湖北省黄冈市2020年新高考高一数学下学期期末达标检测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在ABC 三角形中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD =( )
A ．2133A
B A
C + B ．
12
33AB AC + C ．2133
AB AC -
D ．1233
AB AC -
2．已知数列{}n a 满足11a =，2
1n n a a n --=（n *∈N 且2n ≥），且数列21{}n a -是递增数列，数列2{}
n a 是递减数列，又12a a >，则100a = A ．5050-
B ．5050
C ．4950-
D ．4950
3．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（ ） A ．3
B ．5
C ．2
D ．1
4．棱长为2的正四面体的表面积是（ ） A 3B ．4
C ．43
D ．16
5．在面积为S 的平行四边形ABCD 内任取一点P ，则三角形PBD 的面积大于3
S
的概率为（ ） A ．
19
B ．
29
C ．
13
D ．
49
6．直线122x t y t
=+⎧⎨
=+⎩（t 是参数）被圆22
9x y +=截得的弦长等于（ ）
A ．
125
B ．
10
5
C ．
92
5
D ．
125
5
7．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()4n n a S n N *
+=∈，则4
S
的值为（ ）
A ．3
B ．
72
C ．
154
D ．不确定
8．已知函数lg ,0
()10,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩
，则((2))f f -=（ ）
A ．2
B ．-2
C ．1
D ．-1
9．已知各项均为正数的等比数列{}n b ，若3716b b ⋅=，则5b 的值为（ ） A ．-4
B ．4
C ．4±
D ．0
10．已知数列满足，，则的值为（ ）
A ．2
B ．-3
C ．
D ．
11．在平面坐标系中，,AB ,CD ,EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若sin tan cos ααα<<，则P 所在的圆弧最有可能的是（ ）
A ．A
B B ．CD
C ．EF
D ．GH
12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若111tan tan tan A B C +=，则22
23a b c
++的最小值是（ ） A ．5
B ．8
C ．7
D ．6
二、填空题：本题共4小题
13．已知球O 的一个内接四面体ABCD 中，AB BC ⊥，BD 过球心O ，若该四面体的体积为1，且
2AB BC +=，则球O 的表面积的最小值为_________．
14．函数()2
2sin
31y x π=-的最小正周期为__________．
15．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝6，AB ＝8，点M 为△ABC 内切圆的圆心，过点M 作动直线l 与线段AB ，AC 都相交，将△ABC 沿动直线l 翻折，使翻折后的点A 在平面BCM 上的射影P 落在直线BC 上，点A 在直线l 上的射影为Q ，则
PQ AQ
的最小值为_____．
16．已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足()10,1a ∈，()31,2a ∈，()42,4a ∈，则6a 的取值范围为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知直线：
（1）求证：不论实数取何值，直线总经过一定点；
（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程．
18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点 D 是棱BC 的中点，
点F 在棱1CC 上，已知AB AC =，13AA =，2BC CF ==
（1）若点M 在棱1BB 上，且1BM =，求证：平面CAM ⊥平面ADF ；
（2）棱AB 上是否存在一点E ，使得1
//C E 平面ADF 证 明你的结论。

19．（6分）等差数列{}n a 的前n 项和为46,
62,75n S S S =-=-，求数列{||}n a 前n 项和.
20．（6分）已知两个不共线的向量a ，b 满足(1,3)a =，(cos ,sin )b =θθ，R θ∈．
（1）若//a b ，求角θ的值；
（2）若2a b -与7a b -垂直，求||a b ＋的值；
（3）当0,2π⎡⎤
θ∈⎢⎥⎣⎦
时，存在两个不同的θ使得|3|||a b ma +=成立，求正数m 的取值范围.
21．（6分）已知函数log (5)log (5(())01)a a f x x x a a =+-->≠，的图象过点()3,2. （1）求a 的值；
（2）判断()f x 的奇偶性并证明.
