2020年吉林省吉林高三数学下册第一次模拟试题2

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注意事项：
1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上；
2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上； 3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

作答时请写清楚题号。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知AP 是圆O 的切线，P 为切点，AC 是圆O 的割线，与圆O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点. （Ⅰ）证明：A P O M ，，，四点共圆；（Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小.
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为4cos 3sin x y ϕ
ϕ=⎧⎨
=⎩
(ϕ为参数)，以坐
标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极
坐标方程为2cos ρθ=.
（Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点M 是曲线1C 上任意一点，点N 是曲线2C 上任意一点，求||MN 的取值范围.
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设()|1|2|1|
f x x x
=--+的最大值为m.
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若(0)
a b c∈+∞
，，，，
22
2
2
a c
b m
+
+=，求ab bc
+的最大值.
注意事项：
1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上；
2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上； 3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（客观题60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）已知一元二次不等式()0f x <的解集为{|1x x <-或1}3
x >，则()0
x f e >的解集为
（A ）{|1x x <-或ln3}x >- （B ）{|1ln3}x x -<<- （C ）{|ln3}x x >- （D ）{|ln3}x x <-
解析：D
（2）若2i 1i z -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为
（A ）13i 2
2
+
（B ）13i 2
2
-+ （C ）33i 2
2
+ （D ）
33i 22
- 解析：A.
（3）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
（A ）ln y x =
（B ）21y x =+
（C ）sin y x =
（D ）
一心为展凌云翼，三载可化大鹏飞
吉大附中高中部2015-2016学年下学期
高三年级第一次模拟考试数学（理科）答案
cos y x =
解析：D.
（4）两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A ={至少有一枚骰子6点向
上}，B ={两枚骰子都是6点向上}，则(|)P B A = （A ）16
（B ）
136
（C ）
112
（D ）111
解析：D.
有一枚骰子6点向上的概率为551116636-
⨯=
，两枚骰子都是6点向上的概率为111
6636
⨯=，故有一枚骰子6点向上的条件下，另一枚骰子也是6点向上的概率是1
1
36111136
=.
（5）执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（A
（B
）（C ）12
（D ）12
-
解析：7k =，71sin 6
2
S π
==-
. （6）下列命题：
①“若a b ≤，则a b <”的否命题；
②“若1a =，则230ax x -+≥的解集为R ”的逆否命题； ③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；
④“
为有理数，则x 为无理数”的逆否命题. 其中真命题序号为（B ）
（A ）②④ （B ）①②③ （C ）②③④ （D ）①②③④
解析：B ，逆命题为真，故否命题为真；“若1a =，则230ax x -+≥的解集为R ”原命题为真，故逆否命题为真；“面积相等的圆周长相同”为
真；“
为有理数，则x 为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题
为假.
（7）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构
造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（B ）
（A ）
（B ）（C ）
（D ）直观图
解析：俯视图是正方形，曲线在其上面的投影恰为正方形的对角线，选B ．
（8）已知向量(12)(321)x y =+=-，，，，m n 若m ⊥n ，则8x +16y 的最小值为（A ）（A
（B ）4 （C ）
（D ）解析：由m ⊥n ，得3(x ＋1)＋2(2y －1)＝0，即3x ＋4y ＝－1，则8x +16y
?28x ·16y ＝223x ·24y ＝223x ＋4y ＝2，当且仅当8x ＝16y
，即x ＝－16，y ＝－1
8时，等号成立，故8x ＋16y 的最小值为 2. 解析：A.
（9）sin()πα-=且3()2
παπ∈，，则sin()2
2
πα+=
（A ）（B ）（C （D ）
解析：B.
sin()sin παα-==3()2
παπ∈，，所以2cos 3
α==-
. 由23cos 2cos 1()2
2
2
4
ααππα=-∈，，得
sin()cos 222παα===+
（10）三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为8π，则三棱柱111ABC A B C -的最大体积为
（A ）
2
（B ）3
（C ）
（D ）4 解析：A.
