2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高二下学期2月月考数学试卷含详解

2022—2023学年度下学期2021级
二月月考数学试卷
考试时间：2023年2月23日
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若数列{}n a 的前6项为
234561,,,,,357911---，则数列{}n a 的通项公式可以为n a =（）
A.
1
n
n + B.
21
n n -C.(1)21
n
n n -⋅
- D.1
(1)
21
n n n +-⋅
-2.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中51031,1023S S ==，8a 的值为（）A.128
B.64
C.63
D.127
3.数列{}n a 满足12211,3,n n n a a a a a ++==+=，则2023a 的值为（）
A.2
- B.1
C.3
D.2
4.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（）
A.
B.
C.
355
D.
455
5.若椭圆22
194
x y +=的弦AB 被点()1,1P 平分，则AB 所在直线的方程为（
）
A .
49130
x y +-= B.94130x y +-=C.230
x y +-= D.340
x y +-=6.已知等差数列{}n a 共有21n +项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则1n a +的值为（）．
A.30
B.29
C.28
D.27
7.斐波拉契数列{}n a 满足：11a =，21a =，(
)*
21N
n n n a a a n ++=+∈．该数列与如图所示的美丽曲线有深刻联系，
设12n n S a a a =+++ ，222
12n n T a a a =+++ ，给出以下三个命题：（
）
①22
213n n n n a a a a +++-=⋅；②21n n S a +=-；③2
111n n n n T a a a +++=+⋅．
其中真命题的个数为（）A.0
B.1
C.2
D.3
8.已知,A B 是圆()()()2
2
:240C x y m m -+-=>上两点，且AB =．若存在R a ∈，使得直线1:0l ax y -=与
2:240l x ay a ++-=的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为（
）
A.2,2]-
B.-
C.[2,2
D.二、多选题(本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.)
9.已知数列{}n a 的前n 项和为2
10n S n n =-，则下列结论正确的有（
）
A.
{}n a 是递减数列
B.60
a >C.110
S > D.当n S 最小时，5n =10.已知数列{}n a 的通项公式为316
n n
a n =-，则（
）
A.数列{}n a 为递增数列
B.4862+=a a a
C.5a 为最小项
D.6a 为最大项
11.已知曲线C |2|x y =+，圆222
:(5)(0)M x y r r -+=>，则（
）
A.C 表示一条直线
B.当4r =时，C 与圆M 有3个公共点
C.当2r =时，存在圆N ，使得圆N 与圆M 相切，且圆N 与C 有4个公共点
D.当C 与圆M 的公共点最多时，r 的取值范围是(4,)
+∞12.已知双曲线22
1169
x y -
=的左､右焦点分别是12,F F ,点P 在双曲线的右支上,则()
A.若直线1PF 的斜率为k ,则30,4
k ⎡⎫∈⎪
⎢⎣⎭
B.使得12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有2个
C.点P 到两条渐近线的距离乘积为
14425
D.已知点()7,5Q ,则2F P PQ +的最小值为5
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足①10a >，②{}n a 是递增数列，③3113S a <，写出一个满足上述三个条件的一个数列通项n a =________.
14.已知等差数列{}{}n n a b ，的通项公式分别为21,32n n a n b n =-=-，将数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大排列得到数列{}n c ，则{}n c 的前n 项和为________．
15.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线24x y =上的一个动点，则点P 到直线40x y ++=的距离的最小值是_____.
