2020.12.15抛物线的简单几何性质(一)
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质抛物线是数学中一个经典的曲线，由于其独特的形状和广泛的应用，它被广泛研究和使用。
本文将介绍抛物线的一些简单的几何性质。
1. 抛物线的定义抛物线是指平面上的一类曲线，其定义为平面上离定点（焦点）距离与定直线（准线）距离相等的点的集合。
这个定义可以用数学表达式来描述，即：y = ax^2 + bx + c其中 a、b 和 c 是常数，a 不等于 0。
这个方程描述了平面上所有满足以上条件的点的集合，即抛物线。
2. 抛物线的对称性抛物线具有轴对称性，即它关于某一直线对称。
这条直线称为抛物线的对称轴。
对称轴与抛物线的顶点有关，顶点是抛物线的最高点或最低点。
对于抛物线的标准方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的公式为x = -b/(2a)。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，位于抛物线的对称轴上。
对于标准方程y = ax^2 + bx + c，顶点的 x 坐标可以通过-b/(2a)计算得出。
将其代入方程中得到对应的 y坐标。
4. 抛物线的焦点和准线在抛物线的定义中提到了焦点和准线。
焦点是一个点，位于抛物线的对称轴上，与抛物线上的所有点到准线的距离相等。
准线是一个直线，与抛物线不相交，且与焦点的距离相等。
焦点的计算可以使用以下公式：F(x, y) = (x, y)，其中 x = -b/(2a)，y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)准线的方程为y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)。
5. 抛物线的焦距和方向焦距是指焦点到准线的距离，也可以视为焦点到对称轴的垂直距离。
焦距的计算公式为f = 1/(4a)。
由此可见，焦点到对称轴的距离与 a 的值有关。
当 a 的值越小，焦距越大，抛物线会变得扁平；当 a 的值越大，焦距越小，抛物线会变得尖锐。
根据 a 的正负，抛物线的方向也会有所不同。
当 a 大于 0 时，抛物线开口朝上；当 a 小于 0 时，抛物线开口朝下。
高二数学抛物线的简单几何性质1
课题：抛物线的简单几何性质（1）一．教学目标： 1.知识与技能：记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量p；会简单应用抛物线的几何性质；2．过程与方法：熟练掌握利用方程研究曲线的基本方法。
通过四种不同形式标准方程的对比培养学生分析归纳能力。
使进一步理解并掌握代数知识。
3.情感态度与价值观：培养学生分析问题的能力和辨证的观点。
强化数形结合的思想.二．教学重、难点：抛物线的几种不同状态下的标准方程的几何性质和应用.三．教学过程：（一）复习：（1）抛物线的四种标准方程；（2）基本量p的几何意义.（二）新课讲解：说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径.（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线.例1．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,22)M -，求它的标准方程，并用描点法画出图形．解：∵抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,22)M -，所以设它的标准方程为22(0)y px p =>．∵点M 在抛物线上，所以2(22)22p -=⋅，即2p =．∴所求方程是24y x =．（图略）例2．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（图（1）），光源位于抛物线的焦点处。
已知灯口圆的直径为60cm ，灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置．图（1） 图（2）解：如图（2），在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是22(0)y px p =>．由已知条件可知点(40,30)A ，代入方程，得454p =． ∴所求抛物线的标准方程是2452y x =，焦点坐标是45(,0)8．例3．若抛物线的通径长为7，顶点在坐标原点，且关于坐标轴对称，求抛物线的方程．解：设抛物线方程22y px =±或者22x py =±(0)p >，∵通径长27p =，所以所求抛物线方程27y x =±或者27x y =±．xyo AB例4．点P 、Q 是抛物线22y mx =上两点，PQ 垂直于这条抛物线的对称轴，且||5OP =，O 为坐标原点，||6PQ =，求m 的值． 解：由抛物线的对称性可知，点P 、Q 是抛物线上关于对称轴x 轴对称的两点．∵||6PQ =，∴可设点(,3)P x ，(,3)Q x -，又∵||5OP =，∴2925x +=，于是得4x =±． ∴抛物线过点(4,3)±，代入22y mx =得：98m =±．四．小结：抛物线的几何性质.（对称性、范围、顶点、离心率）五．作业：六．板书设计七．教学后记。
抛物线的简单几何性质
消去 y，整理得 4x2－17x＋4＝0， 由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝ 147＋2＝245. 所以，线段 AB 的长为245.
