【课堂新坐标】2021年高考数学二轮转动检测 数列、推理与证明试卷 理（含解析）(1)

数列、推理与证明
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份，共150分，考试时刻120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)
1．(2021·黄冈模拟)集合M ＝{y |y ＝lg(x 2＋1)，x ∈R }，集合N ＝{x |4x ＞4，x ∈R }，那么M ∩N 等于( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,1) C ．(1，＋∞)
D ．(0,1]
【解析】 由x 2＋1≥1知lg(x 2＋1)≥0，因此M ＝{y |y ≥0}，由4x ＞4知x ＞1，因此N ＝{x |x ＞1}， 因此M ∩N ＝{x |x ＞1}，应选C. 【答案】 C
2．若是命题“綈(p ∧q )”是真命题， 那么( ) A ．命题p 、q 均为假命题 B ．命题p 、q 均为真命题
C ．命题p 、q 中至少有一个是真命题
D ．命题p 、q 中最多有一个是真命题
【解析】 命题“綈(p ∧q )”是真命题，那么命题“p ∧q ”是假命题，那么命题p 、q 中最多有一个是真命题，应选D.
【答案】 D
3．(2021·宁波模拟)等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n ＞0的最小正整数n 为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
【解析】 由S 13＝13a 1＋a 13
2＝0得a 1＋a 13＝2a 7＝0，因此a 7＝0，又a 1＝－12，故n ≥8时，a n ＞
0.
【答案】 B
4．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－255，
55，那么sin 2α的值为( )
A.55 B ．－55 C ．－45 D.4
5
【解析】 由已知得sin α＝55，cos α＝－25
5，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255＝－45. 【答案】 C
5．(2021·课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1＝( ) A.1
3 B ．－13
C.19
D ．－19
【解析】 设公比为q ，∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 1q 4＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q 2＝9a 1，a 1q 4
＝9，
解得a 1＝1
9，应选C.
【答案】 C
6．以下函数中与函数y ＝－3|x |奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1
x
B ．y ＝log 2|x |
C ．y ＝1－x 2
D ．y ＝x 3－1
【解析】 函数y ＝－3|x |是偶函数且在(－∞，0)是增函数，应选C. 【答案】 C
7．(2021·大纲全国卷)已知数列{a n }知足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4
3，那么{a n }的前10项和等于( )
A ．－6(1－3－10)
B.1
9
(1－3－10) C ．3(1－3－10)
D ．3(1＋3－10)
【解析】 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1
a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－4
3
，可得a 1
＝4.因此S 10＝4⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝3(1－3－10).
【答案】 C
8．已知向量a 、b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为( ) A ．48 B ．32 C ．1
D ．0
【解析】 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋b 2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0. 【答案】 D
9．(2021·昆明模拟)已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则
S 15等于( )
A ．201
B ．210
C ．211
D ．212
【解析】 由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得，(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起组成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.
【答案】 C
10．已知f (x )＝12 013＋log 2x
1－x ，则f ⎝
⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 014＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2 0132 014的值为( ) A ．1 B ．2 C ．2 013
D ．2 014
【解析】 对任意0＜x ＜1，可得f (x )＋f (1－x )＝2
2 013
.
设S ＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 014＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2 0132 014 则S ＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫2 0132 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 1022 014＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12 014
于是2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝
⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014＋⎣⎢⎡
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22 014＋
⎦⎥⎤f ⎝
⎛⎭⎪⎫2 0122 014＋…＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 014] ＝
2
2 013
×2 013＝2，因此S ＝1. 【答案】 A
11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，那么项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
【解析】 在等比数列中，a 2a n －1＝a 1a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，解得a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2.当
a 1＝2，a n ＝32时，S n ＝
a 11－q n
1－q
＝
a 1－qa n 1－q
＝
2－32q
1－q
＝62，解得q ＝2，又a n ＝a 1q n －1，因此2×2n －1＝2n
＝32，解得n ＝5.同应当a 1＝32，a n ＝2时，由S n ＝62解得q ＝1
2，由a n ＝a 1q n －1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1
＝1
16＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
124，即n －1＝4，n ＝5.综上，项数n 等于5，应选B. 【答案】 B
12．(2021·东城模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，那么a 2 013
的值是( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
【解析】 a 1a 2＝2×7＝14，因此a 3＝4,4×7＝28，因此a 4＝8,4×8＝32，因此a 5＝2,2×8＝16，因此a 6
＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，因此从第三项起，a n 成周期排列，周期数为6,2 013＝335×6＋3，因此a 2 013＝a 3＝4，应选C.
