圆锥曲线----抛物线
圆锥曲线的参数方程
圆锥曲线的参数方程圆锥曲线作为数学中重要的一类曲线，在科学和工程领域中有着广泛的应用。
圆锥曲线的描述方式有很多种，其中最具代表性的是参数方程描述法。
一、圆锥曲线概述圆锥曲线是指平面直角坐标系中的一种曲线，其形状可以是圆、椭圆、双曲线和抛物线四种。
圆：圆是一种非常常见的圆锥曲线，其特点是每个点到圆心的距离相等。
椭圆：椭圆是一种闭合的曲线，其特点是所有点到两个焦点之和等于定值。
对称轴与焦点之间的距离称为离心率。
双曲线：双曲线有两个分离的分支，其特点是所有点到两个焦点之差等于定值。
离心率大于1。
抛物线：抛物线是一种开口朝上或下的曲线，其特点是点到定点的距离等于到其在直线上的投影的距离。
二、参数方程的定义参数方程又称为参数式方程，是指将一个曲线上的点的坐标表示为某个参数的函数。
圆锥曲线的参数方程描述法是将曲线上的所有点的坐标表示为经过参数化后的公式。
三、参数方程的应用参数方程描述法最大的优点是能够直观地表示曲线在平面中的形状、大小、位置等信息。
因此，在科学和工程的许多领域中，使用参数方程描述的圆锥曲线极大地便利了相关研究和实践工作。
具体应用场景包括：1、工程画图在工程中，经常需要绘制圆锥曲线，如绘制电子元件、构建机械结构等。
此时，参数方程描述法能够方便地表示曲线的大小和位置，不需要进行很多复杂的计算。
2、运动学分析在机器人、车辆等系统的运动学分析中，需要分析运动轨迹，而圆锥曲线通常是系统的标准运动轨迹。
因此，参数方程描述法能够方便地表示运动轨迹，从而便于分析运动状态。
3、物理仿真圆锥曲线在物理仿真中也有着广泛的应用。
例如，设想一个运动物体，其轨迹可以用圆锥曲线描述。
此时，如果采用参数方程描述法，则可以用计算机对物体的运动状态进行仿真，精度更高、速度更快。
四、圆锥曲线的参数方程1、圆的参数方程圆的参数方程为：x = rcosθy = rsinθ其中，r为圆的半径，θ为参数。
2、椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = acosθy = bsinθ其中，a、b分别为椭圆在 x 轴和 y 轴方向的半轴长度。
圆锥曲线基础知识
圆锥曲线基础知识圆锥曲线是数学中一个非常重要的概念，它与我们生活中的许多事物都有着密切的关联。
在我们身边的许多物体的形状都可以用圆锥曲线来描述，比如汽车的车轮、喷泉的水柱等等。
因此，了解圆锥曲线的基础知识对于我们理解世界、解决实际问题都有着重要的指导意义。
首先，我们来介绍一下什么是圆锥曲线。
圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个动点（离焦点的距离与离一个固定直线的距离之比为常数）确定的曲线。
根据这个曲线与焦点之间的位置关系，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、抛物线和双曲线。
椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形状。
椭圆的定义是所有到两个焦点的距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆可以看作是一个圆在一个方向上被拉长或压缩而得到的形状。
椭圆有着许多有趣的性质，比如焦点到椭圆上任意一点的距离之和是固定的。
抛物线是圆锥曲线中另一种非常常见的形状。
抛物线的定义是所有到焦点的距离等于离一个固定直线（称为准线）的距离的点的轨迹。
抛物线有着非常特殊的反射性质，光线或其他形状的物体撞击到抛物线上会被反射到焦点的位置。
双曲线是圆锥曲线中最特殊、最复杂的一种形状。
双曲线的定义是所有到两个焦点之间距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线具有两个分离的曲线支，并且具有无穷远处的渐近线。
双曲线在光学、天文学等领域中有着广泛的应用。
了解了这些基本概念后，我们可以探索更多关于圆锥曲线的内容。
圆锥曲线有着丰富的数学性质，比如直径、焦距、离心率等等，这些性质可以帮助我们更好地理解曲线的特征和形状。
在实际问题中，圆锥曲线也有很多应用。
比如，当我们使用望远镜观察天体时，望远镜的镜片形状就可以用双曲线来描述。
此外，利用椭圆的性质，我们可以设计一些具有特定功能的物体，比如反射器、轨道等等。
总之，圆锥曲线是数学中非常重要的概念，在我们的日常生活中也有着广泛的应用。
通过了解圆锥曲线的基础知识，我们可以更好地理解世界，解决实际问题，并且在未来的学习中探索更多有关曲线的知识。
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
圆锥曲线与方程抛物线及其标准方程
圆锥曲线和抛物线在数学领域的发展趋势
完善圆锥曲线和抛物线的定
义和性质
研究圆锥曲线和抛物线的几何特征，如对称性、仿射 性质、曲线长度等，进一步探索圆锥曲线和抛物线之 间的内在联系。
圆锥曲线和抛物线的组合与
分类
研究圆锥曲线和抛物线的组合问题，例如将圆锥曲线 和抛物线与其他曲线或曲面组合，形成新的曲线或曲 面，并对其进行分类和性质研究。
抛物线的性质
对于给定的抛物线，定点$F$和直线$l$的距离相等 抛物线的图形关于直线$l$对称
抛物线上的点到定点$F$和直线$l$的距离相等 抛物线焦点$F$在准线$l$上
抛物线的应用
光学反射和折射现象
抛物线在解析几何中的应用
物理学中的抛物线运动
圆锥曲线在几何学中的应用
抛物线在物理学中的应用
03
圆锥曲线与方程
圆锥曲线与方程的关系
1
圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，包含椭 圆、双曲线和抛物线等曲线类型。
2
圆锥曲线的方程是描述这些曲线特征的基本工 具。
3
通过圆锥曲线方程，可以研究曲线的几何性质 、位置关系等。
圆锥曲线方程的求解方法
根据曲线的定义或已知条件列出等式或不等 式。
对于参数的取值范围，要注意其几何意义和 实际背景。
天文学
圆锥曲线在描述行星和卫星的运动 轨迹方面有应用。
工程学
圆锥曲线在机械工程和水利工程等 领域有应用，例如抛物线形拱桥和 抛物线形隧道等。
数学
圆锥曲线是数学中的重要内容之一 ，可以用来研究图形的极坐标方程 、参数方程等。
02
抛物线的定义和性质
抛物线的定义
平面内一个定点$F$和一条直线$l$的距离相等 点$F$为抛物线焦点，直线$l$为抛物线的准线 抛物线是圆锥曲线的一种
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导几何定义是在平面中，由所有满足到一定点与到一定直线距离相等的点所组成的图形，把这个定点称为焦点(focus)、定直线称为准线(directrix)。
为了方便推导，把这一定点放在x轴正方向上，定直线垂直x 轴放在x轴负半轴上，且原点刚好在两者中间。
上面这些都仅仅是为了推导方便而已。
设曲线上的点坐标为(x,y)，于是，\begin{aligned} d(F, P) &=d(P, D) \\ \sqrt{(x-a)^{2}+(y-0)^{2}} &=|x+a| \\ (x-a)^{2}+y^{2}&=(x+a)^{2} \\ x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2} &=x^{2}+2 ax+a^{2} \\ y^{2} &=4 a x \end{aligned}四种不同开口的标准型：二、椭圆(Ellipse)几何意义是在平面中，由所有到两个顶点距离之和为定值的点所组成的图形，把这两个定点称为焦点(foci)，也是为了推导的方便，把这两个焦点对称放在x轴正负半轴上，令两段距离之和为2a，根据两点之间距离公式进行如下推导：\begin{aligned} d\left(F_{1}, P\right)+d\left(F_{2}, P\right) &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=& 2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ (x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+(x-c)^{2}+y^{2} \\x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \\ 4 c x-4 a^{2}=&-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ c x-a^{2}=&-a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ \left(c x-a^{2}\right)^{2}=& a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right] \\ c^{2} x^{2}-2a^{2} c x+a^{4}=& a^{2}\left(x^{2}-2 cx+c^{2}+y^{2}\right) \\ \left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} c^{2}-a^{4} \\ \left(a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right) \end{aligned}令 b^2=a^2-c^2 （根据三角形两边之和大于第三边推出c<a）所以，\begin{aligned} b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1\end{aligned}常见的两种椭圆标准方程，一种是横躺在x轴上，一种是“站立”着，关键就是看x和y下面哪个数值比较大，哪个大，那么长的对称轴就在哪个方向上。
[寒假]圆锥曲线(椭圆-双曲线-抛物线)的定义、方程和性质知识总结
![[寒假]圆锥曲线(椭圆-双曲线-抛物线)的定义、方程和性质知识总结](https://img.taocdn.com/s3/m/6c5fee9fb8f3f90f76c66137ee06eff9aef849f8.png)