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 为单位圆上的一点，且4
AOP π
∠=
，点P 沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点()Q a b ，
（1）当6
π
θ=
时，求ab 的值；
（2）设42ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，求b a -的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
利用向量的三角形法则以及线性运算法则进行运算,即可得出结论. 【详解】
因为点D 是BC 边上靠近B 的三等分点,所以1
3
BD BC =, 所以1121
()3333
AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+, 故选:A. 【点睛】
本题考查向量的加､减法以及数乘运算,需要学生熟练掌握三角形法则和共线定理. 2．A 【解析】 【分析】
根据已知条件可以推出，当n 为奇数时，0n a >，当n 为偶数时，0n a <，因此2
1n n a a n --=去绝对值可以得到，12
1(1)n n n a a n +--=-⋅，利用累加法继而算出结果．
【详解】
2212a a -=，即214a -=，
25a ∴=或3-，
又12a a >，
23a ∴=-．
数列21{}n a -为递增数列，数列2{}n a 为递减数列，
∴当n 为奇数时，0n a >，当n 为偶数时，0n a <， ∴121(1)n n n a a n +--=-⋅．
1001009999989897211()()()()a a a a a a a a a a ∴=-+-+-+⋯+-+
2222222100999897969521=-+-+-+--+
22222222))(10099(9897(96195)(2)----=-----
(10099989796321)=-+++++⋯+++
1001
10050502
+=-
⨯=-．故选A ． 【点睛】
本题主要考查了通过递推式求数列的通项公式，数列单调性的应用，以及并项求和法的应用。

3．A 【解析】 【分析】
先由题意确定抽样比，进而可求出结果. 【详解】
由题意该单位共有职工305020100++=人， 用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，抽样比为101
10010
=， 所以应抽查的老年人的人数为1
30310
⨯=. 故选A 【点睛】
本题主要考查分层抽样，会由题意求抽样比即可，属于基础题型. 4．C 【解析】 【分析】
根据题意求出一个面的面积，然后乘以4即可得到正四面体的表面积． 【详解】
每个面的面积为1222⨯⨯=∴正四面体的表面积为【点睛】
本题考查正四面体的表面积，正四面体四个面均为正三角形． 5．A 【解析】 【分析】
转化条件求出满足要求的P 点的范围，求出面积比即可得解. 【详解】
设P 到BD 距离为h ，A 到BD 距离为H ，则11
233
PBD
S S
BD h BD H =
⋅>=⨯⋅， ∴2
3
h H >
，∴满足条件的点P 在AGH 和CEF △中， 所求概率12199AGH S
S P S S ===
. 故选：A. 【点睛】
本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】
先消参数得直线普通方程，再根据垂径定理得弦长. 【详解】 直线122x t
y t =+⎧⎨
=+⎩
（t 是参数），消去参数化为普通方程：230x y -+=．
圆心()0,0O 到直线的距离5
d =
∴直线被圆2
2
9x y +=截得的弦长2
223125
95r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
.
故选D ． 【点睛】
本题考查参数方程化普通方程以及垂径定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．C 【解析】 【分析】
令1n =，由11a S =求出1a 的值，再令2n ≥时，由4n n a S +=得出114n n a S --+=，两式相减可推出数列
{}n a 是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出4S 的值.
当1n =时，11124a S a +==，得12a =；
当2n ≥时，由4n n a S +=得出114n n a S --+=，两式相减得120n n a a --=，可得
11
2
n n a a -=. 所以，数列{}n a 是以2为首项，以12为公比的等比数列，因此，441211152414412
S ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭
==-=-.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用前n 项和求数列通项，同时也考查了等比数列求和，在递推公式中涉及n a 与n S 时，可利用
公式11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解出n a ，也可以转化为n S 来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
8．B 【解析】 【分析】
根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论． 【详解】
由分段函数的表达式可知2(2)100f --=>， 则22((2))(10)102f f f lg ---===-， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式求解是解决本题的关键，属于容易题． 9．B 【解析】 【分析】
根据等比中项可得2
375b b b ⋅=，再根据0n b >，即可求出结果.
【详解】
由等比中项可知，2
37516b b b ⋅==，又0n b >，所以54b =.
故选:B. 【点睛】
本题主要考查了等比中项的性质，属于基础题.
先通过列举找到数列的周期，再利用数列的周期求值.
【详解】
由题得，
所以数列的周期为4，
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查递推数列和数列的周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 11．A
【解析】
【分析】
根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可得答案．
【详解】
若P在AB段,正弦小于正切,正切有可能小于余弦;
若P在CD段，正切最大，则cosα<sinα<tanα；
若P在EF段，正切，余弦为负值，正弦为正，tanα<cosα<sinα；
若P在GH段，正切为正值，正弦和余弦为负值，cosα<sinα<tanα.
∴P所在的圆弧最有可能的是AB.
故选：A.
【点睛】
本题任意角的三角函数的应用，根据角的大小判断角的正弦、余弦、正切值的正负及大小，为基础题.
先化简条件中的等式，利用余弦定理整理得到等式，然后根据等式利用基本不等式求解最小值. 【详解】 由
111tan tan tan A B C +=，得cos sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin A B A B C C
A B A B C
+==， 化简整理得2223a b c +=，2222
222
333323a b c c c c c
++=+≥⨯， 即2
2
236a b c ++≥，当且仅当2
233c c
=，即1c =时，取等号．故选D ． 【点睛】
本题考查正、余弦定理在边角化简中的应用，难度一般.对于利用基本不等求最值的时候，一定要注意取到等号的条件.
