简单的三角恒等变换(经典导学案及练习答案详解)

§4.4 简单的三角恒等变换 学习目标 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α. (2)公式C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.
(3)公式T 2α：tan 2α＝2tan α
1－tan 2α.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin 2α2，1＋cos α＝2cos 2α
2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α
2±cos α
22.(升幂公式)
(3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan 2α＝1
－cos 2α
1＋cos 2α.(降幂公式)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos α
sin α.( √ )
(2)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ
2的值为15
5.( × )
(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．(
√
) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )
教材改编题
1．sin 15°cos 15°等于( )
A ．－1
4 B.1
4 C ．－1
2 D.1
2
答案 B
解析 sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝1
4.
2．化简1＋cos 4的结果是( )
A ．sin 2
B ．－cos 2
C.2cos 2 D ．－2cos 2 答案 D 解析 因为1＋cos 4＝2cos 22，
又cos 2<0，所以可得选项D 正确． 3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α等于( ) A ．－22 B ．2
C ．－13
D ．－12 答案 D 解析 由tan(π＋2α)＝－43
， 得tan 2α＝－43
， 又tan 2α＝2tan α1－tan 2α
＝－43， 解得tan α＝－12
或tan α＝2， 又α是第二象限角，所以tan α＝－12. 题型一 三角函数式的化简
例1 (1)(2021·全国甲卷)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α
，则tan α等于( ) A.1515 B.55 C.53 D.153
答案 A
解析 方法一 因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α
， 且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α
，解得sin α＝14.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515
. 方法二 因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin α
cos α1－sin 2αcos 2α
＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α
，
解得sin α＝14.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＝154，tan α＝sin α
cos α＝15
15.
(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋1
22tan ⎝⎛⎭⎫π
4－x ·sin 2⎝⎛⎭
⎫x ＋π
4＝
.
答案 1
2cos 2x
解析 原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋1
22tan ⎝⎛⎭⎫π
4－x ·sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π
4
＝12cos 2
2x
2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x cos x 1＋sin x cos x
·
1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22
＝12cos 2
2x
cos 2x －sin 2x
＝12cos 2x .
教师备选
1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于(
) A.5
3 B.23 C.13 D.5
9
答案 A
解析 由3cos 2α－8cos α＝5，
得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，
即3cos 2α－4cos α－4＝0，
解得cos α＝－2
3或cos α＝2(舍去)．
又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－2
32＝5
3.
2．已知0<θ<π，则(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭
⎫
sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝ .
答案 －cos θ
解析 原式＝⎝
⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2
＝cos θ2·⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪
⎪cos θ2 ＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪
⎪cos θ2. 因为0<θ<π，
所以0<θ2<π2，所以cos θ2
>0， 所以原式＝－cos θ.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
跟踪训练1 (1)21＋sin 4＋2＋2cos 4等于( )
A ．2cos 2
B ．2sin 2
C ．4sin 2＋2cos 2
D ．2sin 2＋4cos 2
答案 B
解析 21＋sin 4＋2＋2cos 4 ＝2sin 22＋2sin 2cos 2＋cos 22＋2＋2(2cos 22－1) ＝2(sin 2＋cos 2)2＋4cos 22 ＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.
∵π2
<2<π， ∴cos 2<0，
∵sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2＋π4，0<2＋π4
<π， ∴sin 2＋cos 2>0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2. (2)化简tan 27.5°＋1tan 27.5°－7sin 27.5°＋cos 27.5°
等于( ) A.33 B.233
C. 3
D ．2
答案 B
解析 原式＝tan 27.5°＋1tan 27.5°－8sin 27.5°＋1 ＝sin 27.5°＋cos 27.5°sin 27.5°－8sin 27.5°cos 27.5°＋cos 27.5°
＝11－2sin 215°＝1cos 30°＝233
. 题型二 三角函数式的求值
命题点1 给角求值
例2 (1)sin 40°(tan 10°－3)等于( )
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
答案 D
解析 sin 40°·(tan 10°－3)
＝sin 40°·⎝⎛⎭
⎫sin 10°cos 10°－3 ＝sin 40°·sin 10°－3cos 10°cos 10°
＝sin 40°·2⎝⎛⎭⎫12sin 10°－32cos 10°cos 10°
＝sin 40°·2(cos 60°·sin 10°－sin 60°·cos 10°)cos 10°
＝sin 40°·2sin (10°－60°)cos 10°
＝sin 40°·－2sin 50°cos 10°
＝
－2sin 40°·cos 40°cos 10° ＝－sin 80°cos 10°
＝－1. (2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ .
答案 －18
解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°
＝－12sin 40°·cos 40°·
cos 80°sin 20°
＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°
＝－18
sin 160°sin 20°
＝－18sin 20°sin 20°＝－18.
命题点2 给值求值
例3 (1)若cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( )
A.29 B ．－29
C.79 D ．－79
答案 C
解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13.
∴cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α
＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13，
∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α
＝1－29＝79.
(2)(2022·长春质检)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋3cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6等于(
) A.23 B.29 C ．－19 D ．－79
答案 D
解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋3cos α＝13，
∴sin αcos π3－cos αsin π3＋3cos α＝13，
∴12sin α－3
2cos α＋3cos α＝1
3， ∴12sin α＋32cos α＝1
3，
∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π6＋π2 ＝cos 2⎝⎛⎭
⎫α－π6 ＝2cos 2⎝⎛⎭
⎫α－π6－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫132－1
＝－79
. 命题点3 给值求角
例4 已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314
，则cos 2α＝ ，2α－β＝ . 答案 17 π3
解析 因为cos α＝277
， 所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17
. 又因为α，β均为锐角，sin β＝3314
， 所以sin α＝217，cos β＝1314
， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝437
， 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝437×1314－17×3314＝32
. 因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<π2
， 又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2
， 又sin(2α－β)＝
32，所以2α－β＝π3
. 教师备选
1.cos 40°cos 25°1－sin 40°的值为( ) A ．1 B. 3 C. 2 D ．2
答案 C
解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)
＝
cos 20°＋sin 20°cos 25° ＝2cos 25°cos 25°
＝ 2. 2．已知A ，B 均为钝角，且sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，sin B ＝1010
，则A ＋B 等于( ) A.3π4
B.5π4
C.7π4
D.7π6
答案 C 解析 因为sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510
， 所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510
， 即12－32sin A ＝5－1510
， 解得sin A ＝55， 因为A 为钝角，
所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－
1－⎝⎛⎭⎫552 ＝－255
. 由sin B ＝1010
，且B 为钝角， 得cos B ＝－1－sin 2B ＝－
1－⎝⎛⎭⎫10102 ＝－31010
. 所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22. 又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，
所以A ＋B ∈(π，2π)，
所以A ＋B ＝7π4
.
3．已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝
⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案 4－3310
解析 由题意可得
cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110
， cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45
， 即sin 2θ＝45
. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2， 所以0<θ<π4
，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式，
可得cos 2θ＝35
， 由两角差的正弦公式，可得
sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3
＝45×12－35×32＝4－3310
. 思维升华 (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
跟踪训练2 (1)(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.255
答案 B
解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.
因为α∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α， 所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，
解得sin α＝55
. (2)(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12
等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32
答案 D
解析 因为cos 5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－5π12＝sin π12
， 所以cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12
＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＝cos π6＝32
. (3)已知sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝13
，则sin 2x ＝ . 答案 －13
解析 ∵sin 2⎝⎛⎭
⎫x ＋π4＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22
＝1＋sin 2x 2＝13， ∴sin 2x ＝－13
. 题型三 三角恒等变换的综合应用
例5 (2022·河南中原名校联考)已知函数f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6－ 3. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，且f (α)＝65
，求cos 2α. 解 (1)f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6－ 3 ＝4cos x ⎝⎛⎭
⎫32cos x －12sin x － 3 ＝23cos 2x －2sin x cos x － 3
＝3(1＋cos 2x )－sin 2x － 3
＝3cos 2x －sin 2x
＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，
解得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )． (2)由于α∈⎣⎡⎦
⎤0，π2， 且f (α)＝65
， 而f (α)＝2cos ⎝
⎛⎭⎫2α＋π6＝65， 所以cos ⎝
⎛⎭⎫2α＋π6＝35， 因为0≤α≤π2
， 所以π6≤2α＋π6≤7π6
， 则π6≤2α＋π6≤π2
， 所以sin ⎝
⎛⎭⎫2α＋π6＝45， 则cos 2α＝cos ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6cos π6
＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6sin π6 ＝35×32＋45×12
＝33＋410
. 教师备选
已知函数f (x )＝24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64
cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . (1)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，3π2上的最值；
(2)若cos θ＝45
，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值． 解 (1)由题意得
f (x )＝
24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22×⎣⎡⎦
⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－
22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12.