椭圆的定义，性质及标准方程1.椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点用、入的距离之和等于常数(大于I耳与I)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M到定点方的距离和它到定直线/的距离之比等于常数e(O<e<1),则动点M的轨迹叫做椭圆。
定点尸是椭圆的焦点，定直线/叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2〃等于2c,则动点轨迹是线段4②若常数2。
小于2c,则动点轨迹不存在。
3.焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在X轴上时，设《、耳分别是椭圆的左、右焦点，尸(X0,%)是椭圆上任一点，贝小尸片|二Q+"υ,∖PF2∖=a-ex0o∖PF i∖推导过程：由第二定义得一二e(4为点尸到左准线的距离)，d1( 2、a贝IJ1尸耳I二七4 a-∖-ex0;同理得I尸闾二a一%。
=e x0H-----------=CXO+Q<c)简记为：左“+”右“-。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
'-若焦点在y轴上’则为/3=1。
有时为了运算方便，设mx2+ny2-1(m>0,m≠π)o双曲线的定义、方程和性质知识要点：1.定义(1)第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a(小于∣F1F2∣)的点的轨迹叫双曲线。
说明：①I1PF1HPF2∣∣=2a(2a<∣FιF2∣)是双曲线；若2a=∣FF2∣,轨迹是以Fi、F2为端点的射线；2a>∣FF2∣时无轨迹。
②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则IMF11>∣MF2∣,∣MHHMF2∣=2a；若M在双曲线的左支上,则IMFI1<∣MF∕∣MFιHMF2∣=-2a,故IMF1HMF2∣=±2a,这是与椭圆不同的地方。
(2)第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线1的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线1叫相应的准线。
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
圆锥曲线-抛物线
圆锥曲线-抛物线1.抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。
2.抛物线的性质:抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表： 标准方程22(0)y px p =>22(0)y px p =->22(0)x py p =>22(0)x py p =->图形焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤对称性 x 轴x 轴y 轴y 轴顶点 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e =1e = 1e =1e =焦半径 02x pPF +=02x pPF -=02y pPF +=02y pPF -=焦点弦公式)(21x x p AB ++=)(21x x p AB +-=)(21y y p AB ++=)(21y y p AB +-=3.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H 1H 2称为通径；通径：|H 1H 2|=2P4．焦点弦：过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则(1)||AF =x 0+2p ， (2)12x x =42p ，12y y =－p 2．(3) 弦长)(21x x p AB ++=,p x x x x =≥+21212,即当x 1=x 2时,通径最短为2p (4) 若AB 的倾斜角为θ，则AB =θ2sin 2p（5）AF 1+BF 1=P25. 弦长公式2121221||1||1||AB k x x y y k =+-=+- o Fxy loxyF lxyoF l一 抛物线的概念及标准方程1. 顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是（）A . x 2＝8yB . x 2＝4yC . x 2＝2yD . y x 212=2. 若抛物线2y =2p x （p >0）上一点M 到准线和到对称轴的距离分别是10和6，则该抛物线的方程是______________.3. 焦点为直线x －2y －4＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程是（ ）A .2y =16 x B . 2x =－8 y 或2y =16 x C . 2x = 8y D . 2x =8 y 或2y =－16 x4.动点P 到点A (0，2)的距离比到直线l :y =-4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为A. x y 42=B. x y 82=C.y x 42=D.y x 82=5.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82= B ．y x 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-=6.顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是（ ）A ．y x 292-=或x y 342=B ．x y 292-=或y x 342=C ．y x 342=D ．x y 292-=7.点P 到(1,0)的距离比其到直线20x +=的距离少1,求P 点的轨迹方程8.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点(,3)M m -到焦点的距离为5,求m 的值、抛物线方程和准线方程.9.、已知抛物线的焦点为F(5,1),准线为x=1,求抛物线的方程、焦点到顶点的距离、顶点坐标.二 抛物线的几何性质10.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）220y x =; (2) 2250y x -=.11.抛物线的方程为2(0)y ax a =≠,求它的焦点坐标和准线方程.12.如果抛物线)1(2+=x a y 的准线方程是3-=x ，那么这条抛物线的焦点坐标是（ ）A ．（3，0）B ．（2，0）C ．（1，0）D ．（－1，0）13.抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（41,21） C ．)49,23(D ．（2，4）14.抛物线28x y =-的准线方程是 （ ）A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y15.抛物线2y ax =的焦点恰好为双曲线222y x -=的一个焦点，则a =_______16.设抛物线2y =8x 的焦点为F ，A 为抛物线上的一点，且F A ＝6，则点A 的坐标是_____.17.已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）A .3B .4C .5D .6抛物线练习题1.抛物线2x y =的焦点坐标为 ( )A.)41,0(B. )41,0(- C.1(,0)4 D.)0,41(- 2.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A ,若621=+x x ,那么AB = A. 10 B. 8 C. 6 D. 43. 抛物线顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线02=+-y x 上,则其方程为 ( ) A.x y 42= 或y x 42-= B.y x 42= 或x y 42-= C.y x 82= 或x y 82-= D.不确定4.在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 （ ）A. 12B.1C.2D.45.已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M点坐标是 A.)0,0( B.)62,3( C.)4,2( D.)62,3(-6.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A ( ) A. 45 B. 60 C. 90 D.120 7.过抛物线)0(2>=a axy 的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q,则qp 11+等于 ( )A. a 2B.a21 C.a 4 D. a48.抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则AB 中点M 到y 轴的最短距离A.2aB. 2pC.2p a +D.2p a -9． 已知过抛物线22y x =焦点的弦为AB ，则OA OB ⋅的值是 ．10. 若动点M （x,y ）到点F （4，0）的距离，比它到直线x+5=0的距离小1，则M 点的轨迹方程为___________ . 11．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1） 能使这抛物线方程为y2=10x 的条件是____________（要求填写合适条件的序号）。
第2章 圆锥曲线与方程-----抛物线
＝.① 当直线AB⊥x轴时，①也成立． ∴S＝|OF||AF|sinθ＋|OF||BF|sin(π－θ) ＝|OF||AB|sinθ ＝·sinθ＝. (2)当θ＝90°时，Smin＝p2. 若Smin＝4，则p2＝4. ∴p＝2. ∴此时抛物线的方程为y2＝4x.