16.已知,,A B C 是椭圆2222+1(0)x y
a b a b
=>>上的三个点，O 为坐标原点，,A B 两点关于原点对称，AC 经过右
焦点F ，若
OA OF =且2AF CF =，则该椭圆的离心率是_____．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列{}n a 为等差数列．（1）43a =，79a =，求8a ；（2）若31012a a +=，求12S ．
18.在平面直角坐标系中，(1,2),(2,1),(3,4),(0,)A B C D a -四点在同一个圆E 上．（1）求实数a 的值；
（2）若点(,)P x y 在圆E 上，求222x x y ++的取值范围．19.在数列{}n a 中，14a =，1431n n a a n +=-+，*n ∈N ．（1）设n n b a n =-，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
20.已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，且11a +、21a +、41a +成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=
，n N *∈，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求使3
19
n S <成立的最大的正整数n .21.汶川震后在社会各界的支持和帮助下，
汶川一中临时搭建了学校，学校餐厅也做到了保证每天供应1000名学生用餐，每星期一有A 、B 两样菜可供选择（每个学生都将从二者中选一），为了让学生们能够安心上课对学生的用餐情况进行了调查．调查资料表明，凡是在本周星期一选A 菜的，下周星期一会有20％改选B ，而选B 菜的，下周星期一则有30％改选A ，若用,n n A B 分别表示在第n 个星期一选A 、B 菜的人数．（1）试以n A 表示1n A +；
（2）若1200A =，求{}n A 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，问第n 个星期一时，选A 与选B 的人数相等？
22.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为
2
2
，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：
（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．
2022—2023学年度下学期2021级
二月月考数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若数列{}n a 的前6项为
234561,,,,,357911---，则数列{}n a 的通项公式可以为n a =（）
A.
1
n
n + B.
21
n n -C.(1)21
n
n n -⋅
- D.1
(1)
21
n n n +-⋅
-【答案】D
【分析】观察每项的特点，分别确定项的符号以及分子分母的取值的规律，即可找出数列的通项公式.【详解】通过观察数列{}n a 的前6项，可以发现有如下规律：且奇数项为正，偶数项为负，故用1(1)n +-表示各项的正负；各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数，而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故第n 项的绝对值是
21
n
n -，所以数列{}n a 的通项可为()1
1·
21
n n n
a n +=--，故选：D
2.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中51031,1023S S ==，8a 的值为（）A.128 B.64
C.63
D.127
【答案】A
【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，列出方程，即可求得1,a q ，从而求得结果.
【详解】由题意，显然首项不为0且公比不为1，可得()
(
)
5110
1131
1110231a q q a q
q ⎧-⎪=-⎪⎨-⎪=⎪
-⎩
，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以7
81128a a q ==故选:A
3.数列{}n a 满足12211,3,n n n a a a a a ++==+=，则2023a 的值为（）
A.2-
B.1
C.3
D.2
【答案】B
【分析】计算数列的前几项，归纳出数列的周期性，从而易得结论．
【详解】由已知21n n n a a a ++=-，3312a =-=，4231a =-=-，5123a =--=-，63(1)2a =---=-，
7(2)(3)1a =---=，81(2)3a =--=，
因此数列{}n a 是周期数列，周期是6，所以202311a a ==．故选：B ．
4.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（）
A.
5
B.
5
C.
5
D.
5
【答案】B
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为
(),a a ，则圆的半径为a ，
圆的标准方程为()()2
2
2x a y a a -+-=.由题意可得()()2
2
221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，
圆心
到直线
的距离均为125
5d ==
；
圆心到直线
的距离均为2255
d =
=
圆心到直线230x y --=的距离均为25
5
d ==
；
所以，圆心到直线230x y --=的距离为5
.故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
5.若椭圆22
194
x y +=的弦AB 被点()1,1P 平分，则AB 所在直线的方程为（
）
A.49130x y +-=
B.94130x y +-=
C.230x y +-=
D.340
x y +-=【答案】A
【分析】利用点差法求解得4
9
AB k =-
，再根据点斜式求解即可得答案.
【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22
112
2
22194
19
4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以22221212
94
x x y y --+=，整理得()()1212121249x x y y x x y y +-=--+，因为()1,1P 为弦AB 的中点，所以12122,2x x y y +=+=，所以()()1212121244
99
AB x x y y k x x y y +-=
=-=--+，
所以弦AB 所在直线的方程为()4
119
y x -=--，即49130x y +-=.故选：A.