（11）设A B 、为抛物线2
2(0)y px p =>上相异两点，则22
||||OA OB AB +-u u u r u u u r u u u r 的
最小值为
（A ）24.p - （B ）23.p - （C ）22.p -
（D ）
2.p -
解析：A ，设()().A A B B A x y B x y ，，，则22||||4()A B A B OA OB AB x x y y +-=+u u u r u u u r u u u r
，若直线
AB 斜率存在设为()y k x a =-，联立得222222()0k x ak p x k a -++=，
则2A B x x a =，2()()2.A B A B y y k x a x a ap =--=-
222222||||4(2)4[()]4.OA OB AB a ap a p p p +-=-=---u u u r u u u r u u u r
?
若直线不存在，当
A B A B x x a y y ===-=，时上式也成立.故所求最
小值为24.p -
当且仅当直线AB 过点(0)p ，时等号成立.
（12）设函数()|lg(1)|f x x =+，满足
1
()()2
b f a f b +=-
+，10(1)6(2)14lg 2f a b +++-=（
），其中 a b a b ∈<R 且，，，则a b +的值为
（A ）0 （B ）115
（C ）1115
-
（D ）1-
解析：C.
第Ⅱ卷 (非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
（13）设371152α⎧
⎫
∈-⎨⎬⎭
⎩，
，，，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 . 解析：：
3
15
，（14）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为 .
解析：840÷42＝20，把1，2，…，840分成42段，不妨设第1
段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20，1≤l ≤20，1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25120
l -+≤k ≤3720
l
-
.由1≤l ≤20，则
25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个．
（15）我校有4名青年教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，则恰有1道题没有被这4位选中的情况有种.
解析：首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为34C ，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为24C ，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为33A ，即满足题意的情况共有323443144C C A =种.
（16）已知点
0)A 和曲线y x =
剟上的点12n P P P L ，
，，.若
12||||||n P A P A P A L ，
，，成等差数列且公差1(5
d ∈，则n 的最大值为
______.
解析：题设的曲线是如下双曲线的一段，即
2
211(20)4
x y x y -=剟?.0)A 是它的右焦点，
（其中直线l 为
右准线
x =，点2)P ，离心率e .易知min ||2n P A =，
max ||||3n P A e PH ==
=.依题意，可设等差数列的第一项
12a =，第n 项3n a =，则32)(1)n d
=+-.得1)d n =>.由
题意，
1
5d <<，即
15<<.得
426n <<-.而
75 2.244=⨯-<.且26265 2.215--⨯=.则715n <<，故n 的最
大可取14.
三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）已知点*1()()n n P a a n +∈N ,是函数214
y x =在点
1(1)4,处的切线上的点，且112
a =．（Ⅰ）证明：1{}2
n a +是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
解析：（Ⅰ）证明：∵函数214
y x =的导数为12
y x '=，∴函数214
y x =在点1(1)
4
,处的切线斜率为12
．故函数
2
14
y x =在点
1(1)
4
,处的切线方程为11
(1)42
y x -
=-．………………………..….2分 ∵
点
P
在
此
切
线
上
，
∴111(1)4
2
n n a a +-=-．∴1111()2
2
2
n n a a ++=+．…………….……5分
∵112a =，∴102n a +≠．∴数列1{}2n a +是首项为1，公比为1
2
的等比数
列．….……6分
（Ⅱ
）
解：由（Ⅰ）知
111()22
n n a -+
=，
∴111()2
2
n n a -=-．………………….……..….10分 ∴
211111()()2222n n n S -=++++-L 111()122122212
n
n n n --=
-=---．………………….…
…12分（18）（本小题满分12分）
某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23
，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25
，中奖可
以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求3X ≤的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
解析：（Ⅰ）（法一）由已知得，小明中奖的概率为23
，小红中奖的概
率为25
，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分3X ≤”的事件为A ，
则事件A
的对立事件为
“5X =”，…………………………………………………...2分
因为224
(5)35
15P X ==⨯=
，所以11()1(5)15
P A P X ===－，即这
2
人的累计得分
3
X ≤的概率为
11
15
．………………………………………..….6分
（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X ．
由
已
知
可
得
，
12
~(2)
3
X B ,，
22
~(2)5
X B ,， (8)
分
所以124()233E X =⨯=，224()255
E X =⨯=，
从而
118
(2)2()3
E X E X ==
，
2212
(3)3()5
E X E X ==
．…………………………..…10分
因为12(2)(3)E X E X >，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．……………….12分
（法二）（Ⅰ）由已知得，小明中奖的概率为23
，小红中奖的概
率为25
，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分3X ≤”的事件为A ，
则事件A 包含有“0X =”，“2X =”，“3X =”三个两两互斥的事件，
因为
221
(0)(1)(1)355
P X ==-⨯-=
，
222
(2)(1)355
P X ==⨯-=
，
222
(3)(1)3515
P X ==-⨯=，
所以11()(0)(2)(3)15
P A P X P X P X ==+=+==，
即这
2
人的累计得分
3
X ≤的概率为11
15
．…………………………………………………..….6分
（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为1X ，都选择方案乙所获得的累计得分为
X X X
所以11()0249993E X =⨯+⨯+⨯=，
2912412
()0362525255
E X =⨯+⨯+⨯=
．……………………………………………………...….10分
因为12()()E X E X >，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．….12分
（19）（本小题满分12分）
在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ABCD ⊥底面,
A 1
C
D 1D
A B
B 1
C 1
90ADC ∠=o ，AB CD ||，122AD CD DD AB ====.