考题赏析
1．(辽宁高考)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点 (0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA. B．3 C. D. 解析 如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－的距离d等 于点P到焦点的距离|PF|. 因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点 (0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距 离，则距离之和的最小值为 ＝.
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点， 且|AB|＝p，求AB所在的直线方程． 解 焦点F(，0)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)， 若AB⊥Ox，则|AB|＝2p<p，不合题意． 所以直线AB的斜率存在，设为k， 则直线AB的方程为y＝k(x－)，k≠0. 由消去x， 整理得ky2－2py－kp2＝0. 韦达定理得，y1＋y2＝，y1y2＝－p2. ∴|AB|＝ ＝ ＝· ＝2p(1＋)＝p. 解得k＝±2. ∴AB所在直线方程为y＝2(x－)，或y＝－2(x－)． 知识点六 抛物线的焦点弦问题
§2.4 抛物线
典例剖析
知识点一 抛物线概念的应用
已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标． 解
将x=3代入抛物线方程 y2=2x，得y=±. >2，∴点A在抛物线内部． 设抛物线上点P到准线l： x= 的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d， 当PA⊥l时，|PA|+d最小， 最小值为，即|PA|+|PF|的最小值为， 此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2， ∴点P坐标为(2,2)．
圆锥曲线抛物线的基本知识点
圆锥曲线抛物线的基本知识点一、什么是圆锥曲线抛物线？抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它由一个平面与一个平行于该平面的直线相交而形成。
抛物线具有独特的形状，呈现出对称性和特定的数学性质。
二、抛物线的定义与特点1.定义：抛物线是平面上到一个定点距离与到一条定直线距离相等的点的轨迹。
2.特点：–抛物线具有对称性，它关于焦点和准线对称。
–抛物线的焦点是定点，准线是定直线。
–抛物线的离心率为1，是所有圆锥曲线中离心率等于1的一种情况。
–抛物线具有无穷远点，它是一条无限延伸的曲线。
三、抛物线方程的一般形式抛物线的方程通常可以表达为一般二次方程的形式：y=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
四、抛物线的焦点与准线1.焦点：抛物线的焦点是定义抛物线的重要元素之一，与抛物线的离心率密切相关。
焦点的坐标可通过方程求解得到。
2.准线：抛物线的准线与焦点共同决定了抛物线的形状，准线的坐标也可通过方程求解得到。
五、抛物线的性质1.对称性：抛物线关于焦点对称，对称轴为准线。
这个性质使得抛物线在很多实际应用中具有重要意义。
2.焦距公式：定义抛物线焦点到准线的距离为焦距，通过焦距公式可以计算焦点到准线的距离。
3.切线方程：抛物线上任一点处的切线方程可以通过求导得到，切线斜率即为函数的导数值。
4.弧长与曲率：抛物线上任意两点之间的弧长可以通过积分计算得到，曲率表示曲线的弯曲程度。
六、抛物线的应用抛物线在现实生活和科学研究中具有广泛的应用，以下是一些例子： 1. 物理学中的抛物线轨迹：在无空气阻力的情况下，自由落体运动的轨迹为抛物线。
2. 抛物面反射：抛物面反射是一种利用抛物面的反射特性设计的照明系统，例如汽车大灯、探照灯等。
3. 投射问题：抛体在给定初始速度和角度下的运动轨迹就是抛物线，如炮弹飞行轨迹、游泳、跳水等。
七、抛物线与其他圆锥曲线的关系抛物线与其他圆锥曲线（椭圆、双曲线）具有一些相似和不同的地方： 1. 相似之处：抛物线、椭圆和双曲线都是圆锥曲线，它们的定义都可以归纳为距离比例关系。
圆锥曲线之抛物线知识点讲解(含解析)
抛物线的概念与几何性质一、知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质3.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.4.焦半径：抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.二、例题精讲 + 随堂训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________. 解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y3. 抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 答案 24.(2019·黄冈联考)已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A.5B.－3或5C.－2或6D.6解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，它与直线x ＝m 的距离为d ＝|m －1|＝4，∴m＝－3或5.答案B5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P 作P A⊥y轴，垂足是A，延长P A交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.答案B6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.解析设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].答案[－1，1]考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x21－y2－x22＝()A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.135 C.145 D.3解析 (1)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋12，|BF |＝y 2＋12，∴|AF |－|BF |＝y 1－y 2＝2，又知x 21＝2y 1，x 22＝2y 2，∴x 21－x 22＝2(y 1－y 2)＝4，∴y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝2＋4＝6.(2)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2. 答案 (1)B (2)A规律方法 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p 2.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6. 答案 (1)y 2＝4x (2)6考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1B. 2C.2D.22(2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( )A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x 解析 (1)过M 作MP 垂直于准线，垂足为P ， 则|MA ||MF |＝2＝|MA ||MP |＝1cos ∠AMP ，则cos ∠AMP ＝22，又0°<∠MAP <180°， 则∠AMP ＝45°，此时△AMP 是等腰直角三角形， 设M (m ，4m )，由|MP |＝|MA |，得|m ＋1|＝4m ， 解得m ＝1，M (1，2)，所以△AMF 的面积为12×2×2＝2. (2)由题意，知直线AB 必过原点， 则设AB 的方程为y ＝kx (易知k >0)， 圆心C 1(0，2)到直线AB 的距离d ＝|－2|k 2＋1＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝255，解得k ＝2，由⎩⎨⎧y ＝2x ，x 2＋（y －2）2＝4得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，把⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165代入抛物线方程， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ·85，解得p ＝165， 所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 答案 (1)C (2)C规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|P A |，则P 的横坐标为( ) A.1B.32C.2D.52解析 (1)设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1， 由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线的斜率为3， 故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4，故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x .(2)由抛物线定义知：|PB |＝|PF |，又|PB |＝|P A |，所以|P A |＝|PF |，所以x P ＝x A ＋x F2＝2(△PF A 为等腰三角形). 答案 (1)y 2＝3x (2)C考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程. 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝xp ，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1， 则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1p x ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，切线AN 的方程为y AN ＝x 1p x －x 212p ，同理切线BN 的方程为y BN ＝x 2p x －x 222p . 