[点评] 过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长问 题是抛物线中常见问题．解决此类问题，通常有三种 解法：(1)焦点弦长公式，
|AB|＝ p－y1－y2
典例精析
类型一 抛物线的简单几何性质 [例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距 离为3，求抛物线的方程． [分析] 先确定抛物线方程的形式，再依条件求待 定参数．
[解] 椭圆 9x2＋4y2＝36 可化为x42＋y92＝1，得抛物 线的对称轴为 x 轴．
(2)顶点在原点，对称轴为y轴时的抛物线方程可设 为x2＝ay(a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时， 抛物线开口向下．
类型二 抛物线的焦点弦问题 [例 2] 斜率为43的直线 l 经过抛物线 y2＝2px 的
焦点 F(1,0)，且与抛物线相交于 A、B 两点． (1)求该抛物线的标准方程和准线方程； (2)求线段 AB 的长； [分析] (1)由抛物线焦点坐标得 p 值，求出抛物
(3)方法一：如图 4，知直线 AB 斜率必存在 故设 AB 方程为 y－1＝m(x－1) 即 y＝mx－m＋1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 则由yx＝2＝m4xy－m＋1 得 x2－4mx＋4m－4＝0
图4
则 x1＋x2＝4m，而x1＋2 x2＝1 即 x1＋x2＝2 ∴4m＝2，m＝12， 故直线 AB 方程为 x－2y＋1＝0.
方法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xx2122＝ ＝44yy12① ②
抛物线的简单几何性质PPT教学课件
y dA
A
d
O •F
x
B
dB
例4、过抛物线焦点作直线交抛物线y2 2 px( p 0)于 A，B两点，设A(x1, y1), B(x2, y2 ), 求证 : y1y2 p2.
解：过A，B点作准线的垂线，垂足 为P,Q P y A
P(
p 2
,
y1),Q(
p 2
,
y2
),
F
(
p 2
,0)
O •F
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
y
A
F
O
x
D
B
数学广角
沏茶前要做些什么事呢？
怎样才能让客人尽快喝上茶？
①
②
③
④
⑤
⑥
数学家,中国科学院院士 华罗庚
“统筹法”
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③
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④ 每个饼每面要烙３分钟才熟！！！
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几何中的抛物线性质
几何中的抛物线性质抛物线是数学中的一种特殊曲线，它在几何学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍抛物线的定义及其基本性质，包括焦点、准线、顶点、对称轴等重要概念。
同时，还将探讨抛物线的相关公式和实际应用，帮助读者更好地理解并应用这一几何形状。
一、抛物线的定义抛物线是一种二次曲线，由焦点到准线的距离始终相等构成。
其数学表达式为：y = ax² + bx + c其中a、b、c为常数且a≠0。
抛物线是一个平滑的U形曲线，向上或向下开口，具有许多独特的性质。
二、抛物线的基本性质1. 焦点和准线：焦点是指离抛物线上任意一点的距离与该点到准线的距离相等的点。
准线是平行于对称轴，并与抛物线不相交的一条直线。
2. 顶点和对称轴：顶点是指抛物线的最高点或最低点，即曲线的拐点。
对称轴是通过焦点和顶点的直线，也是抛物线的对称轴线。
3. 焦距公式：焦距是指焦点到对称轴的距离。
在一般的抛物线方程中，焦距的计算公式为：f = 1 / (4a)4. 切线和法线：切线是抛物线某一点处切于曲线的直线，而法线则与切线垂直。
5. 弧长和曲率：抛物线的弧长可使用积分计算。
曲率是抛物线某一点处曲线的弯曲程度，由相应的导数或偏导数表示。
三、抛物线的相关公式1. 标准形式：y = ax²2. 顶点坐标：(-b/2a, f(-b/2a))3. 焦点的坐标：(p, a/p)，其中p为焦距4. 准线方程：y = -p5. 切线方程：y = mx + c，其中m是抛物线某一点处的导数，c为相应的截距四、抛物线的实际应用抛物线不仅在数学领域中具有重要意义，还广泛应用于各行各业。
以下是一些抛物线在实际中的应用示例：1. 抛物线反射器：抛物线形状的反射器可以将平行光线聚焦到一个点上，常用于望远镜、卫星天线等设备中。
2. 炮弹的轨迹：抛物线方程可用于计算炮弹射程和最大高度等参数，有助于炮弹的轨迹预测和射击控制。
3. 桥梁设计：在桥梁的设计过程中，抛物线形状能够提供足够的结构安全性和荷载分布均匀性。
抛物线性质总结
