安徽省安庆市2023-2024学年高一上学期12月“三新”检测考试数学试题含解析

2023级高一“三新”检测考试
数学试题（答案在最后）
2023.12
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A 版必修第一册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}{
}2|20,10A x x B x x =-≥=-≥∣，则
A B = （
）
A.{}01x
x ≤≤∣ B.{2x
x ≥∣或1}x ≤C.
{}11x
x -≤≤∣ D.
{}10x
x -≤≤∣【答案】C 【解析】
【分析】求出集合,A B ，根据交集含义即可.
【详解】集合{
}{
}
2
,1011A B x
x x x ==-≥=-≤≤R ∣∣，则{}
11A B x
x ⋂=-≤≤∣，故选：C.
2.已知命题3:0,30x p x x ∀>+>，则p 的否定是（）
A.30,30x x x ∃≤+>
B.30,30x x x ∃>+<
C.30,30x x x ∀≤+≤
D.30,30
x x x ∃>+≤【答案】D 【解析】
【分析】利用全称命题的否定是特称命题求解.
【详解】全称命题的否定为特称命题,方法是：变量词，否结论.
p 的否定是：30,30x x x ∃>+≤.
故选:D
3.函数()π23log 11x f x x +⎛⎫
=- ⎪-⎝⎭
的定义域为（）
A.{1x x 或4}x <-
B.{41}x
x -<<∣C.
{}1x
x ≠∣ D.{4x
x >-∣且1}x ≠【答案】A 【解析】
【分析】由题意得
23
101x x +->-，解不等式可得解.【详解】由题知
23
101
x x +->-，解得1x >或4x <-，即函数()f x 的定义域为{1x x >∣或<4x -}.故选：A.
4.已知函数()()1
1k f x k x -=+是幂函数，则()2f =（
）
A.
13
B.2
C.
1
2
D.1
【答案】C 【解析】
【分析】根据()f x 是幂函数先求解出k 的值，然后代入2x =于解析式可求结果.【详解】由题知11k +=，解得0k =，
()()11,22
f x x f -∴=∴=
，故选：C.
5.已知sin ,cos αα是关于x
的一元二次方程2210x -+=的两个实根，若πα<，则角α的大小为（）
A.
π6
B.
π4
C.
π3
D.
3π4
【答案】B 【解析】
【分析】根据判别式为0得到sin cos αα=，解出其值，再根据α的范围即可.
【详解】由题知(2
Δ4210,sin cos αα=--⨯⨯=∴=，
又sin cos sin cos 2
αααα+=
∴==
，又πα<，则角α的大小为π4
，故选：B.
6.2021年，安徽省广德市王氏制扇技艺被列人第五批国家级非遗代表性项目名录.如图是王氏明德折扇的一款扇面，若该扇形的中心角的弧度数为3，外弧长为60cm,内弧长为21cm,则连接外弧与内弧的两端的线段长均为（
）
A.7cm
B.8cm
C.13cm
D.15cm
【答案】C 【解析】
【分析】由扇形的弧长公式求解即可.【详解】由题知，内弧对应扇形的半径为21
73
r ==，设连接外弧与内弧的两端的线段长均为a ，则60
7
3a +=，所以13a =，连接外弧与内弧的两端的线段长均为13cm.故选：C
7.已知函数()()()21,1,
{01log 1,11
x a x f x a a x x -≥=>≠+-<<且的图象在
()1,∞-+上连续，则()2f x ≤的
解集为（）
A.[]
21,log 3 B.23
,log 34⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
C.33
,log 24⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
D.3,14⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭
【答案】B 【解析】
【分析】首先由分段函数的图象在(1,)-+∞上连续可得2a =，再分类讨论解不等式即可.