又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p ，y ＝x 2p x －x 222p，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .∴N (pk ，－1). |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 24p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .规律方法 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A.16B.14C.12D.10解析 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 2直线的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1).由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2， 由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2. 同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16. 当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号. 故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案 A[思维升华]1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p . [易错防范]1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0).2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角). (4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4B.92C.5D.6[一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1). 由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12， 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知 |AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.法二 因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1， 解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92. 答案 B【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S△OAB ＝12|OF||y A－y B|＝12×34×6＝94.[应用结论]由2p＝3，及|AB|＝2p sin2α得|AB|＝2psin2α＝3sin230°＝12.原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝3 8，故S△AOB ＝12|AB|·d＝12×12×38＝94.答案D【例3】(2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A.5B.6C.163 D.203[一般解法]如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝23，所以A(3，23)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y＝3(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[应用结论]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.答案 C三、课后练习1.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3解析 设|AF |＝m ，|BF |＝n ，∵|AF |＋|BF |＝233|AB |，∴233|AB |≥2mn ，∴mn ≤13|AB |2，在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn ＝（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn ＝13|AB |2－2mn 2mn ≥－12，∴∠AFB 的最大值为2π3. 答案 D2.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，P A ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )A.32B.33C.12D.34解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点A ，B 处的切线方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)，x 2x ＝2(y ＋y 2)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 1x 1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2x 2，0，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，0，因为这两条切线都过点P (2，－1)，则⎩⎨⎧2x 1＝2（－1＋y 1），2x 2＝2（－1＋y 2），所以l AB ：x ＝－1＋y ，即l AB 过定点(0，1)，则S △PEF S OAB＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 12－x 2212×1×|x 1－x 2|＝12. 答案 C3.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.解析 如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.答案655－14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值.解 (1)因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p ＝2，所以C 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≥0)，代入抛物线方程，可得x 2－4kx－4b ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ， 因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0<b ≤1，S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0<b ≤1)，设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b >0，函数单调递增，所以b ＝1时，△OPQ 的面积最大，最大值为2.5.已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14 B.2 C.4 D.8解析 过点M 作抛物线的准线的垂线，垂足为点M ′，则易得|MM ′|＝|MF |，所以cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝|MF ||MN |＝55，则k AM ＝－tan ∠NMM ′＝－1－cos 2∠NMM ′cos 2∠NMM ′＝－2，则直线AM 的方程为y －2＝－2x ，令y ＝0得抛物线的焦点坐标F (1，0)，则p ＝2×1＝2，故选B.答案 B。
高中数学-圆锥曲线-抛物线
高中数学- 圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。
研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。
它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程 第1课 椭圆A 【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 2.椭圆1422=+y x 的离心率为233.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是221164x y += 4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为544k k ==-或 【范例导析】例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
圆锥曲线——抛物线
我们称 y 2 2 px为抛物线的标准方程
9
三、焦点在不同坐标轴上的抛物线
如图是两种焦点在不同坐 标轴上的抛物线图像，请 同学们思考以下问题：
(1)开口向下的焦点是什 么?
(2)还有其他情形吗？请 思考？
四、习题讲解
• 1、请同学们根据定义，阅读例1，勾出不懂得 地方。 • 2、请同学们尝试一下，是否能完成P59的练习 一？
p 解：（ 1）F (3,0), 3 p 6 2 2 y 12x
p 1 (2)解：准线：x 2 4 1 p 2 y2 x
p (3)解：焦点为F（ ,0） , 2 p 准线为 : x 2 焦点到准线的距离为 p 由题有p 2 y 4x
练习
总结
请同学们总结一下本节学习的内容
本节主要学习了抛物线的定义及标准方程和相关的概 念。希望同学们能灵活的运用，并与椭圆，双曲线进 行比较，看看有什么异同之处,这留给同学做课后思考.
作业，P59,3
圆锥曲线——抛物线
清镇市红枫中学 罗权
一、抛物线定义
1.到顶点的距离等 于到定直线的距离 的点的轨迹是抛物 线. 2.如图，拖动点得 到轨迹，而距离不 变.
9
二、标准方程的推导
1.准线与焦点。
焦点： 准线：
F( P ,0 ) 2
；
x
P 2
9
标准方程的推导
根据定义： p p ,0), 准线：x 2 2 p p M ( x, y ), F ( ,0) A( , y ); 2 2 p 2 | MF |2 ( x ) ( y 0) 2 2 p | AM |2 ( x ( ))2 2 p 2 p (x ) ( y 0) 2 ( x ( ))2 2 2 化简得： y2 2 px AM FM ; F (
圆锥曲线之----抛物线专题(附答案)
