2017年中考数学-湖北省黄冈市中考数学试卷解析

2017年湖北省黄冈市中考数学试卷
满分：120分版本：人教版
一、选择题（每小题3分，共6小题，合计18分）
1．（2017湖北黄冈，1，3分）计算：
1 3 -=
A．1
3
B．
1
3
-C．3 D．－3
答案：A，解析：根据“负数的绝对值等于它的相反数”可知
1
3
-=
1
3
．
2．（2017湖北黄冈，2，3分）下列计算正确的是
A．2x＋3y＝5xy B．(m＋3) 2＝m2＋9 C．(xy2) 3＝xy6D．a10÷a5＝a5
答案：D，解析：A．2x与3y不是同类项，不能合并；B．根据“完全平方公式()222
2
a b a ab b
+=++”，可得：(m＋3) 2＝m2＋6m＋9；C．根据“积的乘方法则：()m m m
ab a b
=”可得(xy2) 3＝x3y6；D．根据“同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减”可得：a10÷a5＝a5．
3．（2017湖北黄冈，3，3分）已知：如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝∠3，则∠2的度数为A．50°B．60°C．65°D．75°
a
b
答案：C，解析：因为a∥b，所以∠1＋∠2＋∠3＝180°；又因为∠1＝50°，所以∠2＋∠3＝130°；因为∠2＝∠3，所以∠2＝130°÷2＝65°．
4．（2017湖北黄冈，4，3分）已知：如图，是一几何体的三视图，则该几何体的名称为A．长方体B．正三棱柱C．圆锥D．圆柱
答案：D，解析：A．长方体的三个视图都是矩形；B．正三棱柱的视图应该有三角形；C．圆锥的视图也应该有三角形；D．圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆．
5．（2017湖北黄冈，5，3分）某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：
则这10 A ．12
B ．13
C ．13.5
D ．14
答案：B ，解析：将10个数据从小到大排列，这10个数据的中位数是第5个和第6个数的平均
数．由上表可以看出第5个和第6个数据都是13，它们的平均数为13，即中位数是13．
6．（2017湖北黄冈，6，3分）已知：如图，在⊙O
中，OA ⊥BC ，∠AOB ＝70°，则∠ADC 的度数为
A ．30°
B ．35°
C ．45°
D ．70°
答案：B ，解析：由垂径定理：“垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧”可得：AB AC =，
∠AOB
＝∠AOC ＝70°；根据“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”可知：∠ADC ＝
1
2
∠AOC ＝35°． 二、填空题：（每小题3分，共8小题，合计24分） 7．（2017湖北黄冈，7，3分）16的算术平方根是 ．
答案：4，解析：164．
8．（2017湖北黄冈，8，3分）分解因式：mn 2－2mn ＋
m ＝
．
答案：m (n －1)2，解析：mn 2－2mn ＋m
＝m (n 2－2
n ＋1)＝m
(n －1) 2．
9．（2017
湖北黄冈，9，3
的结果是
．
=,=-=
10．（2017湖北黄冈，10，3分）自中国提出“一带一路·合作共赢”的倡议以来，一大批中外合作
项目稳步推进．其中，由中国承建的蒙古铁路（连接肯尼亚首都内罗毕和东非第一大港蒙巴萨 港），是首条海外中国际标准铁路，已于2017年5月31日正式投入运营．该铁路设计运力为 25 000 000吨，将25 000 000吨用科学记数法表示，记作 吨．
答案：2.5×107，解析：一般地，一个大于10的数可以写成a ×10n 的形式，其中1≤a ＜10，n
为正整数，所以25 000 000＝2.5×107．
11．（2017湖北黄冈，11，3分）化简：23332
x
x x x x -⎛⎫+⋅
⎪---⎝⎭＝ ．
答案：1，解析：
23
332
x x
x x x
-
⎛⎫
+⋅
⎪
---
⎝⎭
＝
23
32
x x
x x
--
⋅
--
＝1．
12．（2017湖北黄冈，12，3分）已知：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED＝度．
答案：45，解析：由题意得，AB＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝∠AED＝60°．所以∠BAE＝150°，∠AEB＝15°．所以∠BED＝∠AED－∠AEB＝60°－15°＝45°．
13．（2017湖北黄冈，13，3分）已知：如图，圆锥的底面直径是10 cm，高为12 cm，则它的侧面展开图的面积是cm2．
