导数第一定义式

讲述其背后的数学原理
微积分学习过程中，我们学习到一个名为导数(Derivative)的概念，它
也是数学中更广泛的概念“函数变化率(rate of change of a function)”的一种表现形式。

它相当于描述某个变量随另一个变量的变化而变化的速率，可以用一式来定义：
dddd=lim d→∞[f(x+n)-f(x)]/n
函数曲线图中，函数的变化率(rate of change)实际上就是这个函数曲线
斜率，也就是说我们在弧线上抽取两点，如果知道函数在此处的值，
那么就可以计算出两点之间的斜率，以此得出函数在该点的变化率。

而这个表达式的精髓实际上就是描述曲线上的变化率，即限制d→∞时，用Δf/Δx表示当前点斜率。

那么为什么需要限制d→∞？首先，我们给出的表达式是一个比值，其
分母是d，当d趋近于无穷大时，说明前一点和后一点的距离变得很小，此时f(x+n)和f(x)的差值也趋近于零，但是比值依然不能归零，因此可以确定函数在该点的变化率，而这就是导数最初定义的法则。

传统定义导数的方法需要利用了微积分中基本定义，可以表示微分形式：
dddd=lim d→0[f(x+s)-f(x)]/s
式中s也为微小无穷概念，称为函数的微分量。

这也是传统描述函数曲线斜率的方法。

在应用中，我们一般取近似值计算变化率而不是无穷，例如给定一个
函数f(x)=x²，图像上两点的斜率可以计算出来：
[f(x+h)-f(x)]/h=(x+h)²-x²)/h=2xh+h²/h=2x+h
当h消失，即h→0，那么斜率为2x。

从这里可以看出，函数曲线斜率实际上就是该函数在当前点处的导数值。

总结一下，导数就是用于描述函数变化速率的数学概念，当传统的函数曲线斜率太复杂时，我们会利用这个概念来表达函数的变化率。

它的定义式也反映出其背后的数学原理——函数在极小的范围内的概率变化是可以找到极限变化，从而得出一个函数在某一点处的变化率，在微积分学中，。