【答案】 C 第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．由直线y ＝2与函数y ＝2cos 2
x
2
(0≤x ≤2π)的图象围成的封锁图形的面积为________．
【解析】 y ＝2cos 2
x
2
＝cos x ＋1，那么所求面积为 S ＝∫2π0
[]2－cos x ＋1d x ＝(x －sin x )|
2π0
＝2π. 【答案】 2π
14．(2021·潍坊模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边别离为a ，b ，c ，假设a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，
b 2＋
c 2－a 2＝3bc ，那么角B ＝________.
【解析】 由
b 2＋
c 2－a 2＝3bc 得cos A ＝
b 2＋
c 2－a 2
2bc
＝
32
，因此A ＝30°.
由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 得 sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin 2C ， 即sin(A ＋B )＝sin 2C ， 因此sin C ＝sin 2C . 因为0°＜C ＜180°， 因此sin C ＝1， 即C ＝90°， 因此B ＝60°. 【答案】 60°
15．(2021·淄博模拟)如图3－1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n (n ≥2)行的第2个数为________． 图3－1
【解析】 由已知得第n (n ≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2(n －2)＋1]＝3＋n －2×2n
2
＝n 2－
2n ＋3.
【答案】 n 2－2n ＋3
16．(2021·孝感模拟)现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次组成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，那么n ＝________.
【解析】 设对应的数列为{a n }，公差为d (d ＞0)．由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n ，由a n ＋a n －1＋a n －2＝114得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，(a 1＋5d )2＝a 1(a n －1＋d )，即(10＋5d )2＝10(38＋
d )，解得d ＝2，因此a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16.
【答案】 16
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．)
17．(本小题总分值10分)(2021·安徽高考)设数列{a n }知足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )
＝()a n －a n ＋1＋a n ＋2x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 知足f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＝0.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)假设b n ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a n ＋12a n ，求数列{
b n }的前n 项和S n . 【解】 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意
n ∈N *，f ′(
π
2
)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8解得{a n }的公差d ＝1， 因此a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.
(2)由b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋1
2n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n n ＋1
2＋
12⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤1－
12n
1－
1
2
＝n 2＋3n ＋1－
1
2n
.
18．(本小题总分值12分)(2021·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限，已知A (－1,3)．
(1)假设OA ⊥OB ，求tan α的值； (2)假设B 点横坐标为4
5
，求S △AOB .
【解】 (1)由题可知：A (－1,3)，B (cos α，sin α)，
OA →＝(－1,3)，OB →
＝(cos α，sin α)，
由OA ⊥OB ，得OA →·OB →
＝0，
∴－cos α＋3sin α＝0，tan α＝1
3.
(2)∵cos α＝4
5，∴sin α＝
1－cos 2α＝
3
5，即B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫45，35， ∴OA →
＝(－1,3)，OB →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
45，35，
∴|OA |＝
－1
2＋
32＝10，|OB |＝1，
得cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－1×45＋3×3510×1＝10
10，
∴sin ∠AOB ＝
1－cos 2∠AOB ＝
3
1010
，
则S △AOB ＝12|AO ||BO |sin ∠AOB ＝1
2
×
10×1×
3
1010＝3
2
. 19．(本小题总分值12分)(2021·青岛模拟)已知数列{a n }知足a 1＝1，a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1(n ≥2且n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令d n ＝1＋log a
a 2n ＋1＋a 2n ＋2
5
(a ＞0，a ≠1)，记数列{d n }的前n 项和为S n ，假设
S 2n S n
恒为一个与n 无关的常
数λ，试求常数a 和λ.
【解】 (1)由题知a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1，① 因此a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－1.② 由①－②得：a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n
＝2(n ≥2)，
当n ＝2时，a 1－a 2＝－1， 因为a 1＝1，因此a 2＝2，a 2
a 1
＝2，
因此，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)因为a n ＝2n －1，
因此d n ＝1＋log a
a 2n ＋1＋a 2n ＋2
5
＝1＋2n log a 2.
因为d n ＋1－d n ＝2log a 2，
因此{d n }是以d 1＝1＋2log a 2为首项，以2log a 2为公差的等差数列， 因此S 2n
S n ＝2n 1＋2log a 2＋2n 2n －1
2×2log a 2
n 1＋2log a 2＋n n －1
2×2log a 2
＝
2＋4n ＋2log a 2
1＋n ＋1
log a 2
＝λ ⇒(λ－4)n log a 2＋(λ－2)(1＋log a 2)＝0， 因为
S 2n S n
恒为一个与n 无关的常数λ，
因此⎩
⎪⎨⎪⎧
λ－4log a 2＝0，λ－21＋log a 2＝0，
解得λ＝4，a ＝1
2
.
20．(本小题总分值12分)某工厂为扩大生产规模，今年年初新购买了一条高性能的生产线，该生产线在利用进程中的保护费用会逐年增加，第1年的保护费用是4万元，从第2年到第7年，每一年的保护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每一年的保护费用比上年增加25%.