【详解】由题知，()1
121log 2a f =-=，解得2a =，所以()()2
21,1log 1,11x x f x x x ⎧-≥⎪
=⎨+-<<⎪⎩，
易知()f x 单调递增，()2f x ∴≤，即()22f x -≤≤，
令2212
1x x ⎧-≤-≤⎨≥⎩得21log 3x ≤≤，
令()22log 1211x x ⎧-≤+≤⎨-<<⎩
，得3
14x -≤<，
所以23log 34x -
≤≤，即()2f x ≤的解集为23,log 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，故选：B.8.函
()f x 的定义域为
R ，且满足
()()()22f x f x f x =--=-，若()13f =，则
()()()()()()()()
12320232462024f f f f f f f f ++++=++++ （
）
A.
20231012
B.
20241013
C.2
D.1
【答案】A 【解析】
【分析】根据()()()22f x f x f x =--=-，可得()()2f x f x -=,()()2f x f x +-=，然后推出()f x 是周期为4的周期函数，且()()401f f ==，进而求解结果.【详解】由()()()22f x f x f x =--=-，可知()()2f x f x -=，()()2f x f x +-=，
易得()()01,21f f ==，所以()()22f x f x -+-=，即()()22f x f x ++=，又()13f =，易得()31f =-，
又()()422f x f x +++=，则()()4f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数，且()()401f f ==，综上，()()()()
1232023f f f f ++++
()()()()()506123442023f f f f f ⎡⎤=⨯+++-=⎣⎦,()()()()2024
24620242101222f f f f ++++=⨯
=⨯ ，所以
()()()()()()()()
12320232023
24620241012
f f f f f f f f ++++=++++ .故选：A
【点睛】本题根据函数的关系式推出函数的周期，求出一个周期的函数值，进而可以求解结果.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对
9.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()25x
f x =-，则（
）
A.()00f =
B.当0x <时，()25
x
f x -=-C.()13f -=- D.()3f x ≤的解集为
[]
3,3-【答案】BCD 【解析】
【分析】由0x ≥时，()25x
f x =-可得()0f ，则A 可判断；当0x <时，0x ->，()2
5x
f x --=-，
再结合奇偶性可得()f x 的解析式，则B 可判断；结合B 选项的解析即可求()1f -，则C 可判断；当0x ≥时，由()253x
f x =-≤，得03x ≤≤，再由奇偶性可得()3f x ≤的解集，则D 可判断.
【详解】()f x 是R 上的偶函数，
当0x ≥时，()25x
f x =-，所以()0154f =-=-，故A 错误；
当0x <时，0x ->，()2
5()x
f x f x --=-=，故B 正确；
()1253f -=-=-，故C 正确；
当0x ≥时，由()253x
f x =-≤，得03x ≤≤，
又函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以()3f x ≤的解集为[]3,3-，故D 正确；故选：BCD .
10.已知x ，y 是两个非零实数，则下列结论正确的是（
）
A.2
sin sin 2sin 2x y x
+⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
B.22
222
y x x y
+≥
C.当0x y +>时，2y x x
y
+
≥ D.当2x y +=时，
12
3x y
+≥+【答案】BC 【解析】
【分析】利用特殊值法，排除AD ，利用基本（均值）不等式，判断BC.【详解】对于A ，当sin 1x =，sin 0y =时，不等式不成立，故A 错误；
对于B ：22222y x x y +≥=当且仅当0x y =≠时取等号，故B 正确；
对于C ：
2y x x
y
+
≥=，当且仅当0x y =>时取等号，故C 正确；对于D ：当3x =，1y =-时，不等式不成立，故D 错误.故选：BC
11.已知函数()()sin ,cos f x x g x x ==，则下列说法正确的是（）
A.()()y f x g x =-在区间[]0,π上单调递增
B.()()y f x g x =-的图象关于点π,02⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称C.()y f x =与()y g x =的图象在区间()2023π,2023π-内有4046个交点D.()()y f x g x =-的图象关于直线π
4
x =-对称
【答案】CD 【解析】
【分析】A ：根据3π
,π4
x x =
=时函数值关系进行判断；B ：令()()()h x f x g x =-，根据()()πh x h x +-的结果进行判断；C ：根据sin cos x x =确定出π
π,4
x k =+Z k ∈，再根据k 的可取值个数确定出图象交点
个数；D ：分析()πh x --与()h x 的关系，然后作出判断.
