并把条形码粘贴在指定位置.
2.请按照要求答题，必须用黑色宇迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答，视为无效.
3.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{}{}22,0,1,1A B x
x =-=≤∣，则A B = （）
A ．∅
B ．{}2,1,0,1--
C ．{}
1,0,1-D ．{}
0,12．若
11
0a b
<<，则下列不等式中，正确的是（）
A ．a b <
B ．22a b >
C ．a b ab
+<D ．11a b a b
-
<-3．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a
<<D ．c a b <<4．已知0x >，则2
42x x
--的最大值为（
）A ．2
-B ．1
-C ．0
D ．2
5．已知函数()f x 为偶函数，且在(],0-∞上单调递增，()12f -=，则不等式()212f x +<的解集为（
）
A ．()(),10,-∞-⋃+∞
B ．()0,∞+
C ．()
1,0-D ．()
,1-∞-
6．函数()32cos 1
x x
f x x =+的图象大致为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．设()ln 2f x x x =+-，则函数()f x 的零点所在的区间为（）A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
8．如图是函数()()sin (0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象，则下列说法正确的是（
）
A ．22,3
πωϕ==B ．21,3
πωϕ==C ．2,3
π
ωϕ==
D ．2,6
π
ωϕ==
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）
A ．()f x x =与()g x =
B ．()2
ln f x x =与()2ln g x x
=C ．()21f x x =-与()()
2
(1)21g x x x =+-+D ．(
)f x =
(
)g x 10．设0a >且1a ≠，m ，n 是正整数，则（）A ．log ()log log a a a mn m n =+B ．log log (log a a a m m n
n
=
C ．log log n a a m n m =
D ．log log n
a a m n m
=11．下列命题为真命题的有（）
A ．若0a b >>，则22ac bc >
B ．若0a b >>，则22a b >
C ．若0a b <<，则
11a b
<D ．若0,0a b c >><则
c c a b
>12．
（多选）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数[]y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]1.11=．已知()211x f x x -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦
，()(),32,x ∈-∞-⋃+∞，则函数()f x 的值可能为（）A ．0B ．1C ．2
D ．3
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数f (x )
1
2
x -的定义域为____________14．已知函数21(10)
()3(03)
x x x f x x ⎧+-≤≤=⎨<≤⎩，则[(1)]f f -=_________．
15．在ABC 中，4B π
=
，BC 边上的高等于1
3
BC ,则cos A =______________．16．已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪
=⎨-+>⎪⎩
，若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，
满足1234x x x x <<<，则1234s x x x x =++值为__________.
四､解答题：本题共6小页，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤
17．已知2sin cos 0αα+=，求
4sin 3cos 2sin 5cos αα
αα
-+的值.
18．已知全集U R =，集合[){}2,1,23A B x a x a =-=<<+．(1)若1
2
a =-，求()U A B ⋃ð．
(2):,:p x A q x B ∈∈．若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．
19．（1）化简：
1sin10cos10-
.（2）已知,αβ都是锐角，()45
sin ,cos 513
ααβ=
+=，求sin β的值.
20．已知函数()2
1cos sin (02),26
f x x x x x πωωωω⋅+-<<=-是函数()f x 图象的一条
对称轴.
(1)求()f x 的最大值，并写出()f x 取得最大值时自变量x 的取值集合；(2)求()f x 在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的单调递增区间.
21．已知定义域为R 的函数()122x x a
f x b
+-+=+是奇函数.
(1)求,a b 的值；
(2)判断并证明函数()f x 的单调性；
(3)若对任意的[]1,1t ∈-不等式()()
22
20f t t f k t -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.
22．已知二次函数()2
f x ax bx c =++.
(1)若函数满足()()122f x f x x +-=+，且()01f =.求()f x 的解析式；
(2)若对任意x ∈R ，不等式()2f x ax b ≥+恒成立，求()
2
22
4b a c +的最大值.
【分析】
根据元素与集合的关系求解A B .【详解】
因为()2
2221,01,11-><=，所以{}0,1A B = .故选：D.2．C 【分析】
利用不等式的基本性质判断.【详解】由
11
0a b <<，得110,0,0a b a b ab
b a <<--=<，即0b a <<，故A 错误；则0b a ->->，则()()2
2
b a ->-，即22a b <，故B 错误；则0a b +<，0ab >，所以a b ab +<，故C 正确；则11
b a -
<-，所以11b a b a
-<-，故D 错误；故选：C 3．A 【分析】
利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小．【详解】
0.200.30.31c =<=；22log 7log 42>=；331log 8log 92<<=．
故c b a <<．故选A ．【点睛】
利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待．
【分析】
把所求代数式242x x
--变形，转化成142(x x -+，再对其中1
x x +部分以基本不等式求最值
即可解决.【详解】
0x >时，12x x +
≥=（当且仅当1x =时等号成立）则21
4242()0x x x x --=-+≤，即242x x
--的最大值为0.