抛物线性质总结一、抛物线的定义和基本性质抛物线，是数学中一种经典的曲线。
它具有许多令人着迷的性质，在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将总结抛物线的一些基本性质。
抛物线可由以下二次方程表示：y = ax² + bx + c。
其中a、b、c为实数，且a不等于0。
根据该方程，我们可以得出以下基本性质。
1. 对称性：抛物线是关于y轴对称的。
也就是说，对于任意点(x, y)在抛物线上，横坐标为-x的点(-x, y)同样也在抛物线上。
2. 顶点和焦点：抛物线的图像上存在一个顶点，其横坐标为-x₁ = -b / (2a)，纵坐标为y₁ =c - b² / (4a)。
顶点是抛物线的最低点（对于a>0）或最高点（对于a<0）。
此外，抛物线还有一个重要的性质，就是焦点。
焦点是一个点，它到抛物线上任意一点的距离与该点到抛物线的直线称为“准线”的距离相等。
焦点的横坐标为-x₂ = -b / (2a)，纵坐标为y₂ = c - (b² - 1) /(4a)。
3. 对称轴：抛物线的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴的方程为x = -b / (2a)。
对于对称轴上任意一点(x, y)，其与顶点的距离等于该点到抛物线的任意一点的距离。
二、抛物线的拓展性质除了上述基本性质外，抛物线还有一些拓展性质，值得进一步探讨。
1. 切线与法线：沿着抛物线上的任意一点(x₀, y₀)绘制一条直线，使其与抛物线相切。
这条直线称为该点的切线。
切线的斜率等于抛物线在该点的导数。
类似地，通过抛物线上一点(x₀, y₀)作一个垂直于切线的直线，该直线称为该点的法线。
法线的斜率等于切线的负倒数。
2. 点到抛物线的距离：给定一个点(x, y)和一个抛物线，我们可以求出该点到抛物线的最短距离。
这个最短距离等于点到抛物线的准线的距离。
要计算点(x, y)到抛物线的最短距离，我们可以使用以下公式：d = |y - (ax² + bx + c)| / √(a² + 1)。
抛物线的几何性质(一)精选教学PPT课件
抛物线性质总结一
抛物线性质总结(一)一、抛物线定义:平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。
首先，建立坐标系，过定点FI做垂直于准线的直线，以此为X轴，以定点与准线的之间线段的中垂线为y轴，设点P (x,y) ,Fl(p∕2,0),准线方程x=p∕2 根据定义,J(xg)2 + y2 = x + E(x-^)2 + y2=(x+∣)22-px + y = pxy2 = 2px (p > 0)这就是焦点在X轴，开口向右的抛物线的标准式，其它类型的同理二、抛物线性质：1、过定点C (2小0)的直线与抛物线交于A 、B 两点，则OALoB 证明： 设抛物线方程为y? = 2px,点A 坐标为(x∣ ,y∣ ),点B 坐标为(X2,y2) 因点A 、B 都在抛物线上，因此Yi 2 = 2px∣ y 22 = 2P x 2 同时，直线AB 又过定点C(2p,0) 因此，％ —0 = y2 ~°V 2 y 2以∙⅛f∙⅛ = 2p(yf) ¾z ^(y 2-yι) = 2p(y 1-y 2) 2pYiY 2 =-4P 2于是 (yιy 2)2=i6p 4即 (2px 1 2px 2)=16p 44p 2x 1x 2 = 16p 4x 1x 2 = 4p 2≠M X 1X 2 + y 1y 2=4p 2 + ( - 4p 2>=0又OA ∙ OB=X 1X 2 + y l y 2因止匕OA ∙ OB=O即 OA ± OB证毕X 1 — 2p X 2 — 2p -2py 1 =y 2x 1 -2py 2 -y 2χι =2p(y∣ -y 2)Yi x y∣χ的圆与准线相切。
证明:设抛物线方程为V=2px,点A 坐标为(x ∣,y)点B 坐标为(Xι,yJ 因点A 、B 都在抛物线上 因此，y l 1 2=2px 1, y 22=2px 2设以线段AB 为直径的圆的圆心为C (x 3,y 3)π,l X 1 + X, V 1 + V,则X,~^∙,y 3 =力力 2 2因此，圆心到准线的距离为d = χ3 +片=产同时，以线段AB 为直径的圆的半径为r= '”一,2' +(x∣ — J),,即应互KΞ迂ΞΞ瓦i^2px 1 -2y 1y 2 +2px 2 +x 12 -2x 1x 2 +x 2:=y2×1-yy 2y ∣χ2-yιχ1 =^(y1-y 2)y ⅜^y ⅛ = 2cyι^y ^¾^-(y 2-y 1)=⅞(yι-y 2) 2p 2Yiy 2=-P 2于是，χ∕2=*⅛=邑代入r 的表达式，得^2px 1+2p j +2px 2+x 12-∙^- + J2px,+p 2 +2px 2 + x l 2+^- + X 22 r =-2 _ √(x 1 +X 2+p)2 Γ T2r=x I +x 1+p =d 2因此，准线与圆相切 证毕2因线段AB 过抛物线的焦点吗,。
抛物线的简单几何性质(教师版+学生版)