圆锥曲线之---抛物线专题1. 设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过点M(√3,0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF|=2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS△ACF=( )A. 45B. 23C. 47D. 12【答案】A【解析】解：如图过B 作准线l ：x =−12的垂线，垂足分别为A 1，B 1， ∵S △BCF S △ACF=|BC||AC|，又∵△B 1BC∽△A 1AC 、 ∴|BC||AC|=|BB 1|AA 1，由拋物线定义|BB 1||AA 1|=|BF||AF|=2|AF|．由|BF|=|BB 1|=2知x B =32，y B =−√3， ∴AB ：y −0=√3√3−32(x −√3).把x =y 22代入上式，求得y A =2，x A =2，∴|AF|=|AA 1|=52． 故S △BCFS △ACF=|BF||AF|=252=45．故选：A ． 根据S △BCFS△ACF=|BC||AC|，进而根据两三角形相似，推断出|BC||AC|=|BB 1|AA 1，根据抛物线的定义求得|BB 1|AA 1=|BF||AF|，根据|BF|的值求得B 的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x =y 22代入，即可求得A 的坐标，进而求得|BF||AF|的值，则三角形的面积之比可得．本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．2. 已知过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1CF 的面积为12√3，则准线l 的方程为( ) A. x =−√2 B. x =−2√2 C. x =−2 D. x =−1 【答案】A【解析】解：设|BF|=m ，|AF|=3m ，则|AB|=4m ，p =32m ，∠BAA 1=60°， ∵四边形AA 1CF 的面积为12√3，∴(32m+3m)×3msin60°2=12√3，∴m =43√2，∴p 2=√2，∴准线l 的方程为x =−√2， 故选：A ．设|BF|=m ，|AF|=3m ，则|AB|=4m ，p =32m ，∠BAA 1=60°，利用四边形AA 1CF 的面积为12√3，建立方程，求出m ，即可求出准线l 的方程． 本题考查抛物线的方程与性质，考查四边形面积的计算，正确运用抛物线的定义是关键．3. 已知点P 在抛物线y =x 2上，点Q 在圆(x −4)2+(y +12)2=1上，则|PQ|的最小值为( )A. 3√52−1B. 3√32−1 C. 2√3−1 D. √10−1【答案】A【解析】【分析】设P(t,t 2)，求出|PC|2=t 4+2t 2−8t +16+14，构造函数，利用函数的导数求解函数的最小值，由此能求出|PQ|的最小值．本题考查的知识要点：两点间的距离公式的应用，函数的导数的应用，考查圆的方程和抛物线方程的应用，及相关的运算问题． 【解答】解：∵点P 在抛物线y =x 2上，∴设P(t,t 2)，∵圆(x −4)2+(y +12)2=1的圆心C(4,−12)，半径r =1， ∴|PC|2=(4−t)2+(−12−t 2)2=t 4+2t 2−8t +16+14，令y =|PC|2=t 4+2t 2−8t +16+14，y′=4t 3+4t −8=0，可得t 3+t −2=0，解得t =1，当t <1时，y′<0，当t >1，y′>0，可知函数在t =1时取得最小值，|PC|min 2=454|PQ|的最小值=|PC |min −r =3√52−1．故选：A ．4. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点是F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于P 、Q 两点，且点Q 在第一象限，若3PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线PQ 的斜率是( )A. √33B. 1C. √2D. √3【答案】D【解析】解：过点P ，Q 分别作抛物线的准线l ：x =−1的垂线，垂足分别是P 1、Q 1， 由抛物线的定义可知，|Q 1Q|=|QF|，|P 1P|=|FP|，设|PF|=k(k >0)，3PF⃗⃗⃗⃗⃗ =FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FQ|=3k ，又过点P 作PR ⊥Q 1Q 于点R ， 则在直角△PRQ 中，|RQ|=2k ，|PQ|=4k ，所以∠PQR =π3，所以直线QP 的倾斜角为π3，所以直线PQ 的斜率是√3， 故选：D ．过点P ，Q 分别作抛物线的准线l ：x =−1的垂线，垂足分别是P 1、Q 1，由抛物线的定义可知，|Q 1Q|=|QF|，|P 1P|=|FP|，设|PF|=k(k >0)，则|FQ|=3k ，在直角△PRQ 中求解直线PQ 的倾斜角然后求解斜率．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．5. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为N ，过点F 作直线与此抛物线交于A 、B 两点，若NB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则p 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．假设k 存在，设AB 方程为：y =k(x −p2)，代入椭圆方程，可得根与系数的关系，由∠NBA =90°，可得|AF|−|BF|=(x 2+p2)−(x 1+p2)=2p ，再利用焦点弦长公式即可求得p 的值． 【解答】解：抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F(p 2,0)， 设两交点为A(x 2,y 2)，B(x 1,y 1)，当直线AB 的斜率不存在时，NF ⊥AB ，不符合题意; 当直线AB 的斜率存在时，设AB 方程为：y =k(x −p2)， {y =k(x −p2)y 2=2px，整理得k 2x 2−(k 2+2)px +k 2p 24=0， ∵NB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则∠NBA =90°，∴NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0． ∴(x 1−p2)(x 1+p 2)+y 12=0，∴x 12+y 12=p 24，∴x 12+2px 1−p 24=0(x 1>0)， ∴x 1=√5−22p ，x 2=2+√52p ，∴|AF|−|BF|=(x 2+p2)−(x 1+p2)=2p ， 即2p =4，则p =2， 故选A ．6.抛物线y2=8x的焦点为F，设A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=2√33|AB|，则∠AFB的最大值为()A. π3B. 3π4C. 5π6D. 2π3【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．【解答】解：因为x1+x2+4=2√33|AB|，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以|AF|+|BF|=2√33|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB=|AF|2+|BF|2−|AB|2 2|AF|⋅|BF|=(|AF|+|BF|)2−2|AF|⋅|BF|−|AB|22|AF|⋅|BF|=43|AB|2−|AB|22|AF|⋅|BF|−1=13|AB|22|AF|⋅|BF|−1．又|AF|+|BF|=2√33|AB|≥2√|AF|⋅|BF|⇒|AF|⋅|BF|≤13|AB|2．所以cos∠AFB≥13|AB|22×13|AB|2−1=−12，∴∠AFB的最大值为2π3，故选D．7.过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点F的直线l与C相交于A，B两点，与C的准线交于点D，若|AB|=|BD|，则直线l的斜率k=()A. ±13B. ±3 C. ±2√23D. ±2√2【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题，属于中档题．如图，设A，B两点在抛物线的准线上的射影分别为A′，B′，过B作AA′的垂线BH，在三角形ABH中，∠BAH等于直线AB的倾斜角，其正切值即为k值，利用在直角三角形ABH中，tan∠BAH=丨BH丨丨AH丨，从而得出直线AB的斜率．【解答】解：如图，设A，B两点在抛物线的准线上的射影分别为A′，B′，过B 作AA′的垂线BH ，在三角形ABH 中，∠BAH 等于直线AB 的倾斜角，其正切值即为k 值， 设|BF|=n ，B 为AD 中点， 根据抛物线的定义可知：|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|，2|BB′|=|AA′|， 可得2|BF|=|AA′|，即|AF|=2|BF|， ∴|AF|=2n ，|AA′|=2n ，|BF|=n ， ∴|AH|=n ，在直角三角形ABH 中，tan∠BAH =丨BH 丨丨AH 丨=√9n 2−n 2n=2√2，则直线l 的斜率k =2√2；同理求得：直线l 的斜率k =−2√2； 故选D ．8. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 作一倾斜角为π3的直线交抛物线于A ，B 两点(A 点在x 轴上方)，则|AF||BF|=( )A. √3B. √2C. 3D. 2【答案】C【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则抛物线y 2=4x 中p =2．|AB|=x 1+x 2+p =2p sim 2θ=8p3∴x 1+x 2=103，又x 1x 2=p 24=1，可得x 1=3，x 2=13， 则|AF||BF|=3+113+1=3，故选：C ．设出A 、B 坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质，求出A 、B 的坐标，然后求比值|AF||BF|即可．本题主要考察了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．9.已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆(x−3)2+(y−1)2=1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抛物线的性质，以及圆锥曲线中的最值．【解答】解：根据题意得，N(1,0)为抛物线的焦点，如图所示：过点P做PA垂直准线于点A，根据抛物线的定义，可知PA=PN，所以PN+PQ=PA+PQ，当P运动到点P1处时，即圆心C，P1，B在同一条直线上，且垂直准线时，有最小值，最小值为(PN+PQ)min=CB−r=3+1−1=3;故选A．