二、填空题：本题共4小题 13．38π 【解析】 【分析】
求出ABC ∆面积的最大值，结合棱锥O ABC -的体积可得O 到平面ABC 距离的最小值，进一步求得球的半径的最小值得答案． 【详解】
解：在Rt ABC ∆中，由AB BC ⊥，且2AB BC +=，
得22AB BC AB BC =+≥⋅1AB BC ⋅≤． 当且仅当1AB BC ==时，AB BC ⋅有最大值1．
BD 过球心O ，且四面体ABCD 的体积为1，
∴三棱锥O ABC -的体积为
1
2
．
则O 到平面ABC 的距离为
12311132
=⨯⨯． 此时ABC ∆
， 则球O
=， ∴球O
的表面积的最小值为2
438ππ⨯=． 故答案为：38π． 【点睛】
本题考查多面体外接球表面积最值的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查空间想象能力，是中档题． 14．
13
【解析】 【分析】 先将()2
2sin 31y x π=-转化为余弦的二倍角公式,再用最小正周期公式求解.
【详解】 解：
()22sin 31y x π=-
()2
12sin 3y x π⎡⎤∴=--⎣⎦
()cos 23x π=-⎡⎤⎣⎦
()cos 6x π=-
最小正周期为221
63
T π
πω
π=
=
=. 故答案为
13
【点睛】
本题考查二倍角的余弦公式,和最小正周期公式. 15．
25 【解析】 【分析】
以AB ，BC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设直线l 的斜率为k ，用k 表示出|PQ|，|AQ|，利用
基本不等式得出答案． 【详解】
过点M 作△ABC 的三边的垂线，设⊙M 的半径为r ，则r 6
810
2
+-==2， 以AB ，BC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则M （2，2），A （0，8），
因为A 在平面BCM 的射影在直线BC 上，所以直线l 必存在斜率， 过A 作AQ ⊥l ，垂足为Q ，交直线BC 于P ， 设直线l 的方程为：y ＝k （x ﹣2）+2，则|AQ|2
261
k k +=
+，
又直线AQ 的方程为：y 1
k
=-
x+8，则P （8k ，0），所以|AP|26464k =+=821k +， 所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝82
2
2611
k k k ++-
+，
所以
(
)281126
k PQ AQ
k +=
-+，
①当k ＞﹣3时，
(
)281126
k k +-=+4（k+3）40
3
k +
-+25≥810-25， 当且仅当4（k+3）40
3
k =
+，即k 10=-3时取等号； ②当k ＜﹣3时，则
(
)281126
k k +-=-+4（k+3）40
3
k -
++23≥810+23， 当且仅当﹣4（k+3）40
3
k =-+，即k 10=--3时取等号. 故答案为：810-25
【点睛】
本题考查了考查空间距离的计算，考查基本不等式的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．()
3
24,64
【解析】 【分析】
设等比数列1a 、2a 、3a 、4a 的公比为q ，由43a q a =和341
a q a =计算出q 的取值范围，再由2
64a a q =可得出6a 的取值范围. 【详解】
设等比数列1a 、2a 、3a 、4a 的公比为q ，
()10,1a ∈，()31,2a ∈，()42,4a ∈，所以，
()431,4a q a =∈，341
2a
q a =>，(
)
3
2,4q ∴∈.
所以，()
2
36424,64a a q =∈，故答案为：()
3
24,64.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式及其性质，解题的关键就是利用已知条件求出公比的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）
；（2）
【解析】 【分析】
（1）直线方程可整理为：，由直线系的知识联立方程组，解方程组可
得定点；
（2）由题意可得的范围，分别令，
得到相应的截距，可表示面积，由二次函数的知识可得
结论． 【详解】
（1）直线方程可整理为：，
联立
，解得
，
直线恒过定点.
（2）由题意可知直线的斜率，
令
，得：
，
令，得：，
，
分母，
当
时，取最大值
此时为最小值. 故直线的方程为：
即为：
【点睛】
本题考查直线过定点问题，涉及函数最值的求解，属中档题． 18．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）通过证明CM DF ⊥，AD CM ⊥进而证明CM ⊥平面ADF 再证明平面CAM ⊥平面ADF ；（2）取棱AB 的中点E ，连接CE 交AD 于O ，结合三角形重心的性质证明1//OF C E ，从而证明1//C E 平面ADF . 【详解】
（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，由于1B B ⊥平面ABC ，1BB ⊂平面11B BCC ， 所以平面11B BCC ⊥平面ABC ．（或者得出1AD BB ⊥ ）
由于AB AC =，D 是BC 中点，所以AD BC ⊥．平面11B BCC ⋂平面ABC BC =，
AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面11B BCC ．而CM 平面11B BCC ，于是AD CM ⊥．
因为1BM CD ==，2BC CF ==，所以Rt CBM Rt FCD ∆≅∆，所以CM DF ⊥．
DF 与AD 相交，所以CM ⊥平面ADF ,CM ⊂平面CAM
所以平面CAM ⊥平面ADF
（2
）E 为棱AB 的中点时，使得1C E 平面ADF ， 证明：连接CE 交AD 于O ，连接OF ．
因为CE ，AD 为ABC ∆中线，所以O 为ABC ∆的重心，
12
3
CF CO CC CE ==．从而1//OF C E ． OF ⊂面ADF ，1C E ⊄平面ADF ，所以1//C E 平面ADF
【点睛】
本题考查面面垂直的证明和线面平行的证明. 面面垂直的证明要转化为证明线面垂直，线面平行的证明要转化为证明线线 平行.
