2019-2020学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二上学期期中联考数学试题解析

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2019-2020学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二
上学期期中联考数学试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题
1．命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是（ ）
A ．x R ∀∈，20x ≥
B ．x R ∀∈，20x <
C ．x R ∃∈，20x <
D ．x R ∃∈，20x ≥ 答案：C
利用全称命题的否定分析解答. 解：
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <. 故选：C 点评：
本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
2．已知函数4
0fx x x x
=+（＜），则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 有最小值4
B ．()f x 有最大值4
C ．()f x 有最小值4-
D ．()f x 有最大值4-
答案：D
由0x <，可得0x ->，利用基本不等式，即可求解函数的最大值，得到答案． 解：
由题意，因为0x <，可得0x ->，
则()44[()]4f x x x x x =+=--+≤-=--， 当且仅当4
x x
-=
-，即2x =-时取等号， 所以()f x 的最大值为4-． 故选：D ．
点评：
本题考查了利用基本不等式求解函数的最值问题，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题．
3．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足111
33n n a a +=+，则此数列的第三项是（ ） A ．1 B ．
1
3
C ．23
D ．59
答案：D
由已知数列的递推式，分别令n =1，n =2，即可求解，得到答案． 解：
由题意，数列{a n }的首项a 1=1，且满足a n +1=1
13
3
n a +， 可得a 2=13a 1+13=13+13=23，a 3=13a 2+13=13×23+13=5
9
，
故选：D ． 点评：
本题主要考查了数列递推式的运用，其中解答中根据数列的递推公式，逐项计算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．
4．已知a ，b 为实数， :M N a b <，则M 是N 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件
答案：A
由不等式的性质，结合充分必要条件的判定，即可求解，得到答案． 解：
由题意，因为a ，b a ＜b ，
反之，由a ＜b ，如-3＜-2 所以M 是N 的充分不必要条件． 故选：A ． 点评：
本题主要考查了不等式的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记不等式的基本性质，以及充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 5．关于x 的不等式
1026
x
x -≥+的解集是（ ）
A ．{|1}x x ≤
B ．{|3}x x ≥-
C ．{|31}x x -<≤
D ．{|3x x -<或
1}x ≥
答案：C
不等式等价于不等式()()2130x x -+≤且260x +≠，解得答案. 解：
1026
x
x -≥+，等价于不等式()()2130x x -+≤且260x +≠，解得31-<≤x .
故选：C . 点评：
本题考查了解分式不等式，属于简单题.
6．已知a ，b 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论一定成立的是（ ） A ．22a b ≥ B ．22ab ba ≥
C ．
22
11ab ba ≥ D ．
b a a b
≥ 答案：C
根据不等式的基本性质，结合作差比较法，即可求解，得到答案． 解：
由题意知，,a b 为非零实数，且0a b -≥，即a b ≥，
对于A 中，22
()()a b a b a b -=+-，不能确定其符号，所以不正确； 对于B 中，2
2
()ab ba ab b a -=-，不能确定其符号，所以不正确； 对于C 中，
2222110a b ab ba a b --=≥，可得2211ab ba
≥，所以是正确的； 对于D 中，22()()
b a b a b a b a a b ab ab
-+--==
，不能确定其符号，所以不正确． 故选：C ． 点评：
本题主要考查了不等式的基本性质，以及作差比较法的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理利用作差比较法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7．已知数列{}n a ，其任意连续的四项之和为20，且1238,7,2a a a ===，则2020a =（ ） A ．2 B ．3
C ．7
D ．8
答案：B
利用数列的递推关系式，判断数列的周期性，然后转化求解a 2020，即可得到答案． 解：
由题意，数列{a n }，其任意连续的四项之和为20，且a 1=8，a 2=7，a 3=2，
1234487220a a a a a +++=+++=，
同时234520a a a a +++=，
345620a a a a +++=
L L
可得a 4=3，a 5=8，a 6=7，…
所以数列{a n }是周期数列，且数列{a n }的周期为4， 所以a 2020=a 504×4+4=a 4=3． 故选：B ． 点评：
本题主要考查了递推关系式的应用，其中解答中根据数列的递推关系式，求得数列的周期性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．“[1,2]x ∃∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（ ） A ．1a ≤- B ．1
4
a -
≤ C ．2a ≤-
D ．0a ≤
答案：B
将不等式转化为2max
1a x ⎛⎫
≤- ⎪⎝⎭，解得答案. 解：
[1,2]x ∃∈，210ax +≤，即2max 114a x ⎛⎫≤-=- ⎪⎝⎭，即1,4a ⎛
⎤∈-∞- ⎥⎝
⎦.