因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2，
所以x －7π12∈⎣⎡⎦
⎤－π3，11π12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12∈⎣⎡⎦
⎤－32，1， 所以－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12∈⎣⎡⎦
⎤－22，64， 即函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，3π2上的最大值为64，最小值为－22
. (2)因为cos θ＝45
，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 所以sin θ＝－35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425
， cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ
＝1625－925＝725
， 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－22
sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－7π12 ＝－22
sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4 ＝－12
(sin 2θ－cos 2θ) ＝12
(cos 2θ－sin 2θ) ＝12×⎝⎛⎭
⎫725＋2425 ＝3150
. 思维升华 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
跟踪训练3 (2022·云南曲靖一中质检)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2
＋sin x 2，2sin x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2
－sin x 2，3cos x 2，函数f (x )＝a·b . (1)求函数f (x )的最大值，并指出f (x )取得最大值时x 的取值集合；
(2)若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，f (β)＝65，求f ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值． 解 (1)f (x )＝cos 2x 2－sin 2x 2＋23sin x 2cos x 2
＝cos x ＋3sin x
＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6， 令x ＋π6＝π2
＋2k π(k ∈Z )， 得x ＝π3
＋2k π，k ∈Z ， ∴f (x )的最大值为2，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪x ＝π3＋2k π，k ∈Z . (2)由α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213
， 得sin(α＋β)＝513
， ∵0<β<π2，∴π6<β＋π6<2π3
， 又f (β)＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝65
， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝35∈⎝⎛⎭
⎫12，22， ∴π6<β＋π6<π4
，∴cos ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝cos ⎣⎡⎦
⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β＋π6 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β＋π6＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝6365
， ∴f ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2
＋α－π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12665
. 课时精练
1．已知tan α＝3，则cos ⎝
⎛⎭⎫2α＋π2等于( )
A ．－32 B.35
C ．－35 D.15
答案 C
解析 cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2sin αcos α
＝－2sin αcos α
cos 2α＋sin 2α
＝－2tan α
1＋tan 2α＝－2×31＋32＝－35.
2．(2022·安庆模拟)已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan θ＝2，则cos 2θ等于( )
A ．－23 B.2
3
C ．－1
3 D.1
3
答案 C
解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ
cos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－1
3.
3．(2022·威海模拟)tan 67.5°－1
tan 67.5°的值为( )
A ．1 B. 2 C ．2 D ．4
答案 C
解析 tan 67.5°－1
tan 67.5°＝sin 67.5°
cos 67.5°－1sin 67.5°cos 67.5°＝sin 67.5°
cos 67.5°－cos 67.5°
sin 67.5°
＝sin 267.5°－cos 267.5°sin 67.5°cos 67.5°＝－cos 135°
12sin 135°
＝2.
4．(2022·黑龙江大庆中学模拟)若cos(30°－α)－sin α＝1
3，则sin(30°－2α)等于(
) A.1
3 B ．－1
3 C.7
9 D ．－7
9
答案 D
解析 由cos(30°－α)－sin α＝1
3， 得32cos α－12sin α＝1
3，
即cos(30°＋α)＝13
， 所以sin(30°－2α)＝cos(60°＋2α)
＝2cos 2(30°＋α)－1＝2×19
－1 ＝－79
. 5．(多选)已知f (x )＝12
(1＋cos 2x )sin 2x (x ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期T ＝π2
B ．f (x )是偶函数
C ．f (x )的最大值为14
D ．f (x )的最小正周期T ＝π
答案 ABC
解析 ∵f (x )＝14
(1＋cos 2x )(1－cos 2x ) ＝14
(1－cos 22x ) ＝14
sin 22x ＝18
(1－cos 4x )， ∴f (－x )＝18
[1－cos 4(－x )] ＝18
(1－cos 4x )＝f (x )， T ＝2π4＝π2
， f (x )的最大值为18×2＝14
， 故A ，B ，C 正确，D 错误．
6．(多选)下列各式中，值为12
的是( ) A ．cos 2π12－sin 2π12
B.tan 22.5°1－tan 222.5°
C ．2sin 195°cos 195°
D.1＋cos π62
答案 BC
解析 cos 2π12－sin 2π12
＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12 ＝cos π6＝32
， 故A 错误；
tan 22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan 22.5°1－tan 222.5
＝12tan 45°＝12
，故B 正确； 2sin 195°cos 195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12
， 故C 正确； 1＋cos π62＝2＋34＝2＋32≠12
， 故D 错误．
7．求值：3－tan 12°(2cos 212°－1)sin 12°
＝ . 答案 8 解析 原式＝3－sin 12°cos 12°cos 24°sin 12°
＝
3cos 12°－sin 12°cos 24°sin 12°cos 12° ＝2sin (60°－12°)14sin 48°＝2sin 48°14sin 48°＝8. 8．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35
，则sin 2α＝ . 答案 －725
解析 方法一 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，
∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭
⎫π2－2α ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α
＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1 ＝2×925－1＝－725. 方法二 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22(sin α＋cos α)＝35
， ∴12(1＋sin 2α)＝925
， ∴sin 2α＝2×925－1＝－725
. 9．(2022·杭州模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x ·cos x .