【详解】 当3π4x =
时，()()3π3π
sin
cos 44
y f x g x =-=-=，
当πx =时，()()sinπcosπ1y f x g x =-=-=<
()()y f x g x ∴=-在区间[]0,π上不是单调递增，故A 错误；
令()()()sin cos h x f x g x x x =-=-，
()()()()()πππsin πcos πsin cos h x f x g x x x x x -=---=---=+则，
()()π2sin h x h x x ∴+-=，不恒为0，()()y f x g x =-的图象不关于点π,02⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，故B 错误；
令()()f x g x =，∴sin cos x x =，∴π
π,4
x k =+
Z k ∈，又 ()2023π,2023πx ∈-，∴[]2023,2022,k ∈-Z k ∈，
∴k 的可取值的个数为()2022202314046--+=，
∴()y f x =与()y g x =的图象在区间()2023π,2023π-内有4046个交点，故C 正确；
()πππππsin cos cos sin 22222h x f x g x x x x x h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--=-----=-----=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
()()y f x g x ∴=-的图象关于直线π4
x =-对称，故D 正确；
故选：CD.
12.对于任意两个正数(),u v u v <，记曲线1
y x
=
直线,,x u x v x ==轴围成的曲边梯形的面积为(),L u v ，并约定(),0L u u =和()(),,L u v L v u =-，德国数学家莱布尼茨(Leibniz)最早发现()1,ln L x x =.关于
(),L u v ，下列说法正确的是（
）
A.119,,91052L L ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B.(
)()
4080
4,3802,3L L =C.()2,v u
L u v u v
>- D.(
),u u
L u v
v u
>-【答案】AB 【解析】
【分析】根据()1,ln L x x =确定出(),1L x 的结果，然后分类讨论1u >、1v <、1u v <<、1v =或1u =时(),L u v 的结果，由此确定出(),L u v 的解析式，再根据解析式逐项分析即可.【详解】由题意()()1,,1ln L x L x x =-=，所以(),1ln L x x =-，当1u >时，()()(),1,1,ln ln L u v L v L u v u =-=-，
当1v <时，()()()()(),,1,11,1,ln ln L u v L u L v L v L u v u =-=-=-，
当1u v <<时，()()()()(),,11,1,1,ln ln L u v L u L v L v L u v u =+=-=-，当1v =或1u =时，(),ln ln L u v v u =-也成立，综上所述，(),ln ln L u v v u =-；对于A ：111199,ln ln ln2,,9ln9ln ln210551022L L ⎛⎫⎛⎫
=-==-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以119,,91052L L ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故A 正确；对于B ：(
)()4080
80
4080804,3
ln3
ln4ln3ln280ln3ln2L =-=-=-，
且()2,3ln3ln2L =-，所以(
)()40
30
4,3
802,3L L =，故B 正确；
对于C ：如图，因为曲边梯形的面积总小于对应梯形的面积，
所以()()22
1111,ln ln 222v u
v u L u v v u v u v u vu u v -⎛⎫⎛⎫=-<-+=
=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，即()2,v u
L u v u v
<
-，故C 错误；对于D ：取1,2u v ==，则(
)(),1,2ln2211u u
L u v L ==<-=，故D 错误；
故选AB .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，对学生分析与总结问题的能力要求较高，难度较大.解答本题的关键在于能通过所给的关系式结合图形中的面积转化关系推导出函数(),L u v 的解析式.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知条件2:,10p x x mx ∀∈-+>R ，写出p 的一个必要不充分条件为______（填一个即可）【答案】[]
2,2-（答案不唯一）【解析】
【分析】由2R,10x x mx ∀∈-+>，可得2Δ40m =-<，则m 的范围可求，再结合必要不充分条件的概念即可得答案.
【详解】因为2R,10x x mx ∀∈-+>，所以2Δ40m =-<，22m ∴-<<，:22p m ∴-<<，本题答案不唯一，写出的m 的取值集合包含区间(2,2)-即可，如：22m -≤≤.故答案为：[]22-,
，答案不唯一.14.已知2log 3,25b
a ==，则(2)4a
b -=________.【答案】9625
【解析】
【分析】先利用指对互化规则，将2log 3a =变形为23a
=，再利用指数的运算性质得：(2)
4
a b -2
4(2)(2)
a b =，代入求解即可.
