四川省绵阳中学(实验学校)2020-2021年自主招生数学试卷

H
G
C
B D
E
A
四川省绵阳中学(实验学校)2020-2021年自主招生数学试卷
（时间：70分钟 满分：100分）
姓名：_____ 分数：______
一．选做题（共10小题，每题3分，共30分）
1．已知三条抛物线y 1=x 2-x+m ，y 2=x 2+2mx+4，y 3=mx 2+mx+m-1中至少有一条与x 轴相交，则实数m 的取值范围是( )
(A)4/3<m<2 (B)m ≤3/4且m ≠0 (C)m ≥2 (D)m ≤3/4且m ≠0或m ≥2
2．若等腰△ABC 的三边长都是方程x 2-6x+8=0的根，则△ABC 的周长是( ) (A)10或8 (B)1O (C)12或6 (D)6或10或12
3．已知A 、B 两地相距4千米。

上午8:00，甲从A 地出发步行到B 的，8:20乙从B 地出发骑自行车
到A 地，甲乙两人离A 地的距离（千米）与甲所用的时间(分)之间的关系如图所示。

由图中的信息可知，乙到达A 地的时间为
A 、8:30
B 、8:35
C 、8:40
D 、8:45
4．如图，在正方形ABCD 的外侧，以AD 为斜边作等腰直角△ADE ，BE 、CE 分别交AD 于点G 、H ，若△GHE 的面积为2，则△CDH 的面积为（ ）
A 、2；
B 、22；
C 、32；
D 、4；
5．已知关于x 的一次函数y=mx+2m-7在15x -≤≤上的函数值总是正的，则m 的取值范围
（ ）
A 、7m >
B 、1m >
C 、17m ≤≤
D 、以上都不对
6．如图，正方形ABCD 的边1=AB ，
和
都是以1为半径的圆弧，
第3题图
时间/分 20
60 2
4 距离/千米
则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A ．12-π
B ．41π
- C ．
13-π
D ．6
1π-
7．如图，已知点A 是一次函数y =x 的图象与反比例函数x
y 2
=
的图象在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA =OB ，那么△AOB 的面积为
A 、2
B 、
2
2
C 、2
D 、22
8．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，
连接FD ，若∠BFA =90°，则下列四对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABC ；④△ADF 与△CFB 。

其中相似的为
A 、①④
B 、①②
C 、②③④
D 、①②③
9．如图，DB 为半圆O 的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 切半⊙O 于E ， BC ⊥AC 于C ，BC 交半⊙O 于F ，已知CE ＝2CF ＝2，则BF ＝（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．如图，过点)0,1(1Q 作x 轴的垂线，交抛物线2
4x y =于点1P ，
再过点1P 作抛物线的切线，交x 轴于点2Q ， 构建211Q Q P
∆，按上述操作，可继续构建
3
22Q Q P ∆、
4
33Q Q P ∆、...、
1
+∆n n n Q Q P ，那么
1
+∆n n n Q Q P 的面积为（ ）
A 、141-n
B 、142-n
C 、 181-n
D 、1
8
2
-n
第7题图
x
y
A
O
B
A
B
C
D
F
G
E
第8题图
O
F
D E
C
B
A
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点，若有1==AC AB ，则=AF _________.
第11题
12．如图，半径为5的⊙P 与轴交于点M （0，－4），N （0，－10），函数(0)k
y x x
=
<的图像过点P ，则k ＝ ．
13．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，……，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒 根．
14．如图，将边长为2cm 的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后，再抽出其中一个等腰直角三角形沿AC 移动，若重叠部分△A PC '的面积是1cm 2，则它移动的距离AA ′等于 cm ．
15．对任意实数m ，一次函数m kx y +=与反比例函数x
y 1
=的图像交于不同两点)y ,x (P 11和)y ,x (Q 22，若有
42
2
11=⋅x y x y ，则实数k 的取值为___________. 第18题图
E
F
C
A
B
D
O P
M
y A
x
N 第12题
第1个 第2个 第4个
第3个
第14题
P C ’
B ’
A ’
C B
A
16．食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ︒）满足函数关系⎩⎨⎧>≤=+0,20,646
x x t kx 且该食品在C ︒4的保险时间是16小时，已知甲在某日上午10时购买 了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度
随时间变化如图所示，给出以下四个结论： ② 该食品在C ︒6的保鲜时间是8小时； ②当66≤≤-x 时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少；
③到了此日13时，甲所购买的食品还在保险时间内； ④到了此时14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间。