抛物线的简单几何性质一、 知识点1）抛物线的几何性质2）抛物线的几何性质应用3）抛物线的焦半径公式及其应用4）抛物线过焦点弦的性质二、 教学过程1、 抛物线的简单几何性质1）范围，对称性，顶点，离心率2）说明1：抛物线22(0)y px p =>在第一象限随着x 增大，y 增大，但增长的越来越慢，所以它无渐近线3）说明2：关于离心率的问题，可以介绍一下圆锥曲线的统一定义4）说明3：抛物线的开口大小有p 确定2、抛物线的焦半径公式1）抛物线22(0)y px p =>上一点00(,)P x y 到焦点F 的距离为02p x + 3、抛物线过焦点弦的性质（已知AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，且1122(,),(,)A x y B x y ）1）221212,4p y y p x x =-=（可推广，只要动弦过抛物线对称轴上一定点，则乘积也为定值）2）12||AB x x p =++，||AB 的最小值为2p3）以AB 为直径的圆与准线相切4）(1)AF mFB m =>，则1AB k m =-，21||p m AF =+ 4、考点类析1）抛物线的几何性质应用例1 已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则这个正三角形的边长为________．参考答案：43p [解析] 设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即(x 21－x 22)＋2p (x 1－x 2)＝0，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.∵x 1>0，x 2>0，2p >0，∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即点A ，B 关于x 轴对称，∴直线OA 的倾斜角为30°，∴y 1x 1＝tan 30°＝33.又x 1＝y 212p，∴|y 1|＝23p ，∴|AB |＝2|y 1|＝43p .配套练习：已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB 的方程．解：∵|OA |＝|OB |，∴可设A ，B 的坐标分别为A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，其中x 0>0.∵△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴k F A ·k OB ＝－1，即y 0x 0－p 2·－y 0x 0＝－1，即y 20＝x 0⎝⎛⎭⎫x 0－p 2＝2px 0(x 0＞0，p ＞0)，∴x 0＝52p ，∴直线AB 的方程为x ＝52p . 例2 P 为抛物线22(0)y px p =>上一动点，(,0)A a 为定点，求||PA 的最小值 解：设(,)P x y ，22222||()[()]2(0)PA x a y x a p ap p x =-+=--+-≥所以当min ,||||(0)a p PA a x ≤==取到当min ,||)a p PA x a p ≥==-取到配套练习：利用例2的结论说明抛物线24y x =，与圆22(3)9x y -+=的交点个数 参考答案：3个2）焦半径公式应用例3 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴的正半轴上，点A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）C （x 3，y 3）在抛物线上，若△ABC 的重心恰为抛物线的焦点F ，且|FA|+|FB|+|FC|=6，则抛物线的方程为 ．解：设抛物线的方程为x 2=2py ，（p ＞0）．由△ABC 的重心恰为抛物线的焦点F （0，），得y 1+y 2+y 3=3×，根据抛物线的定义可得，|FA |=y 1+，|FB |=y 2+，|FC |=y 3+，又|FA |+|FB |+|FC |=6，∴y 1+y 2+y 3+=6，即2×=6 ∴p=2，∴抛物线方程为x 2=4y ．故答案为：x 2=4y ．3）焦点弦性质应用例4 直线l 过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是（ ）A ．y 2=12xB ．y 2=8xC ．y 2=6xD ．y 2=4x解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），根据抛物线定义，x 1+x 2+p=8，∵AB 的中点到y 轴的距离是2， ∴，∴p=4； ∴抛物线方程为y 2=8x 故选B例5 过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线与抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴 分析：设200(,)2y A y p ，则20B p y y =-，同时也可求得2D p y y =-，得证 配套练习：直线l 过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，求证AOB ∠为钝角．