【详解】由2log 3a =，得23a =；
222(2)
244442(2)394
42(2)5625
a a a a
b b b b -=====.故答案是：
9
625
.15.艾宾浩斯遗忘曲线是1885年由艾宾浩斯(H. Ebbinghaus)提出的，其描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响.设初次记忆后经过了x 小时，那么记忆率y 近似的满足1b y ax =-(a ，R)b ∈.某学生学习一段课文，若在学习后不复习，1天后记忆率为0.36，6天后记忆率为0.19，则该学生在学习后不复习，4小时后记忆率约为______（保留两位小数）【答案】0.49##49
100
【解析】
【分析】根据已知条件确定a ，b 满足的条件，再求目标函数的值.【详解】由题可
1240.3612460.19b b b a a ⎧-⋅=⎨-⋅⋅=⎩⇒2410.360.6424610.190.81
b b b
a a ⎧⋅=-=⎨⋅⋅=-=⎩⇒81664b
=，所以·240.64
·4816
64
b b
b a a ==
.
故4小时后的记忆率约为0.6464
14110.5060.4940.4981
b
a ⨯-⋅=-≈-=≈.故答案为：0.49
16.若集合()(){0,}x
x f x f x >=-∣中恰有k 个元素，则称函数()f x 是“k 阶准偶函数”.已知函数()232,{23,x x a
f x x x a
-+≤=+>是“2阶准偶函数”，则a 的取值范围是________
【答案】10,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】根据题意分类讨论，a<0时，其中2()23()f x x x a =+>有部分具有偶函数性质，不符合题意；0a ≥时，根据分段函数的解析式通过方程()()(0)f x f x x =->的解，确定a 的范围．【详解】根据题意，函数()232,{
23,x x a f x x x a
-+≤=+>是“2阶准偶函数”，
则集合()(){}
0,x x f x f x =-中恰有2个元素，当a<0时，函数()2
32,23,x x a
f x x x a
-+≤⎧=⎨
+>⎩一段部分为223,y x x a =+>，注意到函数223y x =+本身具有偶函数性质，故集合()(){}
0,x x f x f x =-中不止有两个元素；
当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为223x +或32x -+，
()f x -为32x +，3232x x +=-+，故0x =，方程无解，
当22332x x +=+，解得1
2
x =
或1x =，故要使得集合()(){}
0,x x f x f x =-中恰有2个元素，则需要满足12
a <
，即102a <<，
当0a =时，函数()()2
32,0
,23,0
x x f x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩的取值为223x +，()f x -为32x +，根据题意得：22332x x +=+，解得1
2
x =
或1x =，满足恰有两个元素，故0a =满足条件.
综上，实数a 的取值范围是10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
.故答案为：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
.四、解答题：本题共6小题，共70分.（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（1）计算()1
30813π
lg π1lg25tan 2744-⎛⎫++--+ ⎪⎝⎭
；
（2）已知226x x -+=，求33x x -+的值.
【答案】（1）1
2-；（2
）±.
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂的运算、对数运算，特殊角的三角函数值求解出结果；
（2）先计算出1x x -+的值，然后通过立方和公式求解出结果.
【详解】（1）原式1
33
2lg 41lg 251
3-⎡⎤⎛⎫=-+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
3
lg10011
2=-+-3
1
222=-=-；
（2）因为226x x -+=，
所以()212228x x x x --+=++=，
所以1x x -+=±所以()()331221x x x x x x ---+=++
-5=±=±.
18.（1）已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4--，求
()3ππ
sin cos tan 2π22ααα⎛⎫
⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；
（2）若tan 2α=，求()
()22πsin 2sin
π2sin 2cos 3π
cos cos 2αααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭+-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭值.
【答案】（1）
115；（2）235
-【解析】【分析】（1）先根据三角函数定义求解出sin ,cos ,tan ααα的值，然后利用诱导公式化简原式并求解出结果；
（2）先根据诱导公式化简原式，然后根据齐次式的运算结合tan α的值求解出结果.
