2019年高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.7正弦定理和余弦定理的应用课时跟踪检测理201

3.7 正弦定理和余弦定理的应用
[课时跟踪检测]
[基础达标]
1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处．则这只船的航行速度为()
17 6
A. 海里/时B．34 6 海里/时
2
17 2
C. 海里/时D．34 2 海里/时
2
解析：如图，在△PMN中
PM MN
＝，
sin45°sin120°
68· 3
∴MN＝＝34 6，
2
MN17 6
∴v＝＝(海里/时)．
4 2
答案：A
2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 k m，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()
A．8 km/h B．6 2 km/h
C．2 34 km/h D．10 km/h
解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知sinθ＝0.6 3 4 1 1 1 4
＝，从而cosθ＝5，所以由余弦定理得( v)2＝( ×2)2＋12－2××2×1×，解 1 5
10 10 10 5
得v＝6 2.
答案：B
3．(2017届广东中山上学期期末)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()
A．50 2 m B．50 3 m
25 2
C．25 2 m D．m
2
AB AC AC·sin∠ACB 解析：由题意，得B＝30°.由正弦定理，得＝，∴AB＝＝
sin∠ACB sin B sin B
50 ×2
2
＝50 2(m)．故选A.
1
2
答案：A
4．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10
米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()
A．15米B．5米
C．10米D．1米
解析：如图所示，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即( 3h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．
答案：C
5．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为() A．1千米B．2sin10°千米
C．2cos10°千米D．cos20°千米
解析：由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，
∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°
＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)
＝2＋2cos20°＝4cos210°，
2
∴BD＝2cos10°.
答案：C
6．(2017届湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝()
A．5 6 B．15 3
C．5 2 D．15 6
解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.
BC30
由正弦定理得＝，所以BC＝15 2.
sin30°sin135°
在Rt△ABC中，AB＝BC tan∠ACB＝15 2× 3＝15 6.故选D.
答案：D
7．在200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()
400 400 3
A. m B．m
3 3
200 3 200
C. m D．m
3 3
解析：如图所示，在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AB＝200，
AB400
∴BC＝＝ 3.
cos30° 3
∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，
∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°.
DC BC
在△BDC中，＝.
sin30°sin120°
400 1
3 ×
BC·sin30° 3 2 400
∴DC＝＝＝(m)．
sin120° 3 3
2
3
答案：A
8．(2017届潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台
的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，
第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时
长为50 s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗．
解析：依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，
∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.
CE AC
由正弦定理可知＝，
sin∠EAC sin∠CEA
CE
∴AC＝·sin∠CEA＝20 3 m.
sin∠EAC
3 ∴在
Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20 3×＝30 m.
2
30 ∵国歌时长
为50 s，∴升旗速度为＝0.6 m/s.
50
答案：0.6
∠ABC 3 4 3 9．如图，在△ABC中，sin ＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，
2 3 3
则cos∠C＝________.
1 2 2
解析：由条件得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.
3 3
在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，
4 则
由余弦定理得9b2＝a2＋4－a.①
3
因为∠ADB与∠CDB互补，
所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，
16 16
4b2＋－4 b2＋－a2
3 3
所以＝－，
16 3 8 3
b b
3 3
所以3b2－a2＝－6，②
联立①②解得 a ＝3，b ＝1，所以 AC ＝3，BC ＝3. BC 2＋AC 2－AB 2 32＋32－22 7 在△ABC 中，cos ∠C ＝ ＝ ＝ . 2BC ·AC 2 × 3 × 3 9 7 答案： 9
10．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔 轮在方位角为 45°，距离为 10 n mile 的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向，以 9 n m ile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n m ile/h 的速度前去营救，求舰艇的航
向和靠近渔轮所需的时间.
(sin21.8° ≈
3 3
14
)
解：如图所示，根据题意可知 AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h ，并在 B 处与渔轮相遇，则 AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－ 1
2AC ·BC ·cos120°，所以 212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t × ，即 360t 2－90t －100＝0，解得 t
2 2 5 2
＝ 或 t ＝－ (舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h ．此时 AB ＝14，BC ＝6. 3 12 3
BC AB
在△ABC 中，根据正弦定理，得 ＝ ， sin ∠CAB sin120°
3
6 ×
2 3 3 所
以 sin ∠CAB ＝
＝ ， 14 14
即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)， 即舰艇航行的方位角为 45°＋21.8°＝66.8°.
2
所以舰艇以 66.8°的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮．
3
[能 力 提 升]
1．(2018届广东深圳第二次调研)如图，在凸四边形 ABCD 中，AB ＝1，BC ＝ 3，AC ⊥CD ，
AC ＝CD .当∠ABC 变化时，对角线 BD 的最大值为________．
解析：设 AC ＝CD ＝x ，在△ABC 中，由余弦定理知 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos∠ABC ， AC AB sin ∠ABC 所以 x 2＝1＋3－2 3cos ∠ABC .①由正弦定理得 ＝ ，即 sin ∠ACB ＝ .② sin ∠ABC sin ∠ACB x 在△BCD 中，由余弦定理知，。