解：只需证0OA OB ⋅<例6 已知抛物线x 2=4y ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为30°，则等于（ ） A ．3 B ． C ．2 D ． 解：设||||AF m BF =，则12(1)m m +=-，所以3m = 故选：A ．配套练习：如图过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |=2|BF |，且|AF |=3，则抛物线的方程为（ ）A ．y 2=xB ．y 2=9xC ．y 2=xD ．y 2=3x解：如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |=a ，则由已知得：|BC |=2a ，由定义得：|BD |=a ，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE 中，∵|AF |=3，|AC |=3+3a ，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．故选D．。
抛物线的简单几何性质
抛物线与其他图形位置关系探讨
与坐标轴交点
与其他二次曲线关系
抛物线可以与坐标轴交于一点、两点 或不相交，这取决于抛物线的方程和 系数。
抛物线与椭圆、双曲线等二次曲线可 以有不同的位置关系，如相切、相交 或相离。
与直线交点
抛物线与直线的交点个数可以是0个 、1个或2个，具体情况需要联立方程 求解。
位置关系在解题中应用举例
准线
抛物线的准线是一条与对称轴平行的直线，且到焦点的距离等于焦距。对于标准 方程 $y^2 = 4px$，准线的方程为 $x = -p$。
开口方向与对称轴
开口方向
抛物线的开口方向由标准方程中的 $x$ 或 $y$ 的系数决定。对于标准方程 $y^2 = 4px$，抛物线开口向右；对于 $x^2 = 4py$，抛物线开口向上；以 此类推。
对于开口向上的抛物 线 y = ax^2 (a > 0) ，焦点坐标为 (0, 1/4a)。
对于一般形式的抛物 线，焦点坐标可以通 过配方和平移等方法 求得。
对于开口向下的抛物 线 y = -ax^2 (a > 0)，焦点坐标为 (0, 1/4a)。
顶点和焦点关系探讨
抛物线的顶点是离焦点最近的点，也是抛物线的对称中心。
对于一般形式的抛物线 Ax^2 + By + C = 0 (A ≠ 0)，可以 通过完成平方等方法，将其转化为标准形式，进而求得准线 方程。
对称轴方程求法
对于标准形式的抛物线 y^2 = 2px (p > 0)，其对称轴方程为 x = 0，即 y轴。
对于一般形式的抛物线 Ax^2 + By + C = 0 (A ≠ 0)，其对称轴方程为 x = -B/2A。
抛物线的简单几何性质(一)
2 变：已知抛物线 y 2 px( p 0) ，过 (n, 0)(n 0, n 2 p) 作直线交
( x1, y1 ) ，B ( x2 , y2 ) ，证明 x1 x2 n 2 ， y1 y2 2 pn . 抛物线于 A
上述的其他类似结论成立吗？
抛物线中过焦点的直线（焦点弦）的性质：
2p AB （3） 若直线 AB 的倾斜角为 ， 证明 （ sin 2 . 通径最短）
y
1 1 2 （4）证明 | FA | | FB | p .
A
（5）以 AB 为直径的圆与准线相切
（6）以 AF 为直径的圆与 y 轴相切
θ
O B
F
x
（7）A,B 在准线上的射影为 A, B ,则 AF 与 FB 的位置关系？
y
l O F
方程
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0
e
y2 = 2px p p F ( ,0) x x （p>0） 2 2
l
|PF|=x0+p/2
x轴
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0) x （p>0） 2 x 2
|PF|=-x0+p/2
(0,0) 1
y∈R
2 例： 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的直线交抛物线于 A (x1, y1) ， ( x2 , y2 ) . B
p2 x1 x2 2 y1 y2 p 2 . 2 （1）证明 S AOB p 3 4 ， p S AOB （10）证明 8 2sin ； AB （2）证明 AB x1 x2 p ；
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质1
1、抛物线的定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的
距离的比是常数 e 1，则这个点的轨迹是抛物线.