答案：65π，解析：由图示可得，圆锥的半径为5 cm，底面周长为10π cm（即侧面展开图的弧
长为10π cm），高为12 cm．由勾股定理可得母线长为13 cm．根据公式S＝1
2
lr可得：S＝
1
2
×13×
10π＝65π．
14．（2017湖北黄冈，14，3分）已知：如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3 cm，BO＝4 cm，将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为
AB的中点，则线段B1D＝cm．
1
A
答案：1.5，解析：∵D点为AB的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可
得：OD＝1
2
AB
＝
1
2
2.5．由题意可得：OB1＝OB＝4．所以B1D＝OB1－OD＝4－2.5＝1.5．
三、解答题：本大题共6个小题，满分78分．
15．（2017湖北黄冈，15，5分）（本小题满分5分）解不等式组：352,32
1.2
x x x --⎧⎪
⎨+⎪⎩＜①
②
思路分析：解不等式组的步骤是先分别解不等式组中的各个不等式，然后求出这几个不等式解
集的公共部分．
解：解不等式①得 x ＜1，
解不等式②第 x ≥0．
所以，不等式组的解集为0≤ x ＜1．
16．（2017湖北黄冈，16，6分）（本小题满分6分）已知：如图，∠BAC ＝∠DAM ，AB ＝AN ，AD ＝
AM ．
求证：∠B ＝∠ANM ．
思路分析：要证明∠B ＝∠ANM ，根据条件只需证明△ABD ≌△ANM ，而证明△ABD ≌△ANM 的
三个条件中∠BAD ＝∠NAM 没有直接给出，所以要先交代．
证明：∵∠BAC ＝∠DAM ，
∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAM －∠DAC ．即∠BAD ＝∠NAM ． 在△ABD 和△ANM 中， ,,,AB AN BAD NAM AD AM =⎧
⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△ANM （SAS ） ∴∠B ＝∠ANM ．
17．（2017湖北黄冈，17，6分）（本小题满分6分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋（2k ＋1）x ＋
k 2＝0①有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2．当k ＝1时，求x 12＋x 22的值．
思路分析：（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则△＝b 2－4ac ＞0；（2）求x 12＋x 22的值，
可考虑运用韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）来求，将x 12＋x 22化为()2
12122x x x x +-．
解：（1）∵方程①有两个不相等的实数根，
∴△＝(2k ＋1)2－4×1×k 2＞0，
解得：k ＞1
4
-．
∴k 的取值范围是k ＞1
4
-．
（2）当k ＝1时，方程①为x 2＋3x ＋1＝0，
∴由根与系数的关系可得：1212
3
1x x x x +=-⎧⎨=⎩
∴()()22
221212122321927x x x x x x +=+-=--⨯=-=．
18．（2017湖北黄冈，18，6分）（本小题满分6分）黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一
批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元．已知学校用12 000元购买的科普类图书的本书与用9 000元购买的文学类图书的本书相等．求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
思路分析：本题中涉及到的基本的数量关系是：购书的总额＝购书的册数×单价，由于购书的
册数与单价均未知，设其中的一个量为x ，能用分式表示出另一个量，故考虑运用分式方程解决问题．根据“用12 000元购买的科普类图书的本书与用9 000元购买的文学类图书的本书相等”这一等量关系来布列方程．
解：设文学类图书平均每本的价格为x 元，则科普类图书平均每本的价格为(x ＋5)元，依题意可列方程：
120009000
5x x =
+ 解得：x ＝15．
经检验：x ＝15是所列分式方程的解． ∴x ＋5＝15＋5＝20．
答：科普类图书和文学类图书平均每本的价格分别为20元和15元．
19．（2017湖北黄冈，19，7分）（本小题满分7分）我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，