其中，所有正确结论的序号是________________.
三．解答题（共8小题，共52分）
17．计算：．
18．已知二次函数
1322
2-++-=m m mx x y 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其顶点为C ， 且ABC ∆为直角三角形， ⑴求m 的值；
⑵设),(y x M 为ABC ∆区域（包括边界）内一动点，而点),(b a N 在直线2:--=x y l 上运动，求
22)()(b y a x +++的最小值.
19.某区七年级有3000名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动。

为了了解本次知识竞赛的成绩分布
情况，从中抽取了200名学生的得分(得分取正整数，满分为100分)进行统计。

分组 频数 频率
49.5～59.5 10 59.5～69.5 16 0.08 69.5～79.5
0.20
79.5～89.5 62
89.5～
100.5
72 0.36
请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图；
(2)若将得分转化为等级，规定得分低于59.5分评为“D ”，59.5～69.5分评为“C ”，69.5～89.5分评为“B ”，89.5～100.5分评为“A ”。

这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“D ”？如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为“A ”、“B ”、“C ”、“D ”哪一个等级的可能性大？请说明理由。

20．小明准备今年暑假到北京参加夏令营活动，但只需要一名家长陪同前往，爸爸、妈妈都很愿意陪同，于是决定用抛掷硬币的方法决定由谁陪同．每次掷一枚硬币，连掷三次． （1）用树状图列举三次抛掷硬币的所有结果；
（2）若规定：有两次或两次以上．．．．．．．正面向上，由爸爸陪同前往北京；有两次或两次以上．．．．．．．反面向上，则由妈妈陪同前往北京．分别求由爸爸陪同小明前往北京和由妈妈陪同小明前往北京的概率；
（3）若将“每次掷一枚硬币，连掷三次，有两次或两次以上正面向上时，由爸爸陪同小明前往北京”改为“同时掷三枚硬币，掷一次，有两枚或两枚以上．．．．．．．正面向上时，由爸爸陪同小明前往北京”．求：在这种规定下，由爸爸陪同小明前往北京的概率
20 10
30 40 50 60 70 80 16 62
72
频数 成绩(分)
49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 100.5
21． 如图所示，矩形ABCD 中，点E 在CB 的延长线上，使CE ＝AC ，连结AE ，点F 是AE 的中点，连结BF 、DF ，求证：BF ⊥DF
22．某体育用品老板到厂家选购A 、B 两种品牌的护膝，若购进A 品牌的护膝5套，B 品牌的护膝6
套，需要950元；若购进A 品牌的护膝3套，B 品牌的护膝2套，需要450元． （1）A 、B 两种品牌的护膝每套进价分别为多少元？
（2）若销售1套A 品牌的护膝可获利30元，销售1套B 品牌的护膝可获利20元，根据市场需求，体育用品老板决定，购进B 品牌护膝的数量比购进A 品牌护膝数量的2倍还多4套，且B 品牌护膝最多可购进44套，这些护膝全部售出后，使总的获利不少于1200元，问有几种进货方案？
23.已知：二次函数m x m x y ++-=)1(2的图象交x 轴于)0,(1x A 、)0,(2x B 两点，交y 轴正半轴于点C ，
且102
2
21=+x x 。

（1）求此二次函数的解析式；
（2）是否存在过点D (0，2
5
)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于
点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由。

24．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3cm ， BC =6cm ， CD =4cm ，∠C ＝90°．点P 从点A 出发，沿AB 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CD 方向匀速运动，速度为2 cm/s ．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜2）． 解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？
（2）设四边形PBCQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形PQDA ：S 四边形PBCQ ＝5：22？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由． （4）是否存在某一时刻t ，使点D 恰好在线段PQ 的中垂线上？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．
B C
P 第17题图 Q A D。