定点F是抛物线的焦点， 定直线l叫做抛物线的准线，
y
l d .M
常数e＝1是抛物线的离心率 .
K.
OF
x
y2 2 px p 0是焦准距
－－抛物线标准方程
2、抛物线的标准方程：
一般地, 题目改为: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y2 2 px ( p 0) 的
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
2p
AB sin2
例3、过抛物线焦点作直线交抛物线y2 2 px( p 0)
于A，B两点，设A(x1, y1), B(x2, y2),
Py A
求证 : (1) y1y2
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
消去y得x26x+1=0
OF
X
B’ B
x1 x2 6
设A（x1，y1)，B（x2，y2），由抛 物线的定义可知：
|AF|等于点A到准线x=-1的距离|AA’|， 而
|AA’|=x1+1 即|AF|=|AA’|=x1+1，同理 |BF|=|BB’|=x2+1 ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8
(完整版)抛物线的几何性质
抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。
抛物线的简单几何性质(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
F1 (-c,0)
离心率 e c (0 e 1)
a
y
B2 (0,b)
(a,0)
A2
o
F2 (c,0)
x
B1 (0,-b)
课前准备
4.双曲线的简单几何性质：标准方程Fra bibliotekx2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0)
范围
x a或
对称性
顶点 渐近线 离心率
x a, y R 对称轴：坐标 轴 对称中心： 原点
焦半径
的距离为 d ，则 MF d .
· H yd M
· K O F
x
l
课前准备 2.抛物线的四种标准方程：
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y HM
OF x l
y2 2 px ( p 0)
( p , 0) 2
x p 2
y MH
FO x
y2 2 px ( p , 0)
( p 0)
2
x p 2
y
F O l
称轴叫做抛物线的轴.
y
o F( p ,0) x
2
知识探究（一）
思考 3：令 y 0 ，代入方程 y2 2 px( p 0) ，得抛物
线和 x 轴（即对称轴）的交点是 (0, 0) ，这个交
点叫做抛物线的顶点.
y
o F( p ,0) x
2
知识探究（一）
小结 3: 抛物线 y2 2 px( p 0) 只有一个顶点是坐 标原点 O(0, 0) .
解：如图,设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A,B 在抛物线上. 根据抛物线的性质知 A,B 关于 x 轴 对称. 由题意得 A(2,2)在抛物线 y2=2px 上, 所以 p=1,抛物线的方程为 y2=2x.
抛物线的简单几何性质1
例4：给定抛物线 y = 2 x , 设
2
A ( a ,0), P 是抛物线上一点， 是抛物线上一点， 的最小值。 且 PA = d , 试求 d的最小值。
一、抛物线的定义 平面内与一个定点F 平面内与一个定点F和一条定 直线l的距离相等的点的轨迹叫做 直线 的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线。 抛物线。 二、抛物线的标准方程
图形
Ｈ
O
标准方程
F
焦点坐标
准线方程
y
M
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
l
O
y
F
x
y2=2px (3)顶点： (3)顶点：抛物线和它 顶点 的轴的交点. 的轴的交点. 即： 顶点就是坐标原点
l
y
O
F
x
(4)离心率：抛物线上的点M到焦点的 (4)离心率：抛物线上的点M 离心率 距离和它到准线的距离之比
e=1
图形
标准方程
2
范围
对称性
关于x轴 关于 轴 对称， 对称，无 对称中心 关于x 关于 轴 对称， 对称，无 对称中心 关于y 关于 轴 对称， 对称，无 对称中心 关于y 关于 轴 对称， 对称，无 对称中心
x2 = −2 py y ≤ 0, ( p > 0) x∈ R
例1：已知抛物线顶点在坐 标原 点, 对称轴是坐标轴 , 并且经过点 M(2,-2 2 )，求抛物线的标准方 程。
变式：抛物线的顶点在原点， 变式：抛物线的顶点在原点，焦点在 x轴的正半轴上，此抛物线的内接正 轴的正半轴上， 轴的正半轴上 三角形的一个顶点与抛物线的顶点重 已知该正三角形的高为12 12， 合，已知该正三角形的高为12，求抛 物线上到焦点的距离等于5的点M 物线上到焦点的距离等于5的点M的坐 标。
抛物线的简单几何性质(一)
x
则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称. 把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
3.顶点 定义：抛物线与它 的轴的交点叫做抛 物线的顶点.