故选：B . 点评：
本题考查了充要条件，真命题，意在考查学生的计算能力和推断能力. 9．已知实数12,x x ，,m n 满足12x x <，m n <，且
()()110m x n x --<()()220m x n x --<，则下列结论正确的是（ ）
A ．12m x x n <<<
B ．12m x n x <<<
C ．12x m x n <<<
D ．12x m n x <<<
答案：A
根据()()110m x n x --<得到1m x n <<，根据()()220m x n x --<得到2m x n <<，得到答案. 解：
根据题意：12x x <，m n <，()()110m x n x --<，故1m x n <<；
()()220m x n x --<，故2m x n <<，故1
2m x
x n <<<.
故选：A . 点评：
本题考查了不等式的性质，意在考查学生的理解能力和推断能力. 10．已知数列{}{},n n a b 均为等差数列，其前n 项和分别记为,n n A B ，满足
n n A B =41
23
n n ++，则5
7
a b 的值为（ ） A ．
2117
B ．
3729
C ．
5329
D ．
4131
答案：B
由A n 、B n ，满足n n A B =4123n n ++，不妨设A n =kn （4n +1），B n =kn （2n +3），即可得到5
7
a b 的值．
解：
依题意，设A n =kn （4n +1），B n =kn （2n +3），k ≠0， 则a 5=S 5-S 4=5k （20+1）-4k （16+1）=105k -68k =37k ，
b 7=S 7-S 6=7k （14+3）-6k （12+3）=119k -90k =29k ，
所以57a b =3729k k =37
29
，
故选：B ． 点评：
本题主要考查了等差数列的前n 项和，考查了前n 项和与二次函数的关系，考查推理能力和运算能力，属于基础题． 11．设正实数,x y 满足21x y +=则2x
x y
+的最小值为（ ） A ．4 B ．6
C ．7
D ．8
答案：B
变换得到()222x y x x
x y x y
++=
+，展开利用均值不等式得到答案. 解：
()2224
226x y x x y x x y x y x y
++=+=++≥=， 当
4y x x y =，即1
2
x =，14y =等号成立. 故选：B . 点评：
本题考查了均值不等式求最值，变换()222x y x x
x y x y
++=
+是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.
12．已知数列{}n a 的通项20202 20212
n
n n
a -=-，且存在正整数T ，S 使得T n S a a a ≤≤对任意的n *∈N 恒成立，则T S +的值为（ ） A ．15 B ．17
C ．19
D ．21
答案：D
化简a n =2020220212n
n
--=1120212n --，结合数列的单调性，利用单调性求出故整个数列的
最大项为a 11，最小项为第10项，得出结论． 解：
由题意，数列{}n a 的通项a n =2020220212
n
n
--=1120212n --，又由210＜2021＜211， 当n ≤10时，数列递减；且a n ＜1，最小值为第10项， 当n ＞10，数列递减，且a n ＞1，最大值为第11项， 故整个数列的最大项为a 11，最小项为第10项，
使得a T ≤a n ≤a S 对任意的n ∈N 恒成立，所以T +S =10+11=21． 故选：D ． 点评：
本题主要考查了数列的单调性的判定，以及数列单调性的应用，其中解答中正确化简数列额通项公式，合理利用数列的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
二、填空题
13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若4681016a a a a =，则211
15
a a 的值为______．
答案：2
由等比数列的性质，化简a 4a 6a 8a 10=47
a =16，解得a 7=2，再由21115a a =220114
1a q a q
=6
1a q =a 7，即可求解． 解：
由题意，在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4a 6a 8a 10=16， 结合等比数列的性质，可得a 4a 6a 8a 10=4