19．2
243,172
343154,82
2n n n n T n n n ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩
【解析】 【分析】
由已知条件利用等差数列前n 项和公式求出公差和首项，由此能求出323n a n =-，且780,0a a <>，当
17n ≤≤时，2
4332
n n n n T S -=-=
，当8n ≥时，234315422n T n n =-+。

【详解】
4662,75S S =-=-
11
4662
61575a d a d +=-⎧∴⎨+=-⎩
解得13,20d a =-，323n a n ∴=-
设从第+1n 项开始大于零，
则1
203(1)0
2030n n a n a n +=-+-≤⎧⎨
=-+≥⎩ 7n ∴=，即780,0a a <>
当17n ≤≤时，2
4332
n n n n T S -=-=
当8n ≥时，2343
15422
n T n n =
-+ 综上有2
243,172
343154,82
2n n n n T n n n ⎧-≤≤⎪⎪=⎨
⎪-+≥⎪⎩ 【点睛】
本题考查数列的前n 项和的求法，是中档题，注意等差数列的函数性质的运用。

20．（1）,3k k Z π
θ
θπ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩
⎭｜（2
（3
）⎣⎭ 【解析】 【分析】
（1
）由题得tan θ=，再写出方程的解即得解；（2）先求出1a b ⋅=，再利用向量的模的公式求出
||7a b +=；
（3）等价于2
476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦
有两解，结合三角函数分析得解. 【详解】
（1
）由题得sin 0,tan θθθ-=∴=所以角θ的集合为,3k k Z π
θ
θπ⎧
⎫
=+∈⎨⎬⎩
⎭
｜ . （2）由条件知2a =， 1b =，又2a b -与7a b -垂直， 所以()()
2781570a b a b a b -⋅-=-⋅+=，所以1a b ⋅=. 所以222||||2||4217a b a a b b +=+⋅+=++=，故||7a b +=.
（3）由3a b ma +=，得2
2
3a b ma +=，
即2
2
2
2233a a b b
m a +⋅+=，
即24334a b m +⋅+=，()
2
723cos 3sin 4m θθ++=，
所以2
476m πθ⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
. 由0,2π⎡⎤
θ∈⎢⎥⎣⎦
得2,663πππθ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦，又θ要有两解，结合三角函数图象可得，
2647m ≤-<2134m ≤<
，
又因为0m >m ≤<
.
即m 的范围22
2⎫+⎪⎪⎣⎭，. 【点睛】
本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，考查三角函数图像和性质的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题. 21．（1）2a =，（2）奇函数，证明见解析 【解析】 【分析】
（1）将3x =代入解析式log 8log 2log (43)2a a a f =-==，解方程即可. 【详解】
（1）由题知：log 8log 2log (43)2a a a f =-==，解得2a =. （2）5log (5)log ()(5)log 5a a a
x
f x x x x
+-==+--. 50
5550
x x x +>⎧⇔-<<⎨
->⎩，定义域为：(5,5)-. 5log ()5a
x
f x
x -=+-， 5555log log log ()log 10()5555()a a a a x f x x x x x
f x x x x -+-++=⨯==+-+--+=.
所以()()f x f x -=-， 所以()f x 为奇函数. 【点睛】
本题第一问考查对数的运算，第二问考查函数奇偶的判断，属于中档题.
