DSP实验用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I型的数字IIR高通滤波器

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题目用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I型的数字IIR高通滤波器课题性质课题来源
指导教师同组姓名
主要内容
用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I型的数字IIR高通滤波器，要
求通带边界频率为500Hz，阻带边界频率分别为400Hz，通带最大衰减1dB，阻带最小衰减40dB，抽样频率为2000Hz，用MATLAB画出幅频特性，画出并分析滤波器传输函数的零极点；
信号)
2
sin(
)
2
sin(
)(
)(
)(
2
1
2
1
t f
t f
t
x
t
x
t
xπ
π+
=
+
=经过该滤波器，其中
=
1
f300Hz，=
2
f600Hz，滤波器的输出)(t
y是什么？用Matlab验证你的结论并给出)(
),
(
),
(
),
(
2
1
t
y
t
x
t
x
t
x的图形。

任务要求1、掌握用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I型的数字IIR高通滤波
器的原理和设计方法。

2、求出所设计滤波器的Z变换。

3、用MA TLAB画出幅频特性图。

4、验证所设计的滤波器。

参考文献1、程佩青著，《数字信号处理教程》，清华大学出版社，2001
2、Sanjit K. Mitra著，孙洪，余翔宇译，《数字信号处理实验指导书（MA TLAB 版）》，电子工业出版社，2005年1月
3、郭仕剑等，《MA TLAB 7.x数字信号处理》，人民邮电出版社，2006年
4、胡广书，《数字信号处理理论算法与实现》，清华大学出版社，2003年
1需求分析：
用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I 型的数字IIR 高通滤波器，要求通带边界频率为500Hz ，阻带边界频率分别为400Hz ，通带最大衰减1dB ，阻带最小衰减40dB ，抽样频率为2000Hz ，用MATLAB 画出幅频特性，画出并分析滤波器传输函数的零极点；
信号)2s i n ()2s i n ()()()(2121t f t f t x t x t x ππ+=+=经过该滤波器，其中
=1f 300Hz ，=2f 600Hz ，滤波器的输出)(t y 是什么？用Matlab 验证你的结论并给出)(),(),(),(21t y t x t x t x 的图形。

2 概要设计：
数字滤波器介绍
数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。

它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。

数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l 两个电平状态)、灵活性强等优点。

时域离散系统的频域特性:
,其中
、
分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）,
是数
字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。

输入序列的频
谱经过滤波后,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理
信号的目的，适当选择，使得滤波后的满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。

数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。

IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型
来实现，其差分方程为： (1-1)
系统函数为：（1-2）设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。

IIR数字滤波器设计原理
IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为
（1-3）假设M≤N，当M＞N时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。

IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的
频率 交换
冲激响应不变
双线性变换
冲激响应不变
双线性变换 特性。

如果在S 平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z 平面上去逼近，就得到数字滤波器。

设计高通、带通、带阻等数字滤波器通常可以归纳为如图所示的两种常用方法。

方法1 方法2
图1-1 数字滤波器设计的两种方法
方法1： 首先设计一个模拟原型低通滤波器，然后通过频率变换成所需要的模拟高通、带通或带阻滤波器，最后再使用冲激不变法或双线性变换成相应的数字高通、带通或带阻滤波器。

方法2 ：先设计一个模拟原型低通滤波器，然后采用冲激响应不变法或双线性变换法将它转换成数字原型低通滤波器，最后通过频率变换把数字原型低通滤波器变换成所需要的数字高通、带通或带阻滤波器。

方法一的缺点是，由于产生混叠是真，因此不能用冲激不变法来变换成高通或阻带滤波器，故一般采用第二种方法进行设计。

本课程设计先构造一个切比雪夫模拟低通滤波器，然后将模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器，最后利用双线性变换将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器。

模拟原型低通
数字高通、带通和带阻
频率
数字原型低通
交换
模拟高通、带通和带阻
模拟原型低通
模拟高通、带通和带阻
切比雪夫滤波器
目的：构造一个模拟低通滤波器。

为了从模拟滤波器出发设计IIR数字滤波器，必须先设计一个满足技术指标的模拟滤波器，亦即要把数字滤波器的指标转换成模拟滤波器的指标，因此必须先设计对应的模拟原型滤波器。

模拟滤波器的理论和设计方法己发展得相当成熟，且有一些典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些典型的滤波器各有特点。

这里介绍切比雪夫滤波器。

切比雪夫滤波器特点：误差值在规定的频段上等波纹变化。

巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次N
截止
很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式来逼近所希望的。

切比
雪夫滤波器的在通带范围内是等幅起伏的，所以在同样的通常内衰减要求下，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。