6.已知等差数列{}n a 共有21n +项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则1n a +的值为（）．
A.30
B.29
C.28
D.27
【答案】B
【分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可【详解】奇数项共有()1n +项，其和为()()121121129022
n n a a a
n n +++⋅+=⋅+=，∴()11290n n a ++=．偶数项共有n 项，其和为
2211226122
n n n a a a
n n na +++⋅=⋅==，∴129026129n a +=-=．故选：B ．
7.斐波拉契数列{}n a 满足：11a =，21a =，(
)*
21N
n n n a a a n ++=+∈．该数列与如图所示的美丽曲线有深刻联系，
设12n n S a a a =+++ ，222
12n n T a a a =+++ ，给出以下三个命题：（
）
①22
213n n n n a a a a +++-=⋅；②21n n S a +=-；③2
111n n n n T a a a +++=+⋅．其中真命题的个数为（）A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】D
【分析】由321n n n a a a +++=+且21n n n a a a ++=-即可判断①的正误；利用21n n n a a a ++=-，应用累加法判断②的正误；由2112
1n n n n n a a a a a ++++=-，应用累加法判断③的正误.【详解】由(
)*
21N
n n n a a a n ++=+∈，则3
21n n n a
a a +++=+且21n n n a a a ++=-，
所以2
2
213n n n n a a a a +++-=⋅，故①正确；
由32432112222))...1((()n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ++++=--++-=-==++++- ，故②正确；
由12n n n a a a ++=-，则2112
1n n n n n a a a a a ++++=-，又11a =，21a =，
所以2121a a a =，223221a a a a a =-，234332a a a a a =-，…，2112
1n n n n n a a a a a ++++=-，则2222
1121211111()n n n n n n n n n n T a a a a a a a a a a a ++++++++==+=+=+++⋅ ，故③正确.故选：D
8.已知,A B 是圆()()()2
2
:240C x y m m -+-=>上两点，且AB =．若存在R a ∈，使得直线1:0l ax y -=与
2:240l x ay a ++-=的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为（
）
A.2,2]-
B.-
C.[2,2
D.【答案】B
【分析】根据直线与圆相交弦长可得AB 的中点M 的轨迹方程为圆()()22
21x y m -+-=，又根据直线12,l l 的方程可确定12l l ⊥，交点P 的轨迹22(2)(1)5x y -++=，若P 恰为AB 的中点，即圆M 与圆P 有公共点，根据圆与圆的位置关系即可得实数m 的取值范围.
【详解】解：圆()()()2
2
:240C x y m m -+-=>，半径2r =，
因为M 恰为AB 的中点，直线与圆相交弦长AB ==1MC =，
M ∴的轨迹方程是()()2
2
21x y m -+-=．
又直线1:0l ax y -=过定点(0,0)Q ，直线2:240l x ay a ++-=过定点(4,2)S -，且12l l ⊥，
则点P 是两垂线的交点，所以P 在以QS 为直径的圆上，则圆心()
2,1-，半径为
1
2
QS =P ∴的轨迹方程是22(2)(1)5x y -++=由于1l 的斜率存在，所以点P 的轨迹要除去点()0,2-，
由已知得圆M 与圆P 有公共点，
11MP ≤≤
111m ≤+，又0m >111m ≤+≤2m ≤≤
∴实数m 的取值范围为-.故选：B.
二、多选题(本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.)
9.已知数列{}n a 的前n 项和为2
10n S n n =-，则下列结论正确的有（
）
A.
{}n a 是递减数列
B.60
a >C.110S > D.当n S 最小时，5
n =【答案】BCD
【分析】由数列前n 项和为2
10n S n n =-，可求数列通项，然后逐个验证选项.
【详解】2
10n S n n =-，当1n =时，111109a S ==-=-；
当2n ≥时，22
1(10)(1)10(1)211n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦注意到1n =时也满足12111a =⨯-，
所以数列{}n a 的通项公式为211n a n =-，*N n ∈，
12n n a a +-=，{}n a 是递增数列，A 选项错误；
6261110a =⨯-=>，B 选项正确；()
111116111102
a a S a +=
=>，C 选项正确；
()2
210525n S n n n =-=--，*N n ∈，当n S 最小时，5n =，D 选项正确.