7a =16，解得a 7=2，
又由21115a a =220
1141a q a q
=61
a q =a 7=2． 故答案为：2． 点评：
本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用的等比数列的性质，结合数列的等比数列的通项公式进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14．函数()()2
2
1 11
f x x x x =+
-＞的最小值为______． 答案：3
由函数f （x ）=x 2+211x -=（x 2
-1）+211
x -+1，利用基本不等式，即可求解． 解：
由x ＞1，得x 2＞1，x 2-1＞0； 所以函数f （x ）=x 2+
211x -=（x 2
-1）+2
11
x -+1≥2
， 当且仅当x
2-1=1，即x 时取等号， 所以函数f （x ）的最小值为3． 故答案为：3． 点评：
本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题，其中解答中合理根据基本不等式的“一正、二定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础
题．
15．已知数列{}n a 满足()()1111
,12
n n n n a n n a a a a ++=+-=，则该数列{}n a 的通项公式n a = _____． 答案：
1
n n + 根据数列的递推关系，化简得111111n n a a n n
--=--，再利用累加法，即可求得数列的通项公式，得到答案． 解：
由题意，数列{}n a 满足()()1111
,12
n n n n a n n a a a a ++=
+-=， 两边同时除以a n +1a n 得：()1111n n n n a a n n a a ++⎛⎫
-+=
⎪⎝⎭
，
化简得n （n +1）（1
11n n a a +-）=1， 两边同时除以n （n +1）得：
111
n n a a +-=()11111
n n n n =-++，
即111111n n a a n n --=--， 2
1111121
n n a a n n ---
=---， ……
12111112
a a -=-， 上式累加得：
111111n a a n
-=-，即2-111n a n =-，
所以111n a n =+，即1
n n a n =+．
故答案为：1
n
n +． 点评：
本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的通项公式的求解，其中解答中利用数列的递推公式，合理利用“裂项法”和“累加法”求解是解答的关键，着重考查了推
理与运算能力，属于基础题．
16．已知关于x 的不等式()2
2434x ax -≤的解集中的整数解恰好有三个，则实数a 的取值范围是______． 答案：9169464⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，
由原不等式转化为[（x -3][（x -3]≤0，根据解集中的整数恰有3个，且为1，2，3，得到a 的不等式，即可求解实数a 的范围，得到答案． 解：
由题知，0a ≥，则（4x -3）2
≤4ax 2
，即（4x -3）2
-4ax 2
≤0，
即（4x ）（4x ）≤0，
可得[（x -3][（x -3]≤0， 当a =2时，不等式为-24x +9≤0，解集为x 3
8
≥
，不是恰好有三个整数解． 当a ≠2时，不等式为含x 的一元二次不等式，此时
=时，即a =0时，不等式的解为x =3
4
不是恰好有三个整数解．
若0
时，即0＜a ＜4且a ≠2时，不等式的解集为
{x
x ≤≤又∵01
，∴如果恰有三个整数解，只能是 1，2，3．
∴34
≤
解得：9169
464
a ≤＜．
a ＞4时，不等式的解集为{x |x ≤或
≥
不会恰好有三个整数解．
综上所述，a 的取值范围是[94，16964
）． 故答案为：[94，169
64
）． 点评：
本题主要考查了解含参一元二次不等式的能力，运用一元二次不等式解决数学问题的能力，着重考查了推理与运算能力，属于中档题．．
三、解答题
17．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{
n
S n
}的前10项和． 答案：（1）6n a n =-；（2）55
2
-.