决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动．为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m 名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）． 根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）m ＝ ，n ＝ ． （2）补全上图中的条形统计图．
（3）若全校共有2 000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
（4）在抽查的m 名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动．学校打
算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．
（解答过程中，课将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母A 、B 、C 、D 表示）
思路分析：（1）从两个统计表中看出喜爱打篮球的学生为30人，所占的比例为30%，可以求出
m 的值，再求出喜爱打排球所占的百分比；（2）根据“喜爱踢足球的人数＝抽查的总人数×喜爱踢足球的人数所占的百分比”可求出；（3）先求出样本中喜爱打乒乓球的人数所占的百分比，再运用“样本估计总体”的思想来解决问题；（4）根据题意画树状图或列表均可，但要注意的是“不放回”．
解：（1）100， 5． （2）如图所示
（3）2000×20
100＝400（名）
∴该校约有400名学生喜爱打乒乓球．
（4）依题意可列表：
∴P （同时选中小红，小燕）＝
12＝6
． 20．（2017湖北黄冈，20，7分）
（本小题满分7分）已知：如图，MN 为⊙O 的直径，ME 是⊙O 的
弦，MD 垂直于过点E 的直线DE ，垂足为点D ，且ME 平分∠DMN ． 求证：（1）DE 是⊙O 的切线；
（2）ME 2＝MD ·MN ．
思路分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，只需证明OE ⊥DE ．已知DM ⊥DE ，设法证出MD
∥OE 即可；（2）要证ME 2＝MD ·MN ，只需证明△DME ∽△EMN ．由（1）可知∠OME ＝∠DME ，故考虑连接EN ．
证明：（1）∵OM ＝OE ，∴∠OME ＝∠OEM ．
∵ME 平分∠DMN ，∴∠OME ＝∠DME ． ∴∠OEM ＝∠DME ． ∵MD ⊥DE ，所以∠MDE ＝90°． ∴在△MDE 中，∠DEM ＋∠DME ＝90°．
∴∠DEM ＋∠OEM ＝90°． 即∠OED ＝90°，∴OE ⊥DE ． 又∵OE 为⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线． （2）连接NE ．
∵MN 为⊙O 的直径，∴∠MEN ＝90°． ∴∠MEN ＝∠MDE ＝90°．
又由（1）可知，∠NME ＝∠DME ． ∴△DME ∽△EMN ． ∴
MD ME
ME MN
=
∴ME 2＝MD ·MN ． 21．（2017湖北黄冈，21，7分）（本小题满分7分）已知：如图，一次函数21y x =-+与反比例函
数k
y x
=
的图像有两个交点A (－1，m )和B ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为点E ；过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，且点D 的坐标为(0，－2)，连接DE ． （1）求k 的值；
（2）求四边形AEDB 的面积．
x
思路分析：（1）由题意可知点A (－1，m )在反比例函数图像上，要求k 的值，只需求出m 的值
即可；（2）要求四边形AEDB 的面积，由于四边形AEDB 不是特殊的四边形，故考虑运用“割补法”来解决问题．
解：（1）将点A (－1，m )代入一次函数y ＝－2x ＋1得，－2×(－1)＋1＝m ，∴m ＝3．
∴A 点的坐标为(－1，3)
将A (－1，3)代入k
y x
=得，k ＝(－
1)×3＝－3．
（2）设直线AB 与y 轴相交于点M ，则点M （0，1）
∴点D (0，－2)，∴MD ＝3．
又∵A (－1，3)，AE ∥y 轴，∴E (－1，0)． ∴AE ＝3． ∴AE ∥MD ，AE ＝MD ． ∴四边形AEDM 为平行四边形．
∴S 四边形AEDB ＝S 平行四边形AEDM ＋S △MDE ＝1321
331224
⨯⨯+⨯=．
22．（2017湖北黄冈，22，8分）（本小题满分8分）在黄冈长江大桥的
东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD （如图所示）．已知标