22． (1) 1
4
ab = ；(2) 1⎡⎣ 【解析】 【分析】
（1）由三角函数的定义得出cos
sin
cos sin 4
444P Q π
πππθθ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，，，， 通过当6πθ=时，cos 4a πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，sin 4b πθ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
， 进而求出ab 的值；
（2）利用三角恒等变换的公式化简得b a θ-=，得出1θb a -的取值
范围． 【详解】
（1）由三角函数的定义，可得cos
sin
cos sin 4
444P Q π
πππθθ⎛⎫
⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，，， 当6
π
θ=
时，55cos
sin 1212Q ππ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，，即55cos sin 1212
a b ππ==，， 所以55155151cos
sin 2cos sin sin 121221212264
ab πππππ==⨯⨯=⨯=． （2）因为cos sin 44Q ππθθ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
，，所以cos sin 44a b ππθθ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，
由三角恒等变换的公式，化简可得：
sin cos sin cos cos sin 444
444b a ππππππθθθθθ⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦，
因为42
ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，所以1θ
即b a -的取值范围为1⎡⎣．
【点睛】
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，两角和与差的正、余弦函数的公式的应用，以及正弦函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的定义与性质，以及两角和与差的三角函数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设数列{}(
)n a n N *
∈是等差数列，n
S
是其前n 项和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论中错误
的是（ ） A ．0d <
B ．70a =
C ．96S S >
D ．6S 与7S 均为n S 的最大值
2．若关于x 的方程()f x a =，当0a >时总有4个解，则()f x 可以是（ ） A ．21x -
B ．
11
x - C ．22x -
D ．2log 2x -
3．在正方体1111ABCD A B C D -中O 为底面ABCD 的中心，E 为1C C 的中点， 则异面直线1D A 与EO 所成角的正弦值为（ ）
A ．
2
B C D ．
3
4．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若::1:1:2A B C =，则::a b c =（ ）
A ．
B ．1:1:
C ．1:1:2
D ．1:1:3
5．M 是ABC ∆边AB 上的中点，记a BC =，b BA =，则向量MC =( )
A ．1-a-b 2
B ．1-a b 2+
C ．1a-b 2
D ．1
a b 2
+
6．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ） A ．40
B ．36
C ．30
D ．20
7．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ） A ．
118
B ．
19
C ．
16
D ．
112
8．椭圆22
1169
x y +=中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ）
A ．932
-
B ．9 32
C ．9 64
D ．9 16
9．设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，正确的是（ ） A ．若//a α，//b α，则//a b
B ．若//a α，b β//，a b ⊥，则αβ⊥
C ．若a α⊥，b β⊥，//a b ，则//αβ
D ．若a α⊥，b β⊥，//a b ，则αβ⊥
10．在锐角ABC
∆中，角,,
A B C的对边分别为,,
a b c. 若32sin
b
c B
=，则角C的大小为( )
A．
3
π
B．
6
π
或
5
6
π
C．
5
6
π
D．
3
π
或
2
3
π
11．如图是一个几何体的三视图，它对应的几何体的名称是（）
A．棱台B．圆台C．圆柱D．圆锥
12．直线20
x y
++=分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆()22
22
x y
-+=上，则ABP
△面积的取值范围是
A．[]
26
，B．[]
48
，C．232
⎡⎤
⎣⎦
，D．2232
⎡⎤
⎣⎦
，
二、填空题：本题共4小题
13．设()
1
f x
-为()sin
6
f x x
π
=，,
22
x
ππ
⎡⎤
∈-⎢⎥
⎣⎦
的反函数，则()()
1
y f x f x
-
=+的值域为______. 14．已知数列{}n a的前n项和为n S，11
a=，
2
2
a=且
21
320
n n n n
S S S a
++
-++=（n*
∈N），记12
111
n
n
T
S S S
=+++（n*
∈N），若(6)n
n T
λ
+≥对n*
∈N恒成立，则λ的最小值为__．
15．数列{}()*
n
a n N
∈满足：
1
3
5
a=，
11
11
1
2,0
2
1
1,
2
n n
n
n n
a a
a
a a
--
--
⎧
<<
⎪⎪
=⎨
⎪-≥
⎪⎩
()2
n≥，则
59
a=______.
16．向量,a b满足：2
a b
==，a与b的夹角为
3
π
，则2a b
-＝_____________；
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD＝－
7
14
，sin∠CBA＝
21
6
，求BC的长．
18．设12,e e 是两个相互垂直的单位向量，且12122,a e e b e e λ=--=- （Ⅰ）若a b ，求λ的值； （Ⅱ）若a b ⊥，求λ的值．
19．（6分）已知向量3
(sin ,),(cos ,1)4
a x
b x ==-. (1)当
时，求tan()4
x π
-
的值；
(2)设函数()2()f x a b b =+⋅，当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.
20．（6分）已知数列{}n a 的首项1122
,,1,2,3, (31)
n n n a a a n a +=
==+. （1）证明: 数列11n a ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
是等比数列； （2）数列n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S . 21．（6分）某市食品药品监督管理局开展2019年春季校园餐饮安全检查，对本市的8所中学食堂进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如下表所示： 中学编号
1
2
3
4
5
6
7
8
原料采购加工标准评分x
100
95
93
83
82
75
70
66
卫生标准评分y
87 84 83 82 81 79 77 75
（1）已知x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（精确到0.1）
（2）现从8个被检查的中学食堂中任意抽取两个组成一组，若两个中学食堂的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“对比标兵食堂”，求该组被评为“对比标兵食堂”的概率.
参考公式：12
2
1ˆn
i i i n
i
i x y nx y b
x nx
==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx
=-； 参考数据：
8
1
54112i i
i x y
==∑，8
21
56168i i x ==∑.