10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A,B两点，以,3)，且ΔAOB的面积为3，则p=线段AB为直径的圆与抛物线C的准线切于M(−p2A. √3B. 2√3C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】本题考查了抛物线的标准方程以及点差法的使用，属于基础题．【解答】解：令A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由已知以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线切于M(−p2,3)，可得y 1+y 2=6，将A 、B 两点坐标带入，作差k 可得k AB =p3， 令AB 的方程为y =p3(x −p2)，与抛物线联立可得： y 2−6y −p 2=0，∴y 1y 2=−p 2， ∵△AOB 的面积6． 故12×p2×√36+4p 2=12， 解得p =√3． 故选A ．11. 如图，已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x −1)2+y 2=14于点A ，B 、C 、D 四点，则|AB|+|CD|的值是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】解：∵y 2=4x ，焦点F(1,0)，准线l 0：x =−1 由定义得：|AF|=x A +1，又∵|AF|=|AB|+12，∴|AB|=x A +12； 同理：|CD|=x D +12，直线l ：y =x −1，代入抛物线方程，得：x 2−6x +1=0， ∴x A x D =1，x A +x D =6， ∴|AB|+|CD|=6+1=7．综上所述4|AB|+|CD|的最小值为7． 故选：B ．求出||AB|=x A +12，|CD|=x D +12，l ：y =x −1，代入抛物线方程，利用韦达定理，化简|AB|+|CD|即可得到结果．本题考查圆与抛物线的综合，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点A(1,0)，直线FA 与抛物线C 交于点(P 在第一象限内)，与其准线交于点Q ，若PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 到y 轴距离为( ) A. 2√2−1B. 2√2−2C. 3√2−1D. 3√2−2【答案】B【解析】解：抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F(0,P2)，其准线方程为y =−p2， ∵A(1,0)，∴直线AF 的方程为y =−p2(x −1)， 由{y =−p2(x −1)y =−p 2，解得x =2，y =−p2，则Q(2,−p 2)， ∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(2−x P ,−p2−y p )=√2(x P ,y p −1)，∴2−x P =√2x P ， ∴x P =2√2−2．故点P 到y 轴距离为2√2−2． 故选：B ．先求出直线AF 的方程，再求出点Q 的坐标，根据若PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求出答案． 本题考查了抛物线的性质，直线方程，向量的运算，属于基础题13. 过抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若4|AF|=|BF|，O 为坐标原点，则|AF||OF|=( )A. 54B. 34C. 4D. 5【答案】A【解析】解：过A 作AE ⊥准线，过B 作BG ⊥准线，过A 作AD ⊥BG 交BG 于点D ，交y 轴于点C设|AF|=x ，则|BF|=4x ，F(0,p2)，准线：y =−p2，根据抛物线性质得：|AE|=|AF|=x ，|BG|=|BF|=4x ，|AB|=x +4x =5x ，|BD|=4x −x =3x ，|FC|=p −x ， 由图可知：AFAB=FCBD ，即x5x =p−x 3x，解得x =58p ，则|AF||OF|=58p 12p =54．故选：A ．根据条件画出示意图，设|AF|=x ，则|BF|=4x ，利用AFAB =FCBD ，求出x =58p ，进而求出比值．本题考查抛物线中两线段比值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14. 已知直线l ：4x −3y +6=0和抛物线C ：y 2=4x ，P 为C 上的一点，且P 到直线l 的距离与P 到C 的焦点距离相等，那么这样的点P 有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 【答案】C【解析】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点坐标(1,0)，(1,0)到直线4x −3y +6=0的距离为：√42+32=2，与抛物线的焦点坐标到准线的距离相等，所以由题意可知：如图：直线PF 与抛物线一定有两个交点． 故选：C ．求出抛物线的焦点坐标，求出焦点到直线4x −3y +6=0的距离，利用数形结合判断求解即可．本题求抛物线上的动点到两条定直线的距离之和的最小值．着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的简单几何性质等知识，属于中档题15. 已知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，点B 关于x轴的对称点为B 1，直线AB 1与x 轴相交于C 点，若直线AC 的斜率为√32，则△ABC 的面积为( )A. 8√33B. 4√33C. 4√3D. 5√33【答案】A【解析】【分析】本题考查抛物线的性质，熟知抛物线的准线方程与交点坐标是解题的关键，设直线AB 的方程为x =ky +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据题意则B 2(x 2,−y 2)，再结合直线AC 的斜率为√32，求出y 1−y 2=8√33，代入面积公式计算即可． 【解答】解：设抛物线的准线与x 轴的交点为C ，过点A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，∵AM //FC 1 //BN ， ∴MC 1NC 1=AF BF =AM BN．又∵∠AMC 1=∠BNC 1=90∘， ∴△AMC 1∽△BNC 1， ∴∠AC 1F =∠BC 1F ．∵点B 关于x 轴的对称点为B 1， ∴点C 1与C 重合．设直线AB 的方程为x =ky +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则B 2(x 2,−y 2)． 联立方程{y 2=4xx =ky +1．得y 2−4ky −4=0．∴y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4． 又∵直线AC 的斜率为√32，∴y 1+y 2x 1−x 2=y 1+y 2k (y 1−y 2)=√32， 即y 1−y 2=8√33， ∴△ABC 的面积为12×|CF |×|y 1−y 2|=12×2×8√33=8√33． 故选A ．16. 已知抛物线y 2=x ，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 的面积之和的最小值是( )A. 2B. 3C. 17√28D. √10【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的性质以及基本不等式.可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题． 【解答】解：设直线AB 的方程为：x =ty +m ，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M(m,0)， 由{x =ty +my 2=x ⇒y 2−ty −m =0，根据韦达定理有y 1⋅y 2=−m ， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=2， 结合y 12=x 1及y 22=x 2，得(y 1⋅y 2)2+y 1⋅y 2−2=0， ∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴y 1⋅y 2=−2，故m =2． 不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F(14,0)，∴S △ABO +S △AFO =12×2×(y 1−y 2)+12×14×y 1=12×2×(y 1−y 2)+12×14y 1，=98y 1+2y 1≥2√98y 1⋅2y 1=3．当且仅当98y 1=2y 1，即y 1=43时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3， 故选B ．17. 抛物线C ：y 2=2px 的准线交x 轴于点M ，过点M 的直线交抛物线于N ，Q 两点，F 为抛物线的焦点，若∠NFQ =90°，则直线NQ 的斜率k(k >0)为( )A. 2B. √2C. 12D. √22【答案】D【解析】解：如图，M(−p2,0)，NQ ：y =k(x +p2)，联立{y 2=2pxy =k(x +p 2)，得k 2x 2−p(2−k 2)x +14p 2k 2=0．△=p 2(2−k 2)2−p 2k 4．设N(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=p(2−k 2)k 2，x 1x 2=p 24．又F(p2,0)，∴FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−p 2,y 1)⋅(x 2−p2,y 2) =x 1x 2−p 2(x 1+x 2)+p 24+y 1y 2=x 1x 2−p 2(x 1+x 2)+p 24+k 2(x 1+p 2)(x 2+p2)=(k 2+1)x 1x 2−p2(1−k 2)(x 1+x 2)+(1+k 2)p 24=2k 2−1k 2p 2．∵∠NFQ =90°，∴FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2k 2−1k 2p 2=0，∵p ≠0，k >0，解得k =√22，当k =√22时，△=p 2(2−k 2)2−p 2k 4=2p 2>0，满足题意．∴直线NQ 的斜率k(k >0)为√22．故选：D ．求出NQ ：y =k(x +p2)，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及∠NFQ =90°列式求得k 值．