(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；
(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝115，α∈⎝⎛⎭
⎫0，π3，求cos α的值． 解 (1)因为f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x
＝1＋cos 2x ＋3sin 2x
＝1＋2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝1＋2sin ⎝⎛⎭
⎫2π3＋π6 ＝1＋2sin 5π6
＝1＋1＝2. (2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝115，α∈⎝⎛⎭
⎫0，π3， 得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35
， cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45
， 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6
＝43＋310
. 10．如图，点P 在以AB 为直径的半圆上移动，且AB ＝1，过点P 作圆的切线PC ，使PC ＝
1.连接BC ，当点P 在什么位置时，四边形ABCP 的面积等于12
解 设∠P AB ＝α，连接PB .
∵AB 是圆的直径，∴∠APB ＝90°.
又AB ＝1，∴P A ＝cos α，
PB ＝sin α.
∵PC 是圆的切线，∴∠BPC ＝α.
又PC ＝1，
∴S 四边形ABCP ＝S △APB ＋S △BPC ＝12P A ·PB ＋12PB ·PC ·sin α ＝12cos αsin α＋12
sin 2α ＝14sin 2α＋14
(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14
＝24sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋14， 由已知，得
24sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋14＝12， ∴sin ⎝
⎛⎭⎫2α－π4＝22， 又α∈⎝⎛⎭
⎫0，π2， ∴2α－π4∈⎝⎛⎭
⎫－π4，3π4， ∴2α－π4＝π4
， ∴α＝π4，故当点P 位于AB 的垂直平分线与半圆的交点时，四边形ABCP 的面积等于12
.
11．(2022·昆明一中模拟)已知m ＝2sin 18°，若
m 2＋n ＝4，则1－2cos 2153°m n
等于( ) A ．－14
B ．－12 C.14
D.12 答案 B
解析 因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，
所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°， 因此1－2cos 2153°m n
＝
－cos 306°2sin 18°·2cos 18° ＝
－cos 54°2sin 36° ＝－sin 36°2sin 36°
＝－12
. 12．(2022·杭州模拟)“－π4≤θ≤π12”是“3cos 2θ－12sin 2θ≥1＋32
”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由3cos 2θ－12sin 2θ＝32cos 2θ－12sin 2θ＋32≥1＋32
， 得cos ⎝
⎛⎭⎫2θ＋π6≥12， 所以－π4＋k π≤θ≤π12
＋k π(k ∈Z )， 因此“－π4≤θ≤π12”是“3cos 2θ－12sin 2θ≥1＋32
”的充分不必要条件． 13．在平面直角坐标系Oxy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边
交单位圆O 于点P (a ，b )，且a ＋b ＝75
，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2的值是 ． 答案 －2425
解析 由任意角的三角函数的定义得，sin α＝b ，
cos α＝a .
又a ＋b ＝75，∴sin α＋cos α＝75
， 两边平方可得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝4925， 即1＋sin 2α＝4925，∴sin 2α＝2425
.
∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2425. 14．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ． 答案 －3π4
解析 ∵tan α＝tan [(α－β)＋β]
＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β
＝12－171＋12×17
＝13>0， 且α∈(0，π)，∴0<α<π2
. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭
⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2
. ∵tan β＝－17
<0，β∈(0，π)， ∴π2
<β<π， ∴－π<2α－β<0.
∵tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×1
7
＝1， ∴2α－β＝－3π4
.
15．函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝⎛⎭
⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为 ． 答案 2
解析 因为f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|
＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，x >－1，
所以函数f (x )的零点个数为函数y ＝sin 2x (x >－1)与
y ＝|ln(x ＋1)|(x >－1)图象的交点的个数，作出两函数的图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．
16.如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？
解 如图，连接OB ，设∠AOB ＝θ，
则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点O 对称，
所以AD ＝2OA ＝40cos θ.
设矩形ABCD 的面积为S ，
则S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2， 所以当sin 2θ＝1，
即θ＝π4
时，S max ＝400 m 2. 此时AO ＝DO ＝10 2 m.
故当点A ，D 到圆心O 的距离为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2.。