(1)设第n 年该生产线的保护费用为a n ，求a n 的表达式． (2)设该生产线前n 年的保护费用为S n ，求S n .
【解】 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列， 故a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.
当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始组成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝5
4
的等比数列，
那么现在a n ＝16×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
54n －7，
因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2n ＋2，n ≤7，16×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
54n －7
，n ≥8.
(2)当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋
n n －1
2
×2＝n 2＋3n ，
当n ≥8时，由S 7＝70，得S n ＝70＋16×54
×
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫54n －71－
5
4
＝80×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
54n －7－10，
因此该生产线前n 年的保护费用为
S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
n 2＋3n ，1≤n ≤7，
80×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
54n －7－10，n ≥8.
21．(本小题总分值12分)(2021·天津模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }知足b 1＝1，且点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上．
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式． (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和D n . (3)设c n ＝a n
·sin 2
n π
2
－b n ·cos 2
n π
2
(n ∈N *)，求数列{c n }的前2n 项和T 2n .
【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝2，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，
因此a n ＝2a n －1(n ≥2)，因此{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，因此a n ＝2n ， 又点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上，因此b n ＋1＝b n ＋2， 因此{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1＝1，因此b n ＝2n －1. (2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)×2n ，
因此D n ＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，①
2D n ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1.② ①－②得－D n ＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1 ＝2＋2×41－2n －1
1－2－(2n －1)×2n ＋1
＝(3－2n )2n ＋1－6， 则D n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.
(3)c n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2n ， n 为奇数，
－2n －1， n 为偶数，
T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(b 2＋b 4＋…＋b 2n )
＝2＋23＋…＋22n －1－[3＋7＋…＋(4n －1)]＝22n ＋1－2
3
－2n 2－n .
22．(本小题总分值12分)(2021·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12n －1＋2(n ∈N *)，数列{b n }
知足b n ＝2n a n .
(1)求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．
(2)设数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫n ＋1n a n 的前n 项和为T n ，证明：n ∈N *且n ≥3时，T n ＞5n
2n ＋1. (3)设数列{c n }知足a n (c n －3n )＝(－1)n －1λn (λ为非零常数，n ∈N *)，问是不是存在整数λ，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1＞c n .
【解】 (1)在S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2中，令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，即a 1＝1
2，
当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫
12n －2＋2，
因此a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
12n －1，
因此2a n ＝a n －1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1.
因为b n ＝2n a n ，因此b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，因此数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．
于是b n ＝1＋(n －1)·1＝n ＝2n a n ，因此a n ＝n 2n (n ∈N *)． (2)由(1)得c n ＝n ＋1n a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ， 因此T n ＝2×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ，① 12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋1.② 由①－②得12T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋1 ＝1＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12
－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1 ＝32－n ＋32
n ＋1， 因此T n ＝3－
n ＋32n ， T n －5n 2n ＋1＝3－n ＋32n －5n 2n ＋1
＝n ＋32n －2n －12n 2n ＋1， 于是确信T n 与5n 2n ＋1
的大小关系等价于比较2n 与2n ＋1的大小， 由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；25＞2×5＋1；… 可猜想当n ≥3时，2n ＞2n ＋1，证明如下： 方式一：①当n ＝3时，对上式验算显示成立． ②假设当n ＝k 时成立，那么n ＝k ＋1(k ≥2)时， 2k ＋1＝2·2k ＞2(2k ＋1)＝4k ＋2＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)＞2(k ＋1)＋1， 因此当n ＝k ＋1时猜想也成立．
综合①②可知，对一切n ≥3的正整数，都有2n ＞2n ＋1. 方式二：当n ≥3时，
2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n
＝2n ＋2＞2n ＋1，
综上所述，当n ≥3时，T n ＞5n
2n ＋1
. (3)因为c n ＝3n ＋－1n －1λ·n a n ＝3n ＋(－1)n －1λ·2n ，
因此c n ＋1－c n ＝[3n ＋1＋(－1)n λ·2n ＋1]－[3n ＋(－1)n －1λ·2n ] ＝2·3n －3λ(－1)n －1·2n ＞0， 因此(－1)n －1·λ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1.① 当n ＝2k －1(k ＝1,2,3，…)时，①式即为λ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫322k －2，② 依题意，②式对k ＝1,2,3，…都成立，因此λ＜1，
当n ＝2k ，k ＝1,2,3，…时，①式即为λ＞－⎝ ⎛⎭
⎪⎫322k －1，③ 依题意，③式对k ＝1,2,3，…都成立，
因此λ＞－32，因此－32
＜λ＜1，又λ≠0， 因此存在整数λ＝－1，使得对任意n ∈N *有c n ＋1＞c n .。