本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．18. 己知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，延长AF交抛物线C 于点D ，若AB 的中点纵坐标为|AB|−1，则当∠AFB 最大时，|AD|=( ) A. 4 B. 8 C. 16D. 163【答案】C【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 3)， 由抛物线定义得：y 1+y 2+2=|AF|+|BF|， ∵y 1+y 22=|AB|−1，∴|AF|+|BF|=2|AB|，∴cos∠AFB =|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|⋅|BF|=3(|AF|2+|BF|2)−2|AF|⋅|BF|8|AF|⋅|BF|≥6|AF|⋅|BF|−2|AF|⋅|BF|8|AF|⋅|BF|=12，当且仅当|AF|=|BF|时取等号．∴当∠AFB 最大时，△AFB 为等边三角形，联立{y =√3x +1x 2=4y，消去y 得，x 2−4√3x −4=0． ∴y 1+y 3=√3(x 1+x 3)+2=14． ∴|AD|=16． 故选：C ．设出A ，B ，D 的坐标，利用抛物线定义可得|AF|+|BF|=2|AB|，再由余弦定理写出cos∠AFB ，利用基本不等式求最值，可得当∠AFB 最大时，△AEB 为等边三角形，得到AF 所在直线方程，再与抛物线方程联立，结合根与系数的关系及抛物线定义求得|AD|． 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．19. 过抛物线C ：y 2=x 的焦点F 分別作两条互相垂直的直线l 1，l 2，使l 1交C 于A ，B两点，l 2交C 于M ，N 两点，则|AB|⋅|MN|的最小值为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A【解析】【分析】本题考查了抛物线的简单性质，考查过焦点的弦、诱导公式、二倍角公式以及三角函数的最值，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍，属于中档题．设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为π2+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|MN|，整理求得答案． 【解答】解：设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为π2+θ， 根据焦点弦长公式可得|AB|=2p sin 2θ=1sin 2θ， |MN|=2psin 2(π2−θ)=2p cos 2θ=1cos 2θ， ∴|AB|×|MN|=1sin 2θ×1cos 2θ=1sin 2θcos 2θ=4sin 22θ，∵0<sin 22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB||MN|的最小值为4． 故选A ．20. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|QF|=( ) A. 35B. 52C. 20D. 3【答案】C【解析】解：抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F(2,0)，设P(−2,t)，Q(x,y). ∵FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(−4)⋅(−4,t)=(x −2,y)， 解得{x =18y =−4t由抛物线的定义知|QF|=x +p2=18+2=20故选：C抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F(2,0)，设P(−2,t)，Q(x,y).利用FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(−4)(−4,t)=4(x −2,y)，解得(x,y)，代入y 2=8x 可得t 2=128，再利用两点之间的距离公式即可得出．本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21. 已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C的一个交点，用PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 3或4B. 85或83C. 4或83D. 83【答案】D【解析】【分析】本题主要考查抛物线的性质及几何意义，难度较易，属于中档题．由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出P ，Q 的坐标，得到向量PF ，FQ 的坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得． 【解答】抛物线x 2=4y 的焦点为F(0,1)，准线为l:y =−1，设P(a,−1)，Q(m,m 24)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −a,m24+1),FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m 24−1)， ∵PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴a =−3m,3m 2=20，解得m 2=203，由抛物线的定义可得|FQ⃗⃗⃗⃗⃗ |=m 24+1=83， 故选D ．22. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，不过F 的直线与C 的交点为A ，B ，与C 的准线的交点为D.若|BF|=2，△BDF 与△ADF 的面积之比为45，则|AF|=A. √52B. 52C. √32D. √3【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的关系，考查学生平面几何知识，属于中档题． 利用抛物线定义得AN =AF,BM =BF =2，由三角形面积之比得到12×BD×ℎ12×AB×ℎ=BDAB=45，利用相似三角形得到BF AF =45，计算答案． 【解答】解：由题意可得准线方程为x =−p 2，F (p2,0)；过点A 作直线AN 垂直与准线与N ，过点B 作直线BM 垂直与准线与M ， 所以由抛物线的定义得AN =AF,BM =BF =2， 因为△BDF 与△ADF 的面积之比为45，所以12×BD×ℎ12×AB×ℎ=BD AB =45，所以BD =4AB ，因为△DBM ∽△DAN ，所以BMAN =DBAD =45，即BFAF =45， 所以AF =52; 故选B ．。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII2椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b xa y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴； 长轴长2a ，短轴长2b ； 焦点在长轴上 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e ace )10(<<=e ace33. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
圆锥曲线--抛物线
【例 4】如图 7，过抛物线 y2＝2px（P＞0）的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、N 两点， 自 M、N 向准线 l 作垂线，垂足分别为 M1、N1，求证：FM1⊥FN1
★⑵
1 1 2 ＋ ＝p | AF | | BF |
p2 p p 【证法一】由⑴x1x2＝ ，且| AF |＝x1＋ ，| BF |＝x2＋ . 4 2 2 x1＋x2＋p x1＋x2＋p 1 1 1 1 ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ | AF | | BF | p p p p p p2 x1＋ x2＋ (x1＋ )·(x2＋ ) x1x2＋ (x1＋x2)＋ 2 2 2 2 2 4 x1＋x2＋p x1＋x2＋p 2 ＝ 2 ＝ ＝ p p p2 p p ＋ (x ＋x )＋ (x ＋x ＋p) 4 2 1 2 4 2 1 2 p p p 【证法二】由| AF |＝1＝ ，| BF |＝2＝ ＝ . 1－cos 1－cos(＋ ) 1＋cos 1 1 1 1 1－cos 1＋cos 2 ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ | AF | | BF | 1 2 p p p
2 2 2 2
p p 1 1 1 在直线 AB 方程 x＝my＋ 中令 x＝0，得 y3＝－ ，代入上式得 ＋ ＝ 2 2m y1 y2 y3
p p ④【证法一】根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x1＋ ，| BF |＝| BC |＝x2＋ ， 2 2 | AB |＝| AF |＋| BF |＝x1＋x2＋p 又| AB |＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2＝ ＝ ＝ 1＋m2 1＋m2 1＋m2| y2－y1 |
【证法五】由下面证得∠DFC＝90，连结 FM，则 FM＝DM. 又 AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图 4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4 1 ∴∠2＋∠3＝ ×180＝90 2 ∴∠AMB＝90
圆锥曲线知识点全归纳完整精华版