（1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式． （2）推出
112n S n n -=，令n n S
c n =，得到{c n }是首项为-5，公差为12
的等差数列，然
后求解数列的和即可． 解：
（1）由a 2、a 4、a 5成等比数列得：()()2
111(3)4a d a d a d +=++，即5d 2=-a 1d ，
又∵d ≠0，可得a 1=-5d ；
而5154
5152
S a d ⨯=+=-，解得d =1，所以a n =a 1+（n -1）d =n -6， 即数列{a n }的通项公式为a n =n -6．
（2）因为()211112
2
n n n n n
S na d ⋅--=+
=
，所以112n S n n -=， 令n
n S c n =
，则112n n c c +-=为常数，∴{c n }是首项为-5，公差为12
的等差数列， 所以n S n ⎧⎫
⎨
⎬
⎩⎭
的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-． 点评：
本题主要考查了等差数列以及等比数列的综合应用，以及等差数列求和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及利用等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18．已知2
:2350p x x --≤，2
:3(21)(1)0q x mx m m -+-+≤，（其中实数2m >） （1）分别求出,p q 中关于x 的不等式的解集M 和N ；
（2）若p 是q 必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 答案：（1）[]5,7M =-，[]1,21N m m =+-；（2）24m <≤
（1）分别解不等式22350x x --≤和2
3(21)(1)0x mx m m -+-+≤得到答案. （2）p 是q 必要不充分条件，故N M Ü，得到51
721m m -≤+⎧⎨≥-⎩
，解得答案.
解：
（1）22350x x --≤，解得57x -≤≤，故[]5,7M =-；
23(21)(1)0x mx m m -+-+≤，即()()(21)(1)0x m x m ---+≤，
2m >，故211m m ->+，故121m x m +≤≤-，故[]1,21N m m =+-.
（2）p 是q 必要不充分条件，故N M ，故51
721m m -≤+⎧⎨
≥-⎩
，等号不同时成立.
解得64m -≤≤，故24m <≤. 点评：
本题考查了解不等式，根据必要不充分条件求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．已知函数2
()|3|9f x x a x =-+-+ （1）2a =时，解关于x 的不等式()0f x >；
（2）若不等式()0f x ≤对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 答案：（1）
()5,3-；
（2）(],6-∞- （1）2
()2|3|9f x x x =-+-+，讨论3x ≥和3x <两种情况，解不等式得到答案. （2）2
|3|90x a x -+-+≤恒成立，讨论3x =，3x >，3x <三种情况，分别解不等式得到答案. 解：
（1）2a =时，2
()2|3|9f x x x =-+-+，
当3x ≥时，()2
()2390f x x x =-+-+>，解得13x -<<，故无解；
当3x <时，()2
()2390f x x x -=--+>，解得53x -<<，故53x -<<.
综上所述：不等式解集为
()5,3-.
（2）不等式()0f x ≤对于任意x ∈R 恒成立，即2|3|90x a x -+-+≤恒成立. 当3x =时，00≤成立；
当3x >时，()2
390x a x -+-+≤，故()2
93a x x -≤-，即3a x ≤+，故6a ≤；
当3x <时，()2
390x a x --+≤-，故()()
2
93a x x -≥--，即()3a x ≤-+，故
6a ≤-.
综上所述：(],6a ∈-∞-. 点评：
本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20．已知数列{}n a 中，()()()
2
114,12322n
n n a n a n a n n +=+⋅-+⋅=++⋅．
（1）设
1
n
n a b n =+，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
答案：（1）2n
n b =；（2）12n n S n +=⋅.
（1）已知条件化为
1221
n n n a a
n n +-=++，推出12n n n b b +-=；利用累加法转化求解即可． （2）由（1）可得()12n
n a n =+⋅，利用错位相减法求解数列的和即可． 解：
（1）数列{}n a 中，()()()
2
114,12322n
n n a n a n a n n +=+⋅-+⋅=++⋅，
两边同时除以（n +1）（n +2），可得
1221
n n n a a
n n +-=++，即12n n n b b +-=； 则当n ≥2时，有1212b b -=，2322b b -=，…，1
12n n n b b ---=．
两边累加得1
11222212
n n n b b ---==--，
又1
122
a b =
=，所以n ≥2时，2n n b =． 又因为n =1时，b 1=2也满足上式，
所以数列{}n b 的通项公式为2n
n b =．
（2）由（1）可得()12n
n a n =+⋅，
则()1
2
3
22324212n
n S n =⋅+⋅+⋅+⋯++⋅，
()2341222324212n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋯++⋅，
两式相减，可得()1
2
3
1
2222212
n
n n S n +-=⋅+++⋯+-+⋅
=()11122212212
n
n n n n ++-+-+⋅=-⋅-，
所以数列{}n a 的前n 项和为1
2n n S n +=⋅．
点评：
本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
21．已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成.设矩形的两边长分别为AD y =，
CD x =（单位：2cm ）
，要求3
y x >，部件的面积是239cm
（1）求y 关于x 的函数解析式，并求出定义域；
（2）为了节省材料，请问x 取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值.