22．（8分）已知向量(20)OB =，，向量(22)OC =，，向量(22)CA αα=，记OB 与OC 的夹角为θ．
(Ⅰ)求3sin()cos 2cos tan()2ππθθπθπθ⎛⎫
++- ⎪
⎝⎭
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
(Ⅱ)求向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质，结合56S S <，678S S S =>，分析出错误结论. 【详解】
由于56S S <，678S S S =>，所以6560S S a -=>，7670S S a -==，8780S S a -=<，所以
70,0d a <=，6S 与7S 均为n S 的最大值.而96789830S S a a a a -=++=<，所以96S S <，所以C 选项
结论错误. 故选：C. 【点睛】
本小题主要考查等差数列的性质，考查分析与推理能力，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】
根据函数()f x 的解析式，写出(||)f x 与|(||)|f x 的解析式，再判断对应方程|(||)|f x a =在0a >时解的个数． 【详解】
对A ，2
()1f x x =-，2
(||)1f x x ∴=-，
()2
2
21,11,
11,11,x x f x x x x x ⎧--≤≤⎪∴=-=⎨-⎪⎩
或；
方程|(||)|
f x a
=，当10
a
>>时有4个解，
当1
a=时有
3个解，当1
a>时有2个解，A
∴不符合；
对B，
1
()
1
f x
x
=
-
，
1
(||)
||1
f x
x
∴=
-
，
1
,1
1
1
()
1
1
,1
1
x
x
f x
x
x
x
⎧
>
⎪-
⎪
∴==⎨
-⎪
<
⎪-
⎩
；
方程|(||)|
f x a
=，
当10
a
>>时有2个解，当1
a=时有3个解，当1
a>时有4个解，B
∴不符合；对C，()22
x
f x=-，||
(||)22
x
f x
∴=-，
22,1
()22
22,1
x
x
x
x
f x
x
⎧-≤
⎪
∴=-=⎨
->
⎪⎩
；
方程|(||)|
f x a
=，当10
a
>>时有4个解，
当1
a=时有3个解，当1
a>时有2个解，C
∴不符合；
对D，2
()log2
f x x
=-，
2
(||)log||2
f x x
∴=-，
2
2
2
2log,04
()log2
log2,4
x x
f x x
x x
⎧-<≤
⎪
∴=-=⎨
->
⎪⎩
；
方程|(||)|f x a =，当0a >时恒有4个解，D ∴符合题意． 【点睛】
本题考查了函数与方程的应用问题，考查数形结合思想的运用，对综合能力的要求较高． 3．B 【解析】 【分析】
取BC 中点为M ，连接OM ，EM 找出异面直线夹角为OEM ∠，在三角形中利用边角关系得到答案. 【详解】
取BC 中点为M ，连接OM ，EM
在正方体1111ABCD A B C D -中O 为底面ABCD 的中心，E 为1C C 的中点 易知：1
AD EM
异面直线1D A 与EO 所成角为OEM ∠
设正方体边长为2，在EMO ∆中：1,2,3OM EM OE ==
=
3sin OEM ∠=
故答案选B 【点睛】
本题考查了立体几何里异面直线的夹角，通过平行找到对应的角是解题的关键. 4．A 【解析】 【分析】
由正弦定理可得::sin :sin :sin a b c A B C =，再结合,4
2
A B C π
π
===
求解即可.
【详解】
解：由A B C π++=， 又::1:1:2A B C =，
则,4
2
A B C π
π
==
=
，
由
sin sin sin a b c
A B C
==， 则22::sin :sin :sin ::11:1:222
a b c A B C ===， 故选：A. 【点睛】
本题考查了正弦定理，属基础题. 5．C 【解析】 由题意得1
2
BM b =
， ∴1
2
MC BC BM a b =-=-．选C ． 6．C 【解析】
试题分析：利用分层抽样的比例关系,设从乙社区抽取n 户，则，解得.
考点：考查分层抽样. 7．B 【解析】 【详解】
试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B ．
考点：概率问题 8．A 【解析】 【分析】
先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率． 【详解】
设弦的两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆得2
2
112
2
22
116
9
1169
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，
两式相减得
()()()()12121212016
9
x x x x y y y y +-+-+=，
即()()()()1
2121212 16
9
x x x x y y y y +-+-=-
，
即()
()()()
12121212916x x y y y y x x +--
=
+-，即12
12
92164y y x x -⨯-=⨯-，
即12129 32y y x x -=--，∴弦所在的直线的斜率为932
-，故选A.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，涉及到“中点与斜率”时常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，属于中档题. 9．C 【解析】 【分析】
利用线面、面面之间的位置关系逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若//a α，//b α，则,a b 平行、相交、异面均有可能，故A 不正确； 对于B ，若//a α，b β//，a b ⊥，则,αβ垂直、平行均有可能，故B 不正确； 对于C ，若a α⊥，b β⊥，//a b ，根据线面垂直的定义可知
α内的两条相交线线与β内的两条相交线平行，故//αβ，故C 正确；
对于D ，由C 可知，D 不正确； 故选：C 【点睛】
本题考查了由线面平行、线面垂直判断线面、线线、面面之间的位置关系，属于基础题. 10．A 【解析】 【分析】
利用正弦定理，边化角化简即可得出答案． 【详解】
2sin c B =
2sin sin B C B =，又()0,B π∈，
所以sin 0B ≠，所以3
sin 2
C =，又0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3C π=．
故选A 【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，属于基础题． 11．B 【解析】 【分析】
直接由三视图还原原几何体得答案． 【详解】
解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为圆台． 故选：B ． 【点睛】
本题考查三视图，关键是由三视图还原原几何体，属于基础题． 12．A 【解析】
分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点
()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 22=点P 在圆
2
2
x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202
22
d ++=
=故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为2,32
则[]221
22,62
ABP
S
AB d d =
=∈ 故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题 13．77,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
求出原函数的值域可得出其反函数的定义域，取交集可得出函数()()1
y f x f
x -=+的定义域，再由函数
()()1y f x f x -=+的单调性可求出该函数的值域.