切比雪夫滤波器的振幅平方函数为
(1-4)
式中Ωc为有效通带截止频率，表示与通带波纹有关的参量，值越大通带不动愈大。

V N（x）是N阶切比雪夫多项式，定义为
(1-5)
切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图所示：
N为偶数，cos2()=1，得到min，
，（1-6）
N为奇数，cos2(，得到max，
（1-7）
图1-2 切比雪夫滤波器的振幅平方特性
有关参数的确定:
预先给定;
a、通带截止频率：
b、与通带波纹有关的参数,通带波纹表示成
（1-8）
所以,
,
给定通带波纹值
分贝数后，可求得。

ｃ、阶数N:由阻带的边界条件确定。

、A2为事先给定的边界条件,即在阻带中的频率点处
,要求滤波器频响衰减到1/A2以上。

(1-9)
(1-10)
(1-11)
（1-12）因此，要求阻带边界频率处衰减越大，要求N也越大，参数N，
给定后，查阅有关模拟滤波器手册，就可求得系统函数Ha(s)。

双线性变换法
目的：将模拟带通滤波器转换成数字高通滤波器
为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。

为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=e sT转换到Z 平面上。

也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=e s1T将此横带变换到整个Z平面上去。

这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消
除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3
图1-3双线性变换的映射关系
为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到S1平面j Ω1轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以下的正切变换实现
（1-13）
式中,T 仍是采样间隔。

当Ω1由-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个j Ω轴。

将式（1-9）写成
(1-14)
将此关系解析延拓到整个S 平面和S1平面，令j Ω=s ，j Ω1=s 1，则得
(1-15)
再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面
z =e s 1T
从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为：
（1-16)
（1-17)
⎪⎭
⎫
⎝⎛Ω=
Ω2tan 21T T 2
/2/2/2/11112T j T j T j T j e
e e e T j Ω-ΩΩΩ+-⋅=ΩT
s T
s T s T s T s T s e e T T s T e e e e T s 1
1
11111122tanh 2212/2/2/2/----+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-⋅=1
1
112--+-=
z z T s s T s T s T s T z -+=-+
=
222121o
－1
1
Z 平面
jIm[z ]
Re[z ]
π / T
j Ω1
σ1
－π / T
S 1平面
S 平面
j Ω
σo o
式（1-10）与式（1-11）是S 平面与Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换
式（1-9）与式（1-10）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。

首先,把z =e j ω，可得
（1-18）
即S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆。

其次，将s =σ+j Ω代入式（1-12），得 因此
（1-19）
由此看出，当σ<0时，|z |<1；当σ>0时，|z |>1。

也就是说，S 平面的左半平面映射到Z 平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到Z 平面的单位圆外，S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆上。

因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

双线性变换法优缺点：双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。

这是因为S 平面与Z 平面是单值的一一对应关系。

S 平面整个j Ω轴单值地对应于Z 平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。

这个关系如式（1-12）所示，重写如下： （1-20）
上式表明，S 平面上Ω与Z 平面的ω成非线性的正切关系，如图1-4所示。

由图1-4看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接
Ω=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+-=--j T j e e T s j j 2tan 2112ωω
ωΩ--Ω++=j T
j T z σσ2
2
22
22
22||Ω+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-Ω+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
σσT T z ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=Ω2tan 2ωT
近于线性关系；但当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。

图1-4双线性变换法的频率变换关系
但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（1-12）及图1-4所示。

由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。

首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图1-5所示。

π－πω
o ()
2tan 2ωT
Ω＝ω
o
ω
o
o
Ω
Ω)
j (a ΩH )
(e j ωH ΩΩ
ωω
o
o
o
)]
(e arg[j ωH )]j (arg[a ΩH
图1-5双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射
对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。

也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。

数字滤波器设计实现
设计步骤
根据以上IIR数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于MATLAB设计一个IIR带通滤波器，其中带通的中心频率为wp0=0.55π，;通带截止频率wp1=0.45π, wp2=0.65π;通带最大衰减Ap=1dB;阻带最小衰减As=40dB;阻带截止频率ws2=0.75π
(1)确定性能指标
在设计带通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标: 通带截止频率wp1=0.45π,wp2=0.65π;阻带截止频率ws1=0.3π，ws2=0.75π；阻带最小衰减As=40dB和通带最大衰减Ap=1dB;中心频率wp0=0.55π。

(2)频率预畸变
用Ω=2/T*tan(w/2)对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变,得到带通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率Wp1,Wp2;阻带截止频率Ws1，Ws2的转换。

双线性变换法一般T=2s。

通带截止频率Wp1=(2/T)*tan(wp1/2)
Wp2=(2/T)*tan(wp2/2)
阻带截止频率Ws1=(2/T)*tan(ws1/2)
Ws2=(2/T)*tan(ws2/2)
(3)模拟带通性能指标转换成模拟低通性能指标
BW=Wp2-Wp1； %带通滤波器的通带宽度
W0=Wp1*Wp2；
WP=1； %归一化处理
WS=WP*(W0^2-Ws1^2)/(Ws1*BW)；
(4)模拟低通滤波器的构造
借助切比雪夫(Chebyshev)滤波器得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s)。