在 y2
= 2p
y
o
F(
p 2
,0 )
x
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点为（0，0）.
y o
l
2
B A
x
4
F
F (0,
p 2
) y
p 2
y
O F
y轴
x2
(0, p 2 ) y
= -2py F x （p>0）
p 2
y≤0
x∈R
特点：
y2=4x
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 y2=2x y 限延伸,但它没有渐近线; y2=x
4 3 2
2.抛物线只有一条对称轴,没有
1 -2 2 4 6 8
注意:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两 个顶点不同。
4.离心率 抛物线上的点与焦点 的距离和它到准线的 距离之比，叫做抛物 线的离心率。
由定义知， 抛物线y2 = 2px
y
P(x,y)
o
F(
p 2
,0 )
x
(p>0)的离心率为e=1.
下面请大家得出其余三种标准方程抛物 线的几何性质。
（二）归纳：抛物线的几何性质
2
点的距离是5，则P= 4 。
四、归纳总结
1、范围： 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线； 2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, P越大，抛物线的张口 越大.
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3.抛物线 y 4x2 上的一点 M 到焦点的距离为1 ，则点 M 的纵坐标
是( B ).
( A) 17 (B) 15
7 (C )
16 16
8
(D) 0
思考 (课本第 69 页例 4)
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F ,且与抛物线相
交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
2 2
1 2
1 2 1 2
2
2
2
返回
补充练习:
1. AB 是抛物线 y2 x 的一11条焦点弦,且 AB 4 ,则 AB 的中点到 直线 x 1 0的距离为__4___.
2.点 A 的坐标为 (3,1) ,若 P 是抛物线 y2 4x 上的一动点, F 是抛 物线的焦点,则 PA PF 的最小值为_4__.
3.正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 y2 4x 上,则这个正三角形的边长为_8__3.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB 过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E .
在△ AFE 中 EF AF cos45 .
M
KQ
N
E
记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF 2
∴ FA = MA KE 2 FA cos45 ∴ FA 2
同理 FB
2
,∴ AB
2
2
8 1
抛物线的简单几何性质(一)
用方程研究抛物线的简单几何性质
练习1,2,3
课本第69例4
例4设而不求,数形结合
例4纯几何思维
补充练习及作业
阳江市第一中学 周如钢
抛物线的简单几何性质(一)
标准方程 y2 2 px( p 0)
· H y d M
图形
F
0
x
l
焦点和准线 焦点 F ( p , 0) 、准线 l : x p
如果改为倾斜角为 的直线,那弦长 AB _s_in_2___.
思考一(课本第 69 页例 4)(设而不求,数形结合好方法)
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F ,且与抛物线
相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解:设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,焦点 F (1, 0)
y
并整理得
x2
6x
1
0 ,∴
x1
x2
6
∴ AB = 6 2 8
返回
思考一(课本第 69 页例 4)(纯几何思维解答)
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F ,且与抛物线
相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解:如图记准线 l ,分别过点 A、B 作 l 的垂线, 垂足分别为 M、N .
2
2
范围
x≥0 , y R (向右上方和右下方无限延伸)
对称性和顶点 关于 x 轴对称、顶点(0,0)(抛物线和轴的交点)
离心率 e
e 1 (即 MF d )
练习:
1.顶点在原点,关于 x 轴对称,并且经过 M(5, 4) 的抛物线的方程 是__y_2___1_6_x____.
2.抛物线 ( x5 1)2 4( y 2) 的顶点坐标为_(_1,__2_)__,对称轴方程是 _x___1___,焦点坐标为__(_1_, _1_)___,准线方程为__y____3______.
M
准线 l : x 1,分别过点 A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、N .
( x1 , y1 )
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB ∴ AB FA FB = x1 x2 2
N ( x2 , y2 )
∵直线 AB 的方程为 y x 1
由
y x 1消去 y2 4x
解这题,你有什么方法呢?
M
法一:直接求两点坐标,计算弦长
( x1 , y1 )
(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长
(运算量一般);
N ( x2 , y2 )
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种很好的思维.
Байду номын сангаас
2
还有没有其他方法?
p