（Ⅰ）求证：11AD B C ⊥；
（Ⅱ）求二面角11A BD C --的正弦值；
解：（Ⅰ）由四边形11A ADD 是正方形，所以D A AD 11⊥.又⊥1AA 平面ABCD ，
ο90=∠ADC ，所以DC AD DC AA ⊥⊥,1，而1AA AD A =I ，所以DC ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1.又1A D DC D =I ，所以⊥1AD 平面11DCB A ，从而
C B A
D 11⊥. ……………………………………………………………………………....
….6分
（Ⅱ）以D 为坐标原点，DA ，DC ,1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系D xyz -，则易得)0,1,2(B )2,0,2(),2,2,0(11A C ，设平面1A BD 的法向量为),,(1111z y x n =，则由
⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
111DA n DB n ，求得)1,2,1(1--=n ；设平面BD C 1的法向量为),,(2222z y x n =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0122DC n n ，求得)2,2,1(2-=n
，则根据
66cos ==θ,于是可得6
30
sin =
θ. …………………………..………………………………..….12分
（20）（本小题满分12分）
椭圆Γ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12F F ，，右顶点为
A ，上顶点为
B .
已知12||||2
AB F F =
. （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过点(20)M a -，的直线交椭圆Γ于P 、Q （不同于左、右顶点）两点，且
11111
||||12
PF QF +=.当1PQF △面积最大时，求直线PQ 的方程. 解析：（Ⅰ）设椭圆右焦点2F 的坐标为(0)c ，
．由12||||AB F F =
，可得2
2
2
7a b c +=.又2
2
2
b a c
=-，则221
4
c a =，所以椭圆的离心率
1
2
e =
.…………………………………..…4分（II ）椭圆的离心率是12
，所以2234
b a =，所以椭圆方程可写为
222343x y a +=.
设直线PQ 的方程为2x my a =-，联立直线和椭圆方程，消去x 得
222(34)1290m y may a +-+=.