(5)模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器
调用lp2bp函数将模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。

(6)模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器
利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。

(7)输入信号检验滤波器性能
输入不同频率的正弦波，观察输出波形，检验滤波器性能。

程序流程图
开始
↓
读入数字滤波器技术指标
↓
将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标
↓
设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和3db截止频率
↓
模拟域频率变换，将G(P)变换成模拟带通滤波器H(s)
↓
用双线性变换法将H(s)转换成数字带通滤波器H(z)
↓
输入信号后显示相关结果
结束
图3-1程序流程图
3 运行环境
Window xp
4 开发工具和编程语言
Matlab 6.5
5 详细设计MATLAB程序
clc;
clear all;
Fp=500;%通带截止频率Fs=400;%组带截止频率Ap=1;%通带最大衰减As=40;%阻带最小衰减Ft=2000;%抽样频率Wp=2*pi*Fp/Ft;
Ws=2*pi*Fs/Ft;
wp=tan(Wp/2);
ws=tan(Ws/2);
ws1=1 %归一化
wp1=wp/ws
%估计滤波器的阶数
[N,Wn]=cheb1ord(ws1,wp1,Ap,As,'s');
%设计滤波器
[B,A]=cheby1(N,1,Wn,'s');
[BT,AT]=lp2hp(B,A,wp);
[num,den]=bilinear(BT,AT,0.5)
[z,p,k]=tf2zp(num,den)
%显示传输函数
disp('分子系数:');disp(num);
disp('分母系数:');disp(den);
%计算增益响应
w = 0:pi/255:pi;
h = freqz(num,den,w);
g = 20*log10(abs(h));
%绘制增益响应
figure;
plot(w/pi,g);grid;%绘制切比雪夫高通滤波器幅频特性axis([0 1 -100 1]);
xlabel('omega/\pi');
ylabel('增益/dB');
title('切比雪夫高通滤波器'); figure;
zplane(z,p); %绘制传输函数零极点title('传输函数的零极点');
f1=300;f2=6000;
t=0:0.0001:1
x1=sin(2*pi*f1*t);
x2=sin(2*pi*f2*t);
x=x1+x2;
figure;
subplot(2,2,1)%绘制x1的波形
plot(x1);grid on;
axis([0,50*pi,-3,3]);
xlabel('t');ylabel('x1(t)'); title('x1的波形');
subplot(2,2,2)%绘制x1的波形
plot(x2);grid on;
axis([0,50*pi,-3,3]);
xlabel('t');ylabel('x2(t)');
title('x2的波形');
subplot(2,2,3)%绘制输入x的波形
plot(x);grid on;
axis([0,50*pi,-3,3]);
xlabel('t');ylabel('x(t)');
title('输入信号x的波形')
%X=fft(x);
y=filter(num,den,x);%数字滤波器输出subplot(2,2,4);%绘制输出y的波形plot(real(y));
grid on;
axis([0,50*pi,-3,3]);
xlabel('t');ylabel('y');
title('滤波器输出y的波形');
测试数据及结果
实验总结：
这次课程设计，由于自己数字信号处理的理论课程跟不上进度，对数字滤波器的设计缺少认识。

而且需要运用matlab软件，所以比较吃力。

设计过程，看了一遍数字信号处理课程关于数字滤波器的设计的内容，再通过利用参考文献与网络，完成了用Matlab进行数字信号处理课程设计。

通过课程设计，加深了对课堂抽象概念的理解,巩固了课堂上所学的理论知识,并能很好地理解与掌握数字信号处理中的基本概念、基本原理、基本分析方法。

同时掌握编程方法和解决实际问题的技巧。

与其他高级语言的程序设计相比，MATLAB环境下可以更方便、快捷地设计出具有严格线性相位的FIR滤波器，节省大量的编程时间，提高编程效率，且参数的修改也十分方便，还可以进一步进行优化设计。

相信随着版本的不断提高，MATLAB在数字滤波器技术中必将发挥更大的作用。

同时，用MATLAB 计算有关数字滤波器的设计参数，如H(z)、h(n)等，对于数字滤波器的硬件实现也提供了一条简单而准确的途径和依据。

参考文献：
1、程佩青著，《数字信号处理教程》，清华大学出版社，2001
2、Sanjit K.Mitra著，孙洪，余翔宇译，《数字信号处理实验指导书（MATLAB 版）》，电子工业出版社，2005年1月
3、郭仕剑等，《matlab7.x数字信号处理》，人民邮电出版社，2006年
4、胡广书，《数字信号处理理论算法与实现》，清华大学出版社，2003年。