【详解】（1）由题意知434sin ,cos ,tan 553
ααα=-=-=，()3ππ3441sin cos tan 2πcos sin tan 2255315αααααα⎛⎫⎛⎫∴++++-=---=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（2）原式222222sin 2cos cos 2sin tan 212tan sin cos sin cos tan 1tan 1
αααααααααααα-+-+=+=+-++-+，又tan 2α=，
∴原式42142235412155
-+=+=-=-+-+.19.已知函数()()210f x x bx b =++>唯一零点，函数()()f x g x x =
（1）用定义法证明函数()g x 在区间
()1,+∞上是增函数；
（2）求函数()g x 的值域
【答案】（1）证明见解析
（2）(][)
,04,-∞+∞U 【解析】【分析】（1）根据函数()f x 有唯一零点转化为方程210x bx ++=有两个相等的实数根，求出b ，利用单调性的定义证明函数的单调性即可；
（2）利用基本不等式可求函数的值域.
【小问1详解】
因为函数()()2
10f x x bx b =++>唯一零点，所以关于x 的方程210x bx ++=有两个相等的实数根，
240b ∴∆=-=，解得2b =（负值舍去）
，()221f x x x ∴=++，
()()
12f x g x x x x
∴==++，任取121
x x >>则()()()()121212121212
11122x x x x g x g x x x x x x x --⎛
⎫⎛⎫-=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1212120,10,0x x x x x x ->->>，
()()120g x g x ∴->，即()()12g x g x ∴>，
所以函数()g x 在区间()1,+∞上是增函数.
【小问2详解】
显然()g x 的定义域为{}0x x ≠，
当0x >时，(
)1224g x x x =++≥=，当且仅当1x =时，等号成立，当0x <时，()()
112220g x x x x x ⎡⎤⎛⎫=++=--+-+≤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当=1x -时，等号成立.
所以函数()g x 的值域为(][),04,-∞+∞U .
20.已知函数()213x a f x a
=+-是奇函数（1）求实数a 的值；
（2）当a<0时，对于x ∀∈R ，不等式()()
22sin cos 240f x x f m m ++-++>恒成立()m ∈N ，求m 的取值集合.
【答案】（1）1
a =±（2）{}
0,1,2【解析】
【分析】(1)根据函数()f x 是奇函数，利用定义求出参数a 的值.
(2)将已知移项利用奇偶变形，根据单调性得到22sin cos 24x x m m +>--恒成立()m ∈N ,根据恒成立问题的特点，利用左侧的最小值求出m 的范围.
【小问1详解】
因为函数()23133x x x a a f x a a +=+=--是奇函数,所以()()f x f x -=-，即133133x x x x a a a a
+⋅+=--⋅-，整理的()22310x a ⋅-=，所以1a =±.
【小问2详解】
当0a <时1a =-，()2131
x f x -=++，设12,x x R ∀∈且12x x <，则()()()()()
121212122332231313131x x x x x x f x f x ----=-=++++.因为12x x <，所以12310,310x x +>+>，且1233x x <，
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 是R 上的增函数.
由()()
22sin cos 240f x x f m m ++-++>恒成立()m ∈N 得()()()222sin cos 2424f x x f m m f m m +>--++=--，
因为()f x 是R 上的增函数，所以22sin cos 24x x m m +>--恒成立()m ∈N ，
所以221cos cos 24x x m m -+>--恒成立()m ∈N ，所以2
215cos 2424x m m ⎛⎫--+>-- ⎪⎝
⎭恒成立()m ∈N .因为215cos 24x ⎛⎫--+ ⎪⎝
⎭当且仅当cos 1x =-时取得最小值1-，所以2124m m ->--恒成立()m ∈N ，
解不等式2124m m ->--得()1,3m ∈-，
因为N m ∈，所以m 的取值集合为{}0,1,2.