语牌的高AB ＝5 m ，在地面的点E 处，测得标语牌点A 的仰角为30°，在地面的点F 处，测得标语牌点A 的仰角为75°，且点E ，F ，B ，C 在同一直线上．求点E 与点F 之间的距离．（计算结果精确到0.1米，
≈1.41
1.73）
°
多情大别山
美景在黄冈
思路分析：依题意可得△AEF 中，∠E ＝30°，∠EAF ＝45°，要求EF 的长，运用“化斜为直，
保留特殊角”的方法过F 作FM ⊥AE 于点M ，易知EF ＝2FM ，而FM ＝AM ，AM ＋EM ＝AE ＝2AB ，故需设MF ＝x m ，再运用方程的思想来解决问题．
解：过点F 作FM ⊥AE 于点M ． ∵∠AFB ＝75°，∠E ＝30°， ∴∠EAF ＝45°．
在Rt △ABE 中，AB ＝5，∠E ＝30°， ∴AE ＝2AB ＝10 m ．
x
多情大别山
美景在黄冈
°
E
设MF＝x m，则
在Rt△EMF中，EF＝2x，EM
．
在Rt△AMF中，AM＝MF＝x．又∵AE＝AM＋EM，
∴x
＝10．∴x＝
1) ．
∴EF＝2x＝
1)≈7.3 m
∴点E与点F之间的距离为7.3 m．
23．（2017湖北黄冈，23，12分）（本小题满分12分）月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图像的一部分，BC为一次函数图像的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为z（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记作下一年的成本）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式．
（2）求出第一年这种电子产品的年利润z（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润z（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润z（万元）与销售价格x（元/件）的
函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．
元/件
()思路分析：（1）求y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式，结合图像，是一个分段函数，已知点坐标，运用待定系数法可求；（2）根据“年利润＝年销售量×每件的利润－成本（106万元）”，可求出年利润z（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，但要注意的是和第（1）问一样是分段函数，根据每段的函数特征分别求出最大值，再比较这两个数值的大小，从而确定第一年的年利润的最大值；（3）根据条件“第二年的年利润不低于103万元”，可得z≥103，这是一个一元二次不等式，题目提示观察年利润z（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，从而得出结果．
解：（1）当48x 时，设k
y x
=
，将A (4，40)代入得k ＝4×40＝160． ∴y 与x 之间的函数关系式为：160
y x
=
． 当8＜x ≤28时，设y ＝kx ＋b ，将B (8，20)，C (28，0)代入得，
820,280.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解之得：1,
28.k b =-⎧⎨
=⎩
∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋28． ∴综上所述得：()()160
4882828
x y x x x ⎧⎪
=⎨⎪-+⎩＜．
（2）当48x 时，z ＝(x －4)·y －160＝(x －4)·
160x －160＝640
x
-． ∵z 随着x 的增大而增大， ∴当x ＝8时，z max ＝640
8
-
＝－80． 当8＜x ≤28时，z ＝(x －4)·y －160 ＝(x －4)·(－x ＋28)－160＝－x 2＋32x －272
＝－(x －16) 2－16．
∴当x ＝16时，z max ＝－16． ∵－16＞－80，
∴当每件的销售价格定为16元时，第一年的年利润的最大值为－16万元． （3）∵第一年的年利润为－16万元．
∴16万元应作为第二年的成本． 又∵x ＞8，
∴第二年的年利润z ＝(x －4)(－x ＋28)－16＝－x 2＋32x －128， 令z ＝103，则－x 2＋32x －128＝103． 解得：x 1＝11，x 2＝21．
在平面直角坐标系中，画出z 与x 的函数示意图，观察示意图可知： z ≥103时，11≤x ≤21．
∴当11≤x ≤21时，第二年的年利润z 不低于103万元．