故选：BCD.
10.已知数列{}n a 的通项公式为316
n n
a n =-，则（
）
A.数列{}n a 为递增数列
B.4862+=a a a
C.5a 为最小项
D.6a 为最大项
【答案】CD
【分析】根据数列{}n a 的通项公式，利用分离常数法得出11616393n a n =+
⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，结合*N n ∈及函数的性质即可判断A 、C 、D ；求得486,a a a +即可判断B ．
【详解】
116
16316393n n a n n =
=+
-⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，当5n >(*N n ∈)时，0n a >，且单调递减；当5n ≤(*N n ∈)时，0n a <，且单调递减，则5a 为最小项，6a 为最大项，故C 、D 正确，A 错误；
4803414863816a a +=⨯-⨯-+=
，63366
16
a ⨯==-，则4862a a a +≠，故B 错误，
故选：CD ．
11.已知曲线C
|2|x y =+，圆222
:(5)(0)M x y r r -+=>，则（
）
A.C 表示一条直线
B.当4r =时，C 与圆M 有3个公共点
C.当2r =时，存在圆N ，使得圆N 与圆M 相切，且圆N 与C 有4个公共点
D.当C 与圆M 的公共点最多时，r 的取值范围是(4,)+∞【答案】BC
【分析】对于A 2x y =+，得()430y x y +=，则C 表示两条直线；对于B，C，利用点到直线的
距离公式进行判断；对于D，举反例判断即可
2x y =+，得2
2222244x y x y x xy y +=+=++，即()430y x y +=，
则C 表示两条直线，其方程分别为0y =与430x y +=，所以A 错误；因为()5,0M 到直线430x y +=的距离20
45
d =
=，所以当4r =时，直线430x y +=与圆M 相切，易知直线0y =与圆M 相交，C 与圆M 有3个公共点，所以B 正确；
当2r =时，存在圆N ，使得圆M 内切于圆N ，且圆N 与这两条直线都相交，即与C 有4个公共点C 与圆M 的公共点的个数的最大值为4，所以C 正确；
当=5r 时，圆M 与直线0y =、430x y +=交于一点，所以公共点的个数为3，所以D 错误，故选：BC
|2|x y =+得
2
2222244x y x y x xy y +=+=++，即()430y x y +=，从而可得曲线C 表示的是直线0y =与430x y +=，从
而进行分析即可，考查计算能力，属于中档题
12.已知双曲线22
1169
x y -
=的左､右焦点分别是12,F F ,点P 在双曲线的右支上,则()
A.若直线1PF 的斜率为k ,则30,4
k ⎡⎫∈⎪
⎢⎣⎭
B.使得12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有2个
C.点P 到两条渐近线的距离乘积为
14425
D.已知点()7,5Q ,则2F P PQ +的最小值为5【答案】ACD
【分析】对于A,设()0004,,≥P x y x ,根据题意,将直线1PF 的斜率为k 化简为二次函数,利用二次函数求出范围;对于B,21210==PF F F 和11210==PF F F 各有两个,可判断正误;对于C,利用点到直线距离公式可求点P 到两条渐近线的距离,进而判断C 的正误;对于D,根据点与双曲线的位置关系和双曲线的定义进行转化,当1,,P Q F 三点共线时,可求最小值.
【详解】对于A,由题意可知,()15,0F -,设()0004,,≥P x y x ,则直线1PF 的斜率为0
05
=
+y k x ,
()
()
2
2020
2
2
0099
1655-=
=++x y
k x x ,令05,9,
x t t +=≥则()
222222229994581(5)910259811451916161681616816
t t t t t k t t t t t ---+--+
===
=⋅-⋅+,，
令11,0,,9m m t ⎛⎤
=∈ ⎥⎝⎦
则2
28145916816k m m =
-+在10,9⎛⎤
⎥⎝⎦
单调递减,290,,
16k ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭
则30,,4
k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
故A 正确.