【详解】 函数()sin 6f x x π
=
在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上为增函数，则函数()y f x =的值域为,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦， 所以，函数()1
y f
x -=的定义域为,66ππ
⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦
.
∴函数()()1y f x f x -=+的定义域为,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
由于函数()y f x =与函数()1
y f x -=单调性相同，可知，函数()()1y f x f x -=+在,66ππ
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
上为增函
数. 当6
x π
=-时，函数()()1
y f x f
x -=+取得最小值
1762212
ππ
π
⎛⎫⨯--=- ⎪⎝⎭； 当6
x π
=
时，函数()()1
y f x f
x -=+取得最大值
1762212
π
ππ⨯+=. 因此，函数()()1
y f x f
x -=+的值域为77,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 故答案为：77,1212ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查函数值域的求解，考查函数单调性的应用，明确两个互为反函数的两个函数具有相同的单调性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 14．
1
6
【解析】 【分析】 【详解】
()21211322n n n n n n n n n S S S a S S S S a +++++-++=---+ 2120n n n a a a ++=-+= , 即 {}211,n n n n n a a a a a +++-=-∴ 为首项为1 ，公差为211-= 的等差数列，
()()1111,2
n n n n a n n S +=+-⨯==
，()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，111
11221...22311n n T n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪++⎝⎭
，由()6n n T λ+≥ 得()()22
6167n n n n n
λ≥=++++ ，因为2n = 或3n = 时，
2
67n n
++ 有最大值16 ，1
6λ∴≥ ，即λ 的最小值为16，故答案为16 . 【方法点晴】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据
式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪
++⎝⎭；
1
k
=；③
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭
；
④
()()11122
n n n =++()()()11
112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项
或多项的问题，导致计算结果错误. 15．
2
5
【解析】 【分析】
可通过赋值法依次进行推导，找出数列的周期，进而求解 【详解】
由135a =，1111
12,02
11,2n n n n n a a a a a ----⎧
<<⎪⎪=⎨⎪-≥
⎪⎩
()2n ≥，
当2n =时，21215a a =-=；当3n =时，32425a a ==；当4n =时，431
15
a a =-=； 当5n =时，54225a a ==
；当6n =时，654
25
a a ==，当 故数列从2a 开始，以3为周期 故5922
=5
a a =
故答案为：
25
【点睛】
本题考查数列的递推公式，能根据递推公式找出数列的规律是解题的关键，属于中档题 16
．【解析】 【分析】
根据模的计算公式可直接求解. 【详解】
(
)
2
2222
441642a b a b
a a
b b -=
-=-
⋅+=-⨯=
故填：
【点睛】
本题考查了平面向量模的求法，属于基础题型.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1)cos 7
CAD ∠=(2)3 【解析】 试题分析：
(1)
利用题意结合余弦定理可得
cos CAD
∠= (2)利用题意结合正弦定理可得：3
BC =. 试题解析：
（I ）在ADC 中，由余弦定理得cos 7
CAD ∠= (II)设,BAC BAD CAD αα∠==∠-∠则
,714
7
42cos CAD cos BAD sin CAD sin BAD sin α∠=
∠=-∴∠=
∠=
∴=
在ABC 中，由正弦定理，
sin sin BC AC
CBA
α=∠
故3BC =
点睛：在解决三角形问题中，面积公式S ＝
12 absin C ＝12 bcsin A ＝1
2
acsin B 最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 18．（Ⅰ）1
2
λ=-（Ⅱ）2λ= 【解析】 【分析】
（Ⅰ）a b ，则存在唯一的μ使b μ=，解得所求参数的值； （Ⅱ）若a b ⊥，则0a b ⋅=，解得所求参数的值． 【详解】
解：（Ⅰ）若a b ，则存在唯一的μ，使b μ=，∴1212(2)e e e e λμ-=--
1212μλμλμ
=-⎧∴⇒==-⎨-=-⎩，
∴当1
2
λ=-时a b ，；
（Ⅱ）若a b ⊥，则0a b ⋅=，
1212(2)()0e e e e λ--⋅-= 22
11222(21)0e e e e λλ⇒-+-⋅+=
因为12,e e 是两个相互垂直的单位向量，2λ∴=
∴当2λ=时，a b ⊥.