故选：C 5．A 【分析】
由题可得函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，()12f =，且()()2121f x f x +=+，再利用函数单调性即得.【详解】
因为函数()f x 为偶函数且在(],0-∞上单调逆增，()12f -=，
所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，()12f =，且()()2121f x f x +=+，所以()()211f x f +<，
所以211x +>，解得1x <-或0x >，即x 的取值范围是()(),10,-∞-⋃+∞.故选：A.6．A 【分析】
以函数奇偶性排除部分选项，再以特殊值排除部分选项即可解决.【详解】
函数()32cos 1x x
f x x =+定义域为R ，
()()3322()cos()cos ()11
x x x x
f x f x x x ---==---++，
则()f x 为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除BD ；
又()322cos28
cos 22125
f ==+，
由22π
π<<可知，()8co 2s 205
f =<，排除C.故选：A 7．B 【分析】
根据()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.【详解】
()ln 2f x x x =+-在(0,)+∞单调递增，
且(1)10,(2)ln 20f f =-<=>，根据零点存在性定理，
得()f x 存在唯一的零点在区间(1,2)上.故选：B 【点睛】
本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题.8．A 【分析】
先通过观察图像可得A 和周期，根据周期公式可求出ω，再代入最高点坐标可得ϕ.【详解】由图像得2A =，11521212
T ππ
=-，则T π=，2π
πω
∴
=，2ω∴=，
()()
2sin 2f x x ϕ∴=+11112sin 2212
12f ππϕ⎛⎫⎛⎫
∴=⨯+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得23
4,k k Z π
ϕπ=-+∈，又ϕπ<，23
πϕ∴=
.故选：A.9．AC 【分析】
判断函数是否是同一个函数就要看两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.【详解】
对于A 选项，()f x x =与()g x x ==,两个函数的定义域为R ,对应法则也一样，则A 正确；
对于B 选项，()2
ln f x x =的定义域为{}0x x ≠，()2ln g x x =的定义域为{}0x x >，则这两个
函数不是同一个函数，则B 不选；
对于C 选项，()21f x x =-与()()22
(1)211g x x x x =+-+=-，两个函数的定义域为R ,对应
法则也一样，则C 正确；
对于D 选项，()
f x =
{}1x x >，()g x =的定义域为{}1x x ≥，则这
两个函数不是同一个函数，则D 不选.故选：AC .10．AD 【分析】
利用对数的运算性质逐一判断即可.【详解】
A ，由对数的运算性质可得log ()log log a a a mn m n =+，故A 正确；
B ，log (log log a a a m
m n n
=-，故B 错误;
C ，1
log log n a a m m n
=
，故C 错误；D ，log log n
a a m n m =，故D 正确.
故选：AD 11．BD 【分析】
以不等式性质4判断选项A ；以不等式性质7判断选项B ；以求差法判断选项C 、D.【详解】
选项A:当0c =时，22ac bc =，判断错误；选项B:推导符合不等式性质，判断正确；选项C:
11b a a b ab
--=，由0a b <<，
可知0ab >,0b a ->，则0b a ab ->，即11
a b
>.判断错误；选项D:
()
c c c b a a b ab
--=由0a b >>，可知0ab >,0b a -<又有0c <则()
0c b a ab ->，即c c a b
>，判断正确.故选：BD 12．BCD 【分析】
利用常数分离法知
213211x x x -=-++，根据x 的取值范围结合不等式的性质求出3
21
x -+的取值范围，进而得到函数()f x 的值.【详解】
()213213
2111
x x x x x +--==-
+++Q
，()(),32,x ∈-∞-⋃+∞当2x >时，13x +>，113001131x x ∴<
<⇒<<++，31221x ∴<-<+，此时()f x 的取值为1；
当3x <-时，12x +<-，1133002121x x ∴-<
<⇒-<<++，37
2212
x ∴<-<+，此时()f x 的取值为2，3．
综上，函数()f x 的值可能为1,2,3．故选：BCD ．13．[)()0,22,+∞ 【分析】
根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.【详解】
根据题意，由210
2x x ⎧-≥⎨≠⎩
，解得0x ≥且2x ≠，因此定义域为[)()0,22,+∞ .
故答案为：[)()0,22,+∞ .14．9【分析】
运用代入法进行求解即可.【详解】
2[(1)](2)39f f f -===，
故答案为：915
．10
.【分析】
设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =
，求出AC
，AB =．再利用余弦定理求出cos A .【详解】
设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，
所以AC =
，AB =．
由余弦定理，知222222cos 210AB AC BC A AB AC +-==-⋅．
故答案为10
-【点睛】
本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．11【分析】
画出函数图像，利用对数运算及二次函数的对称性可得答案.【详解】
函数()32log ,03
1108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪
=⎨-+>⎪⎩
的图像如图：
若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则必有313234log log 52
x x x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得1234110x x x x =⎧⎨+=⎩，123411s x x x x +==+.
故答案为：11.
17．5
4
-【分析】
先根据条件求出tan α，再将目标式转化为用tan α表示，然后代入tan α的值即可.