对于B,当21210==PF F F ,则满足条件的P 有两个;当11210==PF F F ,则满足条件的P 有两个;易得不存在P 满足21PF PF =,
∴满足12PF F △为等腰三角形的P 有4个,故B 错误.
对于C,渐近线方程为3
4
y x =±,即340x y ±=,
所以22
00
00
00
12
91634341445
5
25
25
x y x y x y d d -+-=⋅
=
=
,故C 正确.
对于D,根据双曲线的定义,218PF PF -=,所以218PF PF =-,所以218F P PQ PF PQ +=+-,
当1,,P Q F 三点共线时,2F P PQ +有最小值,此时
21881385F P PQ F Q +=-==-=,故D 正确.
故选:ACD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足①10a >，②{}n a 是递增数列，③3113S a <，写出一个满足上述三个条件的一个数列通项n a =________.
【答案】2n n a =(答案不唯一，只要满足10a >,13q <<即可)
【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的单调性进行求解即可，
【详解】因为10a >，{}n a 是递增数列，所以1
q >由13311(1)1343113a q a q q
S a -⇒<⇒-<<<-且1q ≠，而1q >，所以13q <<，即只需满足10,13
a q ><<取12,2a q ==，则2n
n a =故答案为:2n
n a =14.已知等差数列{}{}n n a b ，的通项公式分别为21,32n n a n b n =-=-，
将数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大排列得到数列{}n c ，则{}n c 的前n 项和为________．
【答案】232n n
-【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n c 是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以{}n c 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+
⋅=-，故答案为：232n n -.
15.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线24x y =上的一个动点，则点P 到直线40x y ++=的距离的最小值是_____.【答案】32
2
【分析】根据题意，找到与直线40x y ++=平行且与曲线24x y =相切时的切点坐标，再结合点到直线的距离公式，即可得到结果.
【详解】设直线0x y b ++=与214y x =
相切，则切线的斜率为1-且12
y x '=，令112y x '==-，则2x =-，即切点的横坐标为2-，将2x =-，代入214y x =
，可得1y =，即切点坐标为()2,1-，所以点P 到直线40x y ++=的距离的最小值即为()2,1-到直线的距离，
即322d ==，
故答案为:
2
16.已知,,A B C 是椭圆2222+1(0)x y a b a b
=>>上的三个点，O 为坐标原点，,A B 两点关于原点对称，AC 经过右焦点F ，若
OA OF =且2AF CF =，则该椭圆的离心率是_____．
【答案】3##【分析】方法一：设椭圆的左焦点为F '，由条件证明四边形AFBF '为矩形，设CF m =，结合椭圆的定义求AF '，CF '，利用勾股定理列方程可得,a c 关系由此可求离心率.
方法二：设(),A s t ，(),C m n ，由OA OF =可得222s t c +=，由2AF CF =可得23,20m s c n t +=+=，结合点,A C 的坐标满足椭圆方程列方程，消元可得,a c 关系由此可求离心率.
【详解】方法一：
设椭圆的半焦距为c ，左焦点为F '，则OF OF c
'==因为,A B 两点关于原点对称，所以OA OB =，又OA OF =，所以OA OB c ==，所以四边形AFBF '为矩形，设CF m =，因为2AF CF =，所以2AF m =，由椭圆的定义可得22AF a m '=-，2CF a m '=-，
在Rt CAF ' ，3CA m =，2CF a m '=-，22AF a m '=-，
所以()()2222922a m m a m -=+-，所以3a m =，故23a AF =，43
a AF '=，在Rt FAF ' 中，2FF c '=，所以222416499
a a c =+，所以22950c a -=，所以离心率53
c e a ==.