【点睛】
本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用．
19． (1)-7， (2)13
[,22
+ 【解析】
试题分析：(1)由向量共线得到等量关系，求出角的正切值，33
//cos sin 0,tan 4
4
a b x x x ∴+==-再利用两角差正切公式求解：
tan 1
tan()741tan x x x
π--==-+(2)先根据向量数量积，利用二倍角公式及配角公
式得到三角函数关系式3()2()2sin(2)42f x a b b x π=+⋅=
++，再从角0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
出发研究基本三角函
数范围：
5[0,],2sin(2)124444
x x x πππππ
∈≤+≤≤+≤13()22f x ∴≤≤
试题解析：(1)
33
//cos sin 0,tan 44
a b x x x ∴+==-, 3分
tan 1
tan()741tan x x x
π--==-+6分
(2)3
()2()2sin(2)42
f x a b b x π=+
⋅=
++8分
5[0,],2sin(2)12444
4
x x x πππππ∈≤+≤≤+≤11分
13()22f x ∴≤≤+()f x 的值域为13
[,22
14分 考点：向量平行坐标表示，三角函数性质
20．（1）证明见解析；（2）24222
n n n n n S +++=-.
【解析】
试题分析：（1）对121n n n a a a +=
+两边取倒数得111111222n n n n a a a a ++==+⋅，化简得1111
112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）11n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
是等比数列.，求得1112n
n a =+，利用错位相减法和分组求和法求得前n 项和2
42
22
n n n n n S +++=-.
试题解析： （1）
111211111111
,?,1112222n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++⎛⎫+=
∴==+∴-=- ⎪+⎝⎭
，又 11211,132a a =
∴-=，∴数列11n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
是以为12首项，12为公比的等比数列. （2）由（1）知，1111111?222n n n a -+-==，即11
12n
n a =+，设23123 (2222)
n n n T =++++， ① 则
2311121 (22222)
n n n n n
T +-=++++， ② 由①-②得 2111
11
11111122 (112222222212)
n
n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪
⎝⎭=+++-=
-=---，11222n
n n n T -∴=--.
又()1123 (2)
n n n +++++=
.∴数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和()2124222222n n n n n n
n n n S +++++=-+=-.
考点：配凑法求通项，错位相减法. 21．（1）0.356.1y x =+；（2）514
【解析】
【分析】
（1）由题意计算x 、y ，求出回归系数，写出线性回归方程； （2）用列举法写出基本事件数，计算所求的概率值． 【详解】
（1）由题意得：83x =，81y =，
8
182221854112883810.3561688838ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑， 81ˆˆ0.38356.1a
y bx =-=-⨯=. 故所求的线性回归方程为：0.3561ˆ.y
x =+. （2）从8个中学食堂中任选两个，共有共28种结果：
()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()1,7，()1,8，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()2,7，()2,8，
()3,4，()3,5，()3,6，()3,7，()3,8，()4,5，()4,6，()4,7，()4,8，()5,6，()5,7，()5,8，()6,7，()6,8，()7,8.
其中原料采购加工标准的评分和卫生标准的评分均超过80分的有10种结果：
()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，
所以该组被评为“对比标兵食堂”的概率为105
2814
=. 【点睛】
本题考查了线性回归方程的求解，考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题． 22． (Ⅰ)2- ； (Ⅱ) 5[,]1212
ππ
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ
）由向量夹角公式可求cos 2
θ=，再由三角函数的诱导公式，化简得原式2tan θ=-，利用三角函
数的基本关系式，即可求解.
（Ⅱ）作出图象，结合直角1OCA ∆中，求得216
COA COA π
∠=∠=
，进而得到1
12
AOB π
∠=，
2512
A O
B π
∠=
，即可求得向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围. 【详解】
（Ⅰ
）由向量夹角公式可求cos 2OB OC OB OC
θ⋅=
=
=⋅
又由
3
sin()cos
sin sin
2
sin(tan) cos tan()
2
π
πθθ
θ
θ
πθθ
θπθ
⎛⎫
++-
⎪--
⎝⎭=
--
⎛⎫
+-
⎪
⎝⎭
2sin2
sin tan tan
θ
θθθ
-
==-
⋅
，
因为0,
2
π
⎡⎤
θ∈⎢⎥
⎣⎦
，所以tan1
θ=，
故原式=
2
2
tanθ
-
=-．
（Ⅱ）如图所示，向量CA的终点A在以点(2,2)
C为圆心、半径为2的圆上，
12
,
OA OA是圆的两条切线，切点分别为12
,
A A，
在直角1
OCA
∆中，
1
22,2
OC CA
==，可得
1
3
cos COA
∠=，即1
6
COA
π
∠=
所以
216
COA COA
π
∠=∠=，
因为
4
COB
π
∠=，所以
14612
AOB
πππ
∠=-=，
2
5
4612
A OB
πππ
∠=+=，
所以向量OA与向量OB的夹角的取值范围是
5
[,]
1212
ππ
.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算公式，向量的夹角公式的应用，以及诱导公式的化简求值问题，其中解答中熟记向量的夹角公式和向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.。