2021年高三数学下学期四月月考 文(含解析)

2021年高三数学下学期四月月考文（含解析）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为集合，，所以。

2.已知，β表示两个不同的平面，l为内的一条直线，则“//β是“l//β”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若//β，且l为内的一条直线，则l//β；但l//β，且l为内的一条直线，不一定有//β。

因此选A。

3．已知复数（是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为复数（是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，所以，又因为，所以。

4．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，再将图象向右平移个单位，得到函数
，其函数的对称轴为，所以应该选A。

5．下列命题中，真命题是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A．错误； B．，错误；
C．错误；
D．正确。

6． 等比数列中，公比，记（即表示 数列的前项之积）， ，，，中值为正数的个数是 A ． B ． C ． D ． 【答案】B
【解析】因为，公比，
所以数列中的奇数项为正的，偶数项为负的， 所以 ，，，中值为正数的 是 和。

7．某几何体的三视图如右图所示，则其侧面积为 A ． B ． C ． D ． 【答案】A
【解析】由三视图知：该几何体四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，其中直角梯形的上下底分别为1和2，髙为1，四棱锥的髙为 1 ，所以该几何体的侧面积为
11113261121213222222
S ++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=。

8．阅读右侧程序框图，输出的结果的值为 A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】第一次循环：；
第二次循环：；
第三次循环：； 第四次循环：；
第五次循环：； 第六次循环：； 第七次循环：； 第八次循环：；…… ……
由此看出S 得值为以6为周期的周期数列， 所以最后一次循环：第xx 次循环：，因此选C 。

9．在区间和分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为 A ． B ． C ． D ．
【答案】B
【解析】因为方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆，∴a ＞b ＞0，a ＜2b ，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：
则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的概率为
因此选B.
开始
s= 0 ,n= 1
是 否 n n = +1
输出 s 结束 3 1 0 2 ≤ n 3 = s + s sin
10．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是
A. B． C． D.
【答案】D
【解析】画出函数
的图像，如图所示：
不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足＜x1＜0；
.
则x1+x2+x3的取值范围是：+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈
.
第Ⅱ卷非选择题（共100分）
11.若，θ为第二象限角，则tan2θ= ；
【答案】
【解析】因为，θ为第二象限角，所以，所以，所以tan2θ=。

12．在斜二测画法中，一个平面图形的直观图是边长为2的正三角形，则其面积为______；【答案】
【解析】∵三角形在其直观图中对应一个边长为2正三角形，∴直观图的面积是
，由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系
∴原三角形的面积为。

13.向量，若，则实数等于；
【答案】5
【解析】因为向量，若，所以。

14. 已知直线和圆,则与直线和圆都相切且半径最小的圆的标准方程是_________．
【答案】
【解析】圆：的圆心C（6，6），半径r=，圆心C（6，6）到的距离：与直线和圆都相切的半径最小的圆的圆心在过C与垂直的直线l上，所求圆的半径直线l：y-6=x-6，即y=x，设所求圆方程为：，解方程组：
得与l的交点（1，1），解方程：（a-1）2+（a-1）2=2，得a=2，或a=0不符合已知条件，舍去．∴所求圆方程为：．
15．（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为 (为参数)，圆的参数方程为 (为参数), 则圆心到直线的距离为_________．
【答案】
【解析】直线和圆C的直角坐标方程分别为：，，所以圆心到直线的距离为。

B. (几何证明选讲)如图，是圆外一点，过引圆的两条割线、，，，则_________．
【答案】2
【解析】
因
为,(3),2
PA PB PC PD PC PC PC
⋅=⋅=⋅+=
所以。

C.（不等式选讲）若不等式对任意的实数恒成立，则实数的
取值范围是_________．
【答案】 (-∞，0)∪{2}
【解析】易知函数
的最小值为4，所以要使
对任意的实数恒成立，需，解得。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分）
PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．
古城西安地区2013年3月6日至I5日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．
（Ⅰ）计算这10天PM2．5数据的平均值并判断其是否超标;
（Ⅱ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率
（III）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率．
17.（本小题满分12分）
某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救. （注：方位角定义:从某点的正北方向起,顺时针方向旋转到目标方向的角）
（I ）求舰艇靠近渔轮所需的时间；
（II ）设舰艇的航向与的夹角为，求的正弦值．
18．(本题满分12分)
已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列，是和的等比中项. （I ）求数列的通项公式； （II ）求数列的前项和.
19. （本小题满分12分）
如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点． （I ）求证：//平面； （II ）求证：；
（III ）求三棱锥的体积．
20.（本小题满分13分） 已知圆C ： ，直线L ：.
（I ）求证：对m ，直线L 与圆C 总有两个交点；
（II ）设直线L 与圆C 交于点A 、B ，若|AB|= ，求直线L 的倾斜角；
（III ）设直线L 与圆C 交于A 、B ，若定点P(1,1)满足 ,求此时直线L 的方程. 21．（本小题满分14分）
（I ）求m 、n 的值；
（II ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；
如果不存在，请说明理由；
（III ）求证：)0,(),21
(2|)(cos )(sin |>∈+
≤+t x t
t f x f x f R .
16、铁一中模拟考试数学（文）参考答案及评分标准
一、选择题
CABAD BACBD
二、填空题
11、 12、 13、5 14、
15、A、 B、 (-∞，0)∪{2} C、2
三、解答题
16.本题满分12分
事件B，事件B包含8个基本事件，…………………………10分
P（B）= .……………………………………12分
17.解：，……………………3分
……………………………6分
……………………………………………9分
或（舍）…………………………………11分
舰艇靠近渔轮的时间为，………………12分
18.（I）解：∵是公比为的等比数列，
∴. …………… 1分
∴.
从而，. …………… 3分
∵是和的等比中项
∴，解得或. …………… 4分
当时，，不是等比数列，…………… 5分
∴1.
∴. …………… 6分
8
当时，. …………… 7分 ∵符合，
∴. …………… 8分 （II ）解：∵， ∴1211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯+
+.①
1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯+
+.② ………… 9分
①②得 ………… 11分
. ∴. …………… 12分 19. 解（I ）连结，在中，、分别为，的中点，则
∵EF 为中位线…………2分
而面，面
面…………4分
（II ）等腰直角三角形BCD 中，F 为BD 中点
①…………5分 正方体 ，
②…………7分 综合①②，且 ，而，
…………………………………………………8分 （III ）由（2）可知
即CF 为高 ，…………10分
，222211(2)26B F BF BB =
+=+=
222211111(22)3B E B D D E =+=+=
∴ 即
∴…………12分
=…………12分
解法二：如图，过点C做CD⊥AB于D，设|AP|=t,则|PB|=2t,|AD|=1.5t, |PD|=0.5t.
在Rt△CDP中，
有 CP2=CD2+PD2，得CD2=1-(0.5t)2
在Rt△CDA中, CD2=5- 所以，t= ,
从而，CD= ，设直线AB方程为，
，解得，。