方法二：设椭圆的半焦距为c ，点A 的坐标为(),s t ，点C 的坐标为(),m n ，则点B 的坐标为(),s t --，点F 的坐
标为(),0c ，且2222+1s t a b =①，22
22+1m n a b
=②，②×4－①可得，()()()()2
2
2222+3m s m s n t n t a b +--+=，因为AC 经过右焦点F ，2AF CF =，所以2AF FC = ，所以()(),2,c s t m c n --=-，故23,20m s c n t +=+=，
所以22a m s c -=，又23m s c +=，所以222
33222c a c a s c c
-=-=，因为OA OF =，所以222
s t c +=，又22
22+1s t a b =，所以()
22222a c b s c -=，所以()()22222234c a a c b -=-，
所以422491450c a c a -+=，即()()2222950c a
c a --=，又0c a <<，所以22950c a -=，所以离心率53
c e a ==.故答案为：53
.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a ，c ，代入公式c e a
=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b a c ＝－转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列{}n a 为等差数列．
（1）43a =，79a =，求8a ；
（2）若31012a a +=，求12S ．
【答案】（1）11（2）72
【分析】(1)根据等差数列的定义求出首项公差即可；(2)根据等差数列的性质和前n 项和公式求解.
【小问1详解】
设公差为d ，
由417
13369a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，所以18711a a d =+=，【小问2详解】因为31011212a a a a +=+=，所以1121211212()6()722a a S a a +=
=+=.18.在平面直角坐标系中，(1,2),(2,1),(3,4),(0,)A B C D a -四点在同一个圆E 上．
（1）求实数a 的值；
（2）若点(,)P x y 在圆E 上，求222x x y ++的取值范围．
【答案】（1）1a =或5；
（2）
[17-
，17+．
【分析】(1)利用圆的一般方程，待定系数法求解；
(2)根据22222(1)1,x x y x y ++=++-几何几何意义求解.
【小问1详解】
设过A 、B 、C 的圆的方程为220.
x y Dx Ey F ++++=将点A 、B 、C 的坐标分别代入圆的方程，
得14204120916340D E F D E F D E F +-++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩
，
解得：2,6,5,
D E F =-=-=得圆的方程为222650.
x y x y +--+=将点D 的坐标代入上述所得圆的方程，
得2650,a a -+=解得a ＝1或5；
【小问2详解】
点(,)P x y 在圆E ：22(1)(3)5x y -+-=上，
22222(1)1,
x x y x y ++=++-其几何意义为圆E 上的点到(1,0)M -距离的平方减1．
如图：EM ==∴222x x y ++
的最小值为21-
＝17-；
222x x y ++
的最大值为2117-=+．
∴222x x y ++的取值范围是
[17-
17+
．
19.在数列{}n a 中，14a =，1431n n a a n +=-+，*n ∈N ．
（1）设n n b a n =-，求证：数列{}n b 是等比数列；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
【答案】（1）证明见解析
（2）()
141
2n n n n S +=+-【分析】（1）利用1431n n a a n +=-+，化简可知14n n b b +=，进而可知数列{}n b 是首项为3、公比为4的等比数列；（2）通过()1可知134
n n a n -=+⨯，进而利用分组求和法计算即得结论．
【小问1详解】
证明：1431,
n n a a n +=-+ 11(1)43114()4,
n n n n n b a n a n n a n b ++∴=-+=-+--=-=又111413,
b a =-=-= ∴数列{}n b 是首项为3、公比为4的等比数列；
【小问2详解】
由（1）可知134n n a n --=⨯，即134
n n a n -=+⨯，()
()()31411412142n
n n n n n n S -++∴=+=+--.
20.已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，且11a +、21a +、41a +成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设11n n n b a a +=，n N *∈，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求使319
n S <成立的最大的正整数n .【答案】（1）31
n a n =-（2）11
【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于实数d 的等式，结合0d ≠可求得d 的值，由此可得出数列{}n a 的通项公式；
（2）利用裂项求和法求出n S ，解不等式319n S <
即可得出结果.【小问1详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，
由题意可得()()()2214111a a a +=++，即()()2
3333d d +=+，整理得230d d -=，0d ≠ ，解得3d =，故()1131n a a n d n =+-=-.