【详解】
由已知cos 0α≠，
所以由2sin cos 0αα+=得1
tan 2
α=-,434sin 3cos 4tan 352sin 5cos 2tan 22415251αααααα⎛⎫⨯- ⎪--⎝⎭∴===-++⎛⎫+⎪⎭
- ⎝-⨯18．(1){ 2.5x x ≥或}1x <；
(2)[2,1)
--【分析】
（1）根据集合的补集和并集的定义进行求解即可；
（2）由充分不必要条件确定集合A
B 、之间的关系，根据真子集的性质进行求解即可.(1)因为12a =-，所以512B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩
⎭，因此{ 2.5U B x x =≥ð或}1x ≤-，而[)2,1A =-，
所以()U A B ⋃ð{ 2.5x x =≥或}1x <；
(2)
因为p 是q 的充分不必要条件，
所以A ÜB ，因此有：23132122a a a a a <+⎧⎪≤+⇒-≤<-⎨⎪->⎩
，
故a 的取值范围为[2,1)--.
19．（1）4；（2）
1665【分析】
（1）通分，然后用辅助角公式计算即可；
（2）先通过角的范围求出()cos ,sin ααβ+，再通过()sin sin βαβα=+-，利用两角差的正弦公式计算即可.
【详解】
（1
）
()()
2sin30cos1030sin102sin 3010141sin10sin10cos10c sin 20o 2s --== ；（2）因为,αβ都是锐角，则0αβ<+<π，
又()5cos 013
αβ+=>，02παβ∴<+<
，()
cos ,sin 312513
ααβ∴==+==，()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα
∴=+-=+-+123541613513565
=⨯-⨯=20．(1)()max 1f x =，|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；()min 1f x =-，|,6x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭
(2),63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】
（1）化简得()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
，根据对称轴可得ω的值，进而根据正弦函数的性质可得最值；（2）根据正弦函数的性质可得()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的单调递增区间(1)
由已知
()211cos sin cos2sin 2
226f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=⋅+-
-=- ⎪⎝⎭又6x π
=-是函数()f x 图象的一条对称轴，所以2662
k πππωπ⎛⎫⨯--=+ ⎪⎝⎭，得23k ω=--，02ω<< ，1
ω∴=即()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，()1max f x ∴=，此时22,62x k k Z πππ-
=+∈，即|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，()min
1f x =-，此时22,62x k k Z πππ-=-+∈，即|,6x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭
，(2),22x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦
，则752666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴当2,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦时，即,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，()f x 单调递增，()f x ∴在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.21．(1)1a =，2b =；
(2)()f x 为定义在R 上的减函数，证明见解析；
(3)()2,+∞.
【分析】
（1）由()00f =可求得1a =；根据奇函数定义知()()f x f x -=-，由此构造方程求得b ；
（2）将函数整理为()11212
x f x =-+，设21x x >，可证得()()210f x f x -<，由此可得结论；（3）根据单调性和奇偶性可将不等式化为2k t >，结合t 的范围可求得()max 2t ，由此可得结果.
(1)
()122x x a f x b
+-+=+ 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-且()00f =，
()1002a f b -==+ ，解得：1a =，()1122x x f x b
+-∴=+，()11121222x x
x x f x b b
--+--∴-==-++，解得：2b =；当1a =，2b =时，()11222
x x f x +-=+，()()1112212222x x x x f x f x --+--∴-===-++，满足()f x 为奇函数；
综上所述：1a =，2b =；
(2)
由（1）得：()()()1221121122212
221x x x x x f x +-+-===-+++；设21x x >，则()()()()
11222121112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，21220x x >> ，2121211x x ∴+>+>，12220x x -<，()()210f x f x ∴-<，()f x ∴是定义在R 上的减函数；
(3)
由()()2220f t t f k t -+-<得：()()
222f t t f k t -<--，又()f x 为R 上的奇函数，()()22f k t f t k ∴--=-，()()222f t t f t k ∴-<-，
由（2）知：()f x 是定义在R 上的减函数，222t t t k ∴->-，即2k t >，当[]1,1t ∈-时，[]22,2t ∈-，2k ∴>，即实数k 的取值范围为()2,+∞.
22．(1)()21
f x x x =++
【分析】
（1）利用待定系数的方法确定二次函数解析式（2）由二次不等式恒成立，转化参数关系，
代入()
2
224b a c +通过讨论特殊情况后配合基本不等式求出最值(1)
设()()2,0f x ax bx c a =++≠，
由已知代入()()122f x f x x +-=+，
得222ax a b x ++=+，
对于x ∈R 恒成立，
故222a a b =⎧⎨+=⎩
，解得1,1a b ==，又由()01f =，得1c =，所以()21f x x x =++；
(2)
若对任意x ∈R ，不等式()2f x ax b +
恒成立，整理得：()220ax b a x c b +-+-
恒成立，因为a 不为0，所以20Δ(2)4()0a b a a c b >⎧⎨=---⎩
，所以()204b a c a - ，所以()2
2
22222141c b ac a a a c a c c a --=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，令1c t a
=-，因为()204b a c a - ，所以00c a t >⇒ ，若0=t 时，此时()
22222221=041c b ac a a a c a c c a --=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，若0t >时，()(
)222211224112b t a c t t t =+++++ ，
当t =
时，即(1c a =时，上式取得等号，综上()
2224b a c +。