因而
122
1234
ma
y y m +=+，2122934a y y m =+.依题意，该方程的判别式0>△，即
240m ->…..….6分
设11()P x y ，、22()Q x y ，，由焦半径公式1211||||
||||2
2
my my PF QF ==，.因此11111||||12
PF QF +=可化为 1211||
|
|24
m y y +=
. ①
将1221234ma y y m +=+，2122934a y y m =+代入①式得，2
|12|||
924
ma m a =，解得32a =.所以
1
212139||222PQF a a S y y =-=g △
②..…………………….8分
令t =
0t >），则②式可化为
1
2229923162PQF a t a S t ==+g △…………………………………..10分
当且仅当2163
t =时，“=”
成立，此时m =.所以直线PQ
的方程为
64x y -
或
643
x y =-
-.……………………………………………………………
……………….….12分（21）（本小题满分12分）
已知函数211()ln()(2
2
f x ax x ax a =++-为常数，0a >）．
（Ⅰ）若12
x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；
（Ⅱ）求证：02a <≤时，()f x 在1[)2
+∞，上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的(12)a ∈，，总存在0x 1[1]2
∈，，
使不等式20()(1)f x m a >-成立，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）
2()2211122
a
a f x x a x a ax ax
'=+-=+-++．………………………..2分
1()1021
2
a f a a '=+-=+，2(1)(2)0a a a +-+=，即220a a --=，解得2a =或1a =-，
又0a >，得2a =．经检验符合题意. ………………………..4分
（Ⅱ）12()(2)(1)2()1
1
a ax x a x a ax a f x ax ax +
-+-+'==
++．
1020111
10
222ax ax a x a ⎧
⎪+>⎪
>⎨⎪⎪+-+-=⎩
≥，得
()0
f x '≥，
()
f x 在
1
[)2
+∞，上单调递
增．……………….8分
（Ⅲ）1122
a x <<，≥，由（Ⅱ）知()f x 在1[1]2
，上单调递增，
由01[1]2
x ∃∈，，不等式20()(1)f x m a >-成立，得2max ()(1)f x m a >-，
即21(1)ln()1(1)(12)2
a f a m a a +=+->-∈，，．
令21()ln 1(1)(12)(1)02
a g a a m a a g +=+-+-∈=，，，．
2211221()12121211ma m a g a ma ma a a a +-'=⋅-+=-+=+++（）(221)
1
a ma m a +-=
+，导函数的零点122m a m
-=，……………….10分
当0m ≤时，()0g a '<，则()(1)0(12)g a g a <=∈，，，不合题意，
当1212m m
-≤，且0m >时，即1()04
m g a '>≥，，()g a 在(12)a ∈，上单调递
增，故 ()(1)0f a g >=，
当12122m m
-<<时，即116
4
m <<，()g a 在12(1)2m m
-，上递减，12(2)2m m
-，上递
增，不合题意；当1222m m
-≥时，即16
m ≤，()g a 在(12)，上单调递减，不合题意．
综上，实数m 的取值范围是1[)4
+∞，．……………….12分（讨论不
全扣1分）
请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时请写清楚题号。

(22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知AP 是圆O 的切线，P 为切点，AC 是圆O 的割线，与圆O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点. （Ⅰ）证明：A P O M ，，，四点共圆；（Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小.
解析：（Ⅰ）连结OP OM ，.
∵AP 与圆O 相切于点P ，∴OP AP ⊥.
∵M 是圆O 的弦BC 的中点，∴OM BC ⊥， ∴180OPA OMA ∠+∠=︒，
由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补， ∴A P O M ，，，四点共圆. ……………….5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A P O M ，，，四点共圆，∴OAM OPM ∠=∠，由（Ⅰ）得OP AP ⊥，由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=︒，
∴90OAM APM ∠+∠=︒.……………….10分
(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为4cos 3sin x y ϕ
ϕ=⎧⎨
=⎩
(ϕ为参数)，以坐
标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极
坐标方程为2cos ρθ=.
（Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点M 是曲线1C 上任意一点，点N 是曲线2C 上任意一点，求||MN 的取值范围. 解析：（Ⅰ）由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，
∴222x y x +=，
∴22(1) 1.x y -+=……………………………………………..….5分（Ⅱ）设点(4cos 3sin )M ϕϕ，，则22||1|1|||MC MN MC -+剟， 22222||(4cos 1)9sin 7cos 8cos 10MC ϕϕϕϕ=-+=-+，当cos 1ϕ=-时，得22max [||]25MC =，∴2max ||5MC =，
当4cos 7
ϕ=时，得22min 54[||]7
MC =，∴2min ||7
MC =
∴221|1|17
||||51MC MN MC --++剟剟， ∴
||
MN 的取值范围是
16]-，.……………………………………………..….10分
(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设()|1|2|1|f x x x =--+的最大值为m . （Ⅰ）求m ；
（Ⅱ）若(0)a b c ∈+∞，，，，22
2
2
2
222
a c a
b
c m b m +++=+=，，求ab bc +的
2=.
分
22())2ab bc c ++ ?， ∴2ab bc +„ ，∴ab bc +的最大值为2，当且仅当1a b c ===时，等号成立. ………………………………….10分。