21.长丰草莓是安徽省特色水果，也是安徽省特产之一.某长丰草莓园建有500亩大棚，头草莓采摘的平均速度约为x 亩/天，采摘要求在710 天内（包括7天和10天）完成，人工成本为20.3x 千元/天，此外，头茬草莓采摘期间固定成本为m 千元/天.（提示：采摘成本=人工成本+固定成本）
（1）将头茬草莓采摘成本y （千元）表示为采摘的平均速度x （亩/天）的函数，并写出这个函数的定义域；
（2）为了使头茬草莓采摘成本最低，采摘的平均速度约为每天多少亩？并求出最低成本.
【答案】（1）500150m y x x =+，定义域为500[50,]7
（2）答案见解析
【解析】【分析】（1）由题知，求得函数的解析式为500150m y x x =+
，结合500710x ≤≤，求得函数的定义域；（2）由（1），结合基本不等式，根据等号成立的的条件，得到函数500150m y x x =+单调区间，因为500507x ≤≤，分类讨论即可求解.【小问1详解】解：由题知，所求函数为()
25005000.3150m y x m x x x =+=+，又由500710x ≤≤，可得500507x ≤≤，即该函数的定义域为500[50,]7.【小问2详解】
解：由（1
）得500150m y x x =+≥当且仅当500150m x x =
，即3
x =时取等号，所以函数500150m y x x =+
在0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在303)递增，又由500507
x ≤≤，所以，当30503
≤，即750m ≤时，头在草莓采摘的平均速度约为50亩/天，采摘成本最低，最低成本为5001505075001050
m y m =⨯+=+（千元）；当305005037
<<，即7500075049m <<，头茬草莓采摘的平均速度约为303/天，
采摘成本最低，最低成本为y =，
当50037
≥时，即7500049m ≥时，头草莓采摘的平均速度约为5007/天，采摘成本最低，最低成本为500500m 750001507m 500777y =⨯
+=+（千元）.
22.已知函数()21362
f x x =-+.（1）求不等式()1f x ≤的解集；
（2）已知函数()()
()()2log 2(0t g x f x tf x t ⎡⎤=-+>⎢⎥⎣⎦
且1)t ≠
.若x ⎡⎤∈⎣⎦时，不等式()0g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围【答案】（1
）
⎡⋃⎣（2）()
0,1【解析】
【分析】（1）先将函数()21362
f x x =-+写成分段函数形式，分类求不等式()1f x ≤的解集即可；（2）将()f x 看作变元k 代入函数()()()()2lo
g 2(0t g x f x tf x t ⎡⎤=-+>⎢⎥⎣⎦且1)t ≠中，构造函数()22
h k k tk =-+，再分01t <<和1t >两种情况分别讨论不等式()0g x ≤恒成立.
【小问1详解】
函数()22213,331362{1362,3362
x x x f x x x x -≤-≥=-+=-+-<<或，，不等式()1f x ≤等价于2131{6233x x x -≤≤-≥，或，或21316233
x x ⎧-+≤⎪⎨⎪-<<⎩
解得x x ≤≤≤不等式()1f x ≤
的解集为
⎡⋃⎣.
【小问2详解】
()()()()2log 2(0t g x f x tf x t ⎡⎤=-+>⎢⎥⎣⎦
且1)t ≠，
由于x ⎡⎤∈⎣⎦，令()k f x =，且()f x 21362x =-，得：38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，记()22h k k tk =-+，38,23k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
函数()0g x ≤
在x ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，只需要：
（i ）当01t <<时，则需()1h k ≥恒成立，
()22h k k tk =-+在38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
为增函数.312h ⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭恒成立，39321242
h t ⎛⎫∴=-+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则136t ≤成立，故01t <<符合题意.
（ii ）若1t >时，则需()2
021h k k tk <=-+≤恒成立，则：3122302813t h t h ⎧<≤⎪⎪⎪⎛⎫>⇒∈∅⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩或38223312813Δ0t h h ⎧<≤⎪⎪⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎩
t ⇒∈∅或823312803t h t h ⎧≥⎪⎪⎪⎛⎫≤⇒∈∅⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，
综上所述，实数t 的取值范围为()0,1.。