定积分的简单应用【VIP专享】

若两曲线的相对位置关系在不同的区间上不一样，需要利用定积
分的区间可加性性质分段求解。两条或两条以上曲线围成的图形，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，确定积分 上、下限。
解由: 题意知阴影部分的面积是:
S=10(x2 2 3x)dx 12(3x x2 2)dx
(1 3
x3
2x
3 2
x2 )
|10
( 3 2
x2
1 3
x3
2x)
|12 1
技能拓展：因两曲线的相对位置关系在不同的区间上不一样，需要利用定积分的区 间可加性性质分段求解。
综合方法·解题能力
名师解题
综合方法 3 定积分法求物体变速运动的路程
综合方法 3
由定积分的物理意义知作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的
基础知识·基本技能 基础知识 1 求平面图形的面积 由定积分的概念知：求曲边梯形的面积由三条直线
x a, x b(a b) ， x 轴及一条曲线 y f (x) 围成的曲边梯的
b
b
面积 s= f (x) dx 。(1)若在[a,b]上 f (x) >0 则 s f (x)dx
a
a
b
(2) 若在[a,b]上 f (x) <0 则 s f (x)dx a
第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置 第四步：计算定积分，求出平面图形面积
基础知识 2 变力作功 一物体在恒力 F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体
沿着与 F 相同的方向移（单位：m)，则力 F 所作的功为 W=Fs。如 果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从 x =a 移动到 x=b (a<b) ，与求曲边梯形的面 积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作
所以
SA = 5t02 5 =130 (m)
基本技能 4 由两条曲线围成的图形的面积
由两条曲线 y f ( x)中 y g( x)(中中 f ( x) g( x)中 与直线 x a, x b(a b) 所围成的曲边梯形的面积：
基本技能 4
例 4. 求由曲线 y x2 2 与 y 3x ， x 0 ， x 2 所围成的平面图形的面积。
1.7 定积分的简单应用
课标考纲解读 夺冠学习方略
1 会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积. 2. 理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法; 3. 掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图 形的面积。 4 会用定积分解决简单的物理问题.
1.在定积分几何意义的基础上，会应用定积分解决曲线围成的平面图形的面积； 2. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理； 3. 会用定积分解决简单实际问题，在解决问题的过程中体会定积分的价值； 4. 求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题
利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：
第一步：画出图形，确定图形范围
第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限
名师解题 基础知识 1
例 1。求由抛物线 y2 8x( y 0) 与直线 x y 6 及 y 0 所围成图形的面积.
解析：作出 y2 8x( y 0) 及 x y 6 的图
遇？相遇时物体 A 的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s） 解析：属于变速直线运动，应该用定积分的物理意义来解。
解：设 A 追上 B 时,所用的时间为 t0 依题意有 SA SB 5
即
t0 (3t2 1)dx t0 10tdx 5
0
0
t03 t0 5t02 5 t0 (t02 1) 5(t02 1) t0 =5 (s)
0
3
3
3
0
故把弹簧从平衡位置拉长13cm 时所做的功为 16.9 ； 3
点拨：本题的求解有两个步骤，其一是求函数的解析式；其二是求变力所作的
功；两个步骤缺一不可，而前一个步骤又是容易忽略的。
基础知识 3
例 3.物体 A 以速度 v 3t 2 1 在一直线上运动，在此直线上与物体 A 出发的同时，
物体 B 在物体 A 的正前方 5m 处以 v 10t 的速度与 A 同向运动，问两物体何时相
具体地函数式，即得到了拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度之间的关系。因此：
解：设拉伸弹簧所用的力为 F ，弹簧伸长的长度为 x ，则 F kx ，由
x 0.03m 时， F 20N ，即 20 0.03k ，得 k 2000 ，那么 F 2000x
3
3
由变力作功公式，得W 0.13 2000x dx 1000x2 0.13 16.9 ；
用定积分物理意义不同，应细心体会. 综合方法 4
例 6.在曲线 y x 2 （x≥0）上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积
微分是速度，速度的积分是路程；速度的微分是加速度，加速度 的积分是速度；并能进一步体会微分与积分互逆运算关系。
求出 t ，再据 v 和 t 应用定积分计算出路程. 解：已知列车的速度 v0 72km / h 20m / s ，列车制动时获得的加速度
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线0生高不产中仅工资22艺料22高试可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料22荷试，下卷而高总且中体可资配保料置障试时23卷，23调需各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看2工且55作尽22下可2都能护1可地关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编5试求写、卷技重电保术要气护交设设装底备备4置。高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并3设试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
形如右：
y2 8x
x 2
解方程组
x
y
6
0
得
y
4
x y 6 0 x 6
解方程组
y
0
得
y
0
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线0生高不产中仅工资22艺料22高试可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料22荷试，下卷而高总且中体可资配保料置障试时23卷，23调需各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看2工且55作尽22下可2都能护1可地关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编5试求写、卷技重电保术要气护交设设装底备备4置。高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并3设试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
b
S中 | f (x)中 g(x) | dx 。 中 f (x) g(x) 则 a
解析：画准函数图象，明确函数图像的相对位置关系。
S中中 b f (x) a
g ( x) dx
中 f (x) g(x) 则 S中中 b g(x) f (x)dx 。即有两条曲线围成的 a
图形的面积等于在 x 的区间上，上方的曲线函数减去下方的函数，
所求图形的面积 s
2 0
8xdx
6 2
(6
x)dx
=
2
2 3
3
x2
|02
(6x
1 2
x2 )
|62
40 3
基础知识 2
例 2.一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比，如果
20N 的力能使弹簧伸长 3cm ，求把弹簧从平衡位置拉长13cm （在弹性限度内）时
所做的功。
解析：由正比例关系，再结合“如果 20N 的力能使弹簧伸长 3cm ”可以求出
0
0
综合方法 4 方程的思想
b
定积分的运算公式：微积分基本定理 f (x)dx F (b) F (a) a
知定积分的结果是一个关于 f (x) 的原函数 F (x) 的代数式。
若积分上限或下限不确定则定积分的结果便可以看成一个关 于以积分上限或下限的未知量为变量的一个函数。
∴列车应在到站前 50s，离车站 500m 处开始制动． 方法点拨：利用定积分由加速度求出物体运动的速度是关键。在本题中两次使
b
定积分，即 s v(t)dt ，注意正确求解积分的上下限。路程的 a
例 5.列车以 72km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度 a 0.4m / s2 ，问列车应 在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？ 解析：因列车停在车站时，速度为０，故应先求速度的表达式，之后令 v 0 ，
b
功问题．可以得到W F (x)dx a
基础知识 3 求变速直线运动的路程 我们知道一物体以速度 v 在时间 t 内做匀速直线运动，物体所经 过的路程 s=vt；作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其 速度函数 v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，
b
即 s v(t)dt a
a 0.4m / s2 ．设列车由开始制动到经过 t 秒后的速度为 v ，则
t
t
v v0
adt 20
0
0.4dt 20 0.4t ．
0
令 v 0 得 t 50 （s）．
设列车由开始制动到停止时所走过的路程为 S ，则有
50
50
S vdt (20 0.4t)dt 500 （m）．