24．（2017湖北黄冈，24，14分）（本小题满分14分）已知：如图所示，在平面直角坐标系xoy
中，四边形OABC 是矩形，OA ＝4，OC ＝3．动点P 从点C 出发，沿射线CB 方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q 从点O 出发，沿x 轴
正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P 、点Q 的运动时间为t （s ）． （1）当t ＝1 s 时，求经过点O 、P 、A 三点的抛物线的解析式；
（2）当t＝2 s时，求tan∠QPA的值；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t（s）的值；
（4）连接CQ，当点P、Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t 的函数关系式．
思路分析：（1）先求出O、P、A三个点的坐标，再运用待定系数法求出经过这三个点的抛物线的解析式；（2）通过计算，当t＝2时，P点与B点重合，tan∠QPA的值等于tan∠QBA的值；（3）正确画出图形，由BM＝2AM易知△BMP∽△AMQ的相似比为2︰1，即BP︰AQ＝2．分别用含t的代数式表示出BP、AQ的长，列方程可以求出t的值；（4）先在备用图中画图分析，容易发现△CQP 与矩形OABC重叠部分有三种情况：一是点P、点Q分别在矩形的BC边上和OA边上，二是点P在CB的延长线上，点Q在OA边上，三是点P和点Q分别在CB的延长线上和OA的延长线上．这几种情况的分界点是点P与点B重合、点Q与点A重合，在分三种情况分别计算出△CQP与矩形OABC 重叠部分的面积．
解：（1）方法一：
依题意得，A(4,0)，B(4,3) ．
当t＝1时，CP＝2．∴P点的坐标为(2,3) ．
设经过O，P，A三点抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，
将P(2,3)代入解析式中，则有
2×(2－4)a＝3，∴a＝
3
4
-，∴y＝
3
4
-x(x－4) ＝
3
4
-x2＋3x．
方法二：
依题意得，A(4,0)，B(4,3) ．
当t＝1时，CP＝2．∴P点的坐标为(2,3) ．
设经过O，P，A三点抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c,
∴
0,
423,
1640.
c
a b c
a b c
=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
解得：
3
,
4
3,
0.
a
b
c
⎧
=-
⎪
⎪
=
⎨
⎪=
⎪
⎩
∴抛物线的解析式为y＝
3
4
-x2＋3x．
（2）当t＝2时，CP＝4，OQ＝2，
∴AQ＝OA－OQ＝4－2－2．
又∵CB＝4，∴此时点P与点B重合．∴∠QPA＝∠QBA．
∴在Rt△QBA中，tan∠QPA＝tan∠QBA＝2
3
．
（3）如图1所示：设线段PQ与线段BA相交于点M，依题意有：CP＝2t，OQ＝t，
∴BP＝2t－4，AQ＝4－t．
∵CB∥OA，
∴△BMP∽△AMQ．
∴BP BM
AQ AM
=＝2．
∴BP＝2AM，即2t－4＝2(4－t)，∴t＝3．（4）当0≤t≤2时，如图2
S＝S△CQP＝1
2
×2t×3＝3 t．
当2＜t≤4时，如图3
设线段AB与线段PQ相交于点D，过点Q作QN⊥CP于点N，则△BDP∽△NQP．
∴BD BP
NQ NP
=,又∵NQ＝CO＝3，BP＝CP－CB＝2t－4，
且NP＝CP－CN＝CP－CO＝2t－t＝t，
∴
24
3
BD t
t
-
=．∴BD＝
()
324
t
t
-
．
∴S＝S四边形CQDB＝S△CQP－S△BDP
＝1
2
×2t×3－
1
2
(2t－4)×
()
324
t
t
-
＝
2
32424
t t
t
-+-
＝－3t＋24－24
t
．
当t＞4时，如图4
设线段AB与线段CQ相交于点M，过点Q作QN⊥CP于点N，则△CBM∽△CNQ．
∴CB BM
CN NQ
=．又∵CB＝OA＝4，CN＝OQ＝t，NQ＝3,
∴4
3
BM
t
=，∴BM＝
12
t
．
图1
S ＝S △CBM ＝
12·BC ·BM ＝12×4×12t ＝24t
． ∴S ＝()
()()
3022432424424t t t t t t t ⎧⎪⎪
⎪
-+-
⎨⎪
⎪⎪⎩
＜＞ 第（4）问中，当2＜t ≤4时，求线段BD ，还可用方法二： ∵△BDP ∽△ADQ ， ∴BP BD AQ AD =． 又∵BP ＝2t －4，AQ ＝4－t ， ∴244BD t AD t
-=
-． 又∵BD ＋AD ＝AB ＝3， ∴BD ＝()()
24
3244t t t -⨯-+-＝
()324t t -．
图3。