圆锥曲线知识点全归纳精华版圆锥曲线包括椭圆;双曲线;抛物线..其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线..当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线..一、圆锥曲线的方程和性质：1椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e..定点是椭圆的焦点;定直线是椭圆的准线;常数e 是椭圆的离心率..标准方程：1.中心在原点;焦点在x轴上的椭圆标准方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1其中a>b>0;c>0;c^2=a^2-b^2.2.中心在原点;焦点在y轴上的椭圆标准方程：x^2/b^2+y^2/a^2=1其中a>b>0;c>0;c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθ Y=bsinθ θ为参数 ;设横坐标为acosθ;是由于圆锥曲线的考虑;椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0;圆的acosθ=r2双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e..定点是双曲线的焦点;定直线是双曲线的准线;常数e是双曲线的离心率..标准方程：1.中心在原点;焦点在x轴上的双曲线标准方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1其中a>0;b>0;c^2=a^2+b^2.2.中心在原点;焦点在y轴上的双曲线标准方程：y^2/a^2-x^2/b^2=1. 其中a>0;b>0;c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθ y=btanθ θ为参数3抛物线标准方程：1.顶点在原点;焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点;焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点;焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点;焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt t为参数t=1/tanθtanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率特别地;t可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c 开口方向为y轴; a<>0 x=ay^2+by+c 开口方向为x轴; a<>0圆锥曲线二次非圆曲线的统一极坐标方程为ρ=ep/1-e×cosθ 其中e表示离心率;p为焦点到准线的距离..二、焦半径圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径..圆锥曲线左右焦点为F1、F2;其上任意一点为Px;y;则焦半径为：椭圆 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex双曲线 P在左支;|PF1|=－a-ex |PF2|=a-exP在右支;|PF1|=a+ex |PF2|=－a+exP在下支;|PF1|= －a-ey |PF2|=a-eyP在上支;|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey抛物线 |PF|=x+p/2三、圆锥曲线的切线方程圆锥曲线上一点Px0;y0的切线方程以x0x代替x^2;以y0y代替y^2;以x0+x/2代替x;以y0+y/2代替y 即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线:y0y=px0+x四、焦准距圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距;或焦参数.. 椭圆的焦准距:p=b^2/c双曲线的焦准距:p=b^2/c抛物线的准焦距:p五、通径圆锥曲线中;过焦点并垂直于轴的弦成为通径..椭圆的通径:2b^2/a双曲线的通径:2b^2/a抛物线的通径:2p六、圆锥曲线的性质对比见下图：七、圆锥曲线的中点弦问题已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点;求该弦的方程⒈联立方程法..用点斜式设出该弦的方程斜率不存在的情况需要另外考虑;与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程;由韦达定理得到两根之和的表达式;在由中点坐标公式的两根之和的具体数值;求出该弦的方程..2.点差法;或称代点相减法..设出弦的两端点坐标x1;y1和x2;y2;代入圆锥曲线的方程;将得到的两个方程相减;运用平方差公式得x1+x2·x1-x2/a^2+y1+y2·y1-y2/b^2=0 由斜率为y1-y2/x1-x2可以得到斜率的取值..使用时注意判别式的问题补充：焦点三角形面积公式椭圆=b2tana／2=c|y0|双曲线=b2cota／2..。
圆锥曲线的基本概念
圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是数学中重要的曲线之一，它由圆锥和平面相交而产生。
圆锥曲线包括三种类型：椭圆、抛物线和双曲线。
下面将介绍这三种曲线的基本概念和特征。
首先，我们来看椭圆。
椭圆是由平面与圆锥的两个曲面相交而形成的曲线。
椭圆有两个重要的焦点和一个重要的准线。
焦点是指椭圆上到两个焦点的距离之和为常数，准线是指通过椭圆的两个焦点的直线。
除了焦点和准线外，椭圆还有其他重要的属性，例如长轴、短轴、半长轴和半短轴。
长轴是指通过焦点的直线的长度，短轴是指准线的长度，半长轴是长轴的一半，半短轴是短轴的一半。
椭圆还有一个重要的性质是离心率，离心率描述了椭圆的形状，它的值介于0和1之间。
当离心率接近0时，椭圆形状趋近于圆。
接下来，我们来看抛物线。
抛物线也是由平面和圆锥的曲面相交得到的曲线。
抛物线有一个焦点和一个准线。
焦点是指抛物线上到焦点的距离等于到准线的距离。
准线是通过焦点并且与抛物线垂直的直线。
抛物线还有其他重要的属性，包括顶点、直径、焦半径和焦点到顶点的距离。
顶点是抛物线的最高点或最低点，直径是通过顶点的直线，焦半径是指焦点到抛物线的距离，焦点到顶点的距离也被称为焦距。
抛物线具有对称性质，其左右两侧的形状是对称的。
最后，我们来看双曲线。
双曲线也是由平面和圆锥的曲面相交形成的曲线。
双曲线有两个焦点和两根准线。
焦点是指双曲线上到两个焦点的距离之差为常数。
准线是通过焦点且与双曲线垂直的直线。
双曲线还有其他重要的属性，包括顶点、直径和离心率。
顶点是双曲线的最高点或最低点，直径是通过顶点的直线，离心率描述了双曲线的形状，离心率的值大于1。
通过对椭圆、抛物线和双曲线的基本概念和特征的介绍，我们可以更好地理解这些曲线的性质和形状。
这些曲线在数学、物理和工程等领域中都有广泛的应用，例如在天文学中描述行星轨道、在光学中描述光线的传播路径等。
掌握圆锥曲线的基本概念对于深入理解数学和相关学科的原理和应用是非常重要的。
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重难点
• 1 抛物线的定义 • 2 抛物线的四种基本方程 • 3 抛物线性质的应用
例题讲解
• 例1: •
已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，求它 的焦点坐标和准线方程。 的焦点坐标和准线方程。 例2： 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）, 求 它的标准方程。 它的标准方程。
例3：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。 星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接 收天线，经反射聚集到焦点处。 收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的 径口（直径） 4.8m，深度为0.5m 0.5m。 径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的 坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。 坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
他们有着许多的奇妙的性质， 他们有着许多的奇妙的性质， 现在我们就来学习研究这类曲 线即抛物线。 线即抛物线。
知识回顾
• 大家都学习过了椭圆和双曲线，对圆锥曲 大家都学习过了椭圆和双曲线，
线都有了一定的了解了吧? 线都有了一定的了解了吧?不知道大家和记 不记得他们的相关知识呢？ 不记得他们的相关知识呢？ • 大家回忆一下，记不起来的也可以看书， 大家回忆一下，记不起来的也可以看书， 等一下我请同学上来回答， 等一下我请同学上来回答，并且填写我写 在黑板上的表格的有关于椭圆和双曲线的 部分。 部分。
· ·F
方程与图像
• 推导方法：由抛物线的定义推导，抛物线 推导方法：由抛物线的定义推导，
上一点到定点的距离等于到定直线的距离， 上一点到定点的距离等于到定直线的距离， 由此可以得到等式，即抛物线方程。 由此大家自己推导， 下面给大家一定是时间，请大家自己推导，
定义
平面内与一个定点F和一条定直线 （l不 平面内与一个定点 和一条定直线l（ 不 和一条定直线 经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 经过点 ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
l 定点F叫做抛物线的焦点 定点 叫做抛物线的焦点 叫做抛物线的 叫做抛物线的准线 定直线 l 叫做抛物线的准线 H
M
别且尝试画出对应的图像。 别且尝试画出对应的图像。
3.四种抛物线的标准方程对比 3.四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程 焦点坐标
y = 2 px
2
准线方程
(p > 0)
2
p ,0 2
p x=− 2
y = −2 px p − ,0 ( p > 0) 2
圆锥曲线---圆锥曲线----抛物线 ----抛物线
王东帅 06090102 数科院0901 数科院0901
课前导入
在现实生活中，存在这样的一种曲线： 在现实生活中，存在这样的一种曲线： 喷泉下落的弧线，拱形桥的底面， 喷泉下落的弧线，拱形桥的底面，同 学们还知道哪些这样的曲线？ 学们还知道哪些这样的曲线？请学生 回答。 回答。
x 2 = 2 py 0 , p
p x= 2 p y=− 2 p y= 2
(p > 0)
2
2
x = −2 py ( p > 0)
p 0,− 2
基本性质
• 抛物线上一点到焦点到准线的距离相
等 • 抛物线的性质不多，但非常重要，希 抛物线的性质不多，但非常重要， 望同学们把它牢记，并且能够应用。 望同学们把它牢记，并且能够应用。
板书设计
曲线类型 定义 方程 图像 性质 椭圆 双曲线 抛物线
类比推理
• 通过同学们对于表格的填写，可以看出同 通过同学们对于表格的填写，
学们对于圆锥曲线都有了初步的了解。 学们对于圆锥曲线都有了初步的了解。 • 下面我将引导同学们，充分发挥同学们类 下面我将引导同学们， 比推理的能力， 比推理的能力，带领同学们学习抛物线的 相关知识， 相关知识，并且完成表格上关于抛物线的 相关内容。 相关内容。
作业
• 布置书上的一些习题，主要是加强学 布置书上的一些习题，
生对于抛物线基本知识的巩固，让学 生对于抛物线基本知识的巩固， 生在课后更好的理解和掌握课堂上讲 解的知识。 解的知识。
•谢谢！