答案：（1）(2413021343x y x x
-=<<；（2）2x =1313
+
（1）计算23339S xy x ==3
y x >得到定义域，得到答案.
（2）如图所示：作OF CD ⊥交CD 于F ，交AB 于E ，连接OC ，计算
2222
R OC CF OF
==+，利用均值不等式求得最值. 解：
（1
）22
1
3sin603
2
S xy x xy
=+︒==，
故
2
2
4
3
x
y
x
==
.
y x >
x
>
，解得x<
故(20
y x
=<<.
（2）如图所示：作OF CD
⊥交CD于F，交AB于E，连接OC.
故
1
326
OE x x
=⨯=，
故
2
222 22222
264312
x x x R OC CF OF y x y xy
⎛⎫
⎛⎫
==+=++=+++
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
2
2
131313
4836666
x
x
=++≥=+，
当2
2
1313
483
x
x
=，即2
x=时等号成立.
故当2
x=
.
点评：
本题考查了函数关系式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22．已知数列{}1,1n a a =，前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有()21n n S n a =+恒成立．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知关于n 的不等式
343422a a a a --⋅ (221)
n n a a n -+3,n n N *≥∈恒成
立，求实数a 的取值范围；
（3）已知2
1 1n n C a ⎛⎫= ⎪+⎝
⎭ ，数列{}n
c 的前n 项和为n T ，试比较n T 与2
3的大小并证明． 答案：（1）n a n =；（2）7
3
a ；（3）23n T ＜，证明见解析．
（1）利用数列的递推关系式化简，通过累积法转化求解数列的通项公式． （2）设()343422
221n n
a a a f n n a a a ---=
⋅⋯+判断数列的单调性即可．
（3）通过放缩法，利用裂项消项法求解数列的和T n =c 1+c 2+c 3+…+c n 然后推出结果． 解：
（1）由题意，因为2S n =（n +1）a n ，
当n ≥2时，2S n -1=na n -1，
两式相减2a n =（n +1）a n -na n -1，可得（n -1）a n =na n -1（n ≥2），
又a 1=1≠0，则a n ≠0，所以
()()121n n a n
n a n -=≥-， 可得3212123121
n n a a a n
a a a n -==⋯=-，，，， 累乘得n ≥2时，
123121
n a n
n a n =⋅⋯=-， n =1时，a 1=1也满足上式，
所以数列{}n a 的通项公式为a n =n * n N ∈（）． （2）设(
)343422
2n n
a a a f n a a a ---=
⋅⋯ 则()(
)314341222
21n n n n a a a a f n f n a a a a ++⎡----+-=⋅⋯⎢⎣ =(
)(
)3434112221n n n n a a a a a a n ⎡-+---⋅⋯⎢+⎢⎥⎣⎦
=34342220n n a a a a a a ---⋅⋯⎢⎥⎣⎦
＜， 所以f （n ）在n ≥3，n ∈N 上单调递减， 所以(
)3a f =
＞
，即a （3）()2221111111()()1121222n n c a n n n n n n n ⎛⎫
====- ⎪++++⋅++⎝⎭
＜，
则T n =c 1+c 2+c 3+…+c n =
231111111111
14422435462n c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯++-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
＜ =1111112111242231232123
n n n n ⎛⎫⎛⎫++--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭＜． 所以23
n T ＜． 点评：
本题主要考查了数列的递推关系式的应用，数列的单调性的应用，以及“裂项法”求和
的应用，其中解答中合理利用数列的递推关系，求得数列的通项公式，以及准确利用数列的单调性和“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．。