【小问2详解】解：()()111111313233132n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭
，所以，()11111111113255831323232232n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，由319n S <得()323219
n n <+，可得12n <，所以，满足319
n S <成立的最大的正整数n 的值为11.21.汶川震后在社会各界的支持和帮助下，
汶川一中临时搭建了学校，学校餐厅也做到了保证每天供应1000名学生用餐，每星期一有A 、B 两样菜可供选择（每个学生都将从二者中选一），为了让学生们能够安心上课对学生的用餐情况进行了调查．调查资料表明，凡是在本周星期一选A 菜的，下周星期一会有20％改选B ，而选B 菜的，下
周星期一则有30％改选A ，若用,n n A B 分别表示在第n 个星期一选A 、B 菜的人数．
（1）试以n A 表示1n A +；
（2）若1200A =，求{}n A 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，问第n 个星期一时，选A 与选B 的人数相等？
【答案】（1）113002n n A A +=+．（2）()11400()6002
n n A -=-⋅+；（3）第3个星期一．【分析】（1）根据题意可得1(10.2)0.3n n n A A B +=-+ ，结合1000n n A B +=，即可以用n A 表示1n A +；
（2）由（1）确定{}600n A -是首项为﹣400，公比为12的等比数列，即可求{}n A 的通项公式；
（3）确定A n ＝500，利用通项建立方程，即可求得结论．
【详解】（1）由题可知，∵在本周星期一选A 菜的，下周星期一会有20%改选B ，而选B 菜的，下周星期一则有30%改选A ，
∴1(10.2)0.3n n n
A A
B +=-+ 又1000n n A B +=，所以整理得：113002n n A A +=
+．（2）若1200A =，且113002n n A A +=
+，设()112n n A x A x ++=+，则600x =-∴()116006002
n n A A +-=-，即{}600n A -可以看成是首项为﹣400，公比为12的等比数列．
∴()11
400()6002n n A -=-⋅+；
（3）∵n n A B =又1000n n A B +=，则500
n A =由()11
400(6005002n --⋅+=得3
n =即第3个星期一时，选A 与选B 的人数相等．
【点睛】本题考查数列的应用，考查求数列的通项，解题的关键是确定数列递推式，从而确定数列的通项．
22.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：
（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．
【答案】（1）22
163
x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
（2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.
【详解】（1）由题意可得：22222
22411c a
a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22
163
x y +=.(2)［方法一］
：通性通法设点()()1122,,,M x y N x y ，
若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，
代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260k x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k
-=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =
，即()()()()121222110x x y y --+--=，
根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()2
2121212140x x km k x x k m ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭
，整理化简得()()231210k m k m +++-=，
因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，
故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-
- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝
⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，
由·0AM AN = 得：()()()()111122110x x y y --+---=，
得()1
221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123
x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝
⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12223DQ AP =
=，若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.［方法二］【最优解】：平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22
(2)(1)163
x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny +=．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即
22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即
2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112
m n +==-+，即3m n =--．代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-
- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得122||||23DQ AP ==．［方法三］：建立曲线系
A 点处的切线方程为21163
x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ×
=-．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为
()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭
（其中λ为系数）．用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭
．对比xy 项、x 项及y 项系数得
()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩
①②
③
将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =-
-．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
即为圆心Q ．
经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫
⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP ==．［方法四］：
设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -．
因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅= ，即()1221210x y -+-=．由22
11163
x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23
x =．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k
x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=
+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+．因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+-- 2
(21)(231)12k m k m k +-++=+0=，即21m k =-+或2133
m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝
⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫-
⎪⎝⎭，所以42||3AP =．又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．
取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则122||||23DQ AP ==．所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．
【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法；
方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny +=，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；
方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；
方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．。