微分的逆运算问题

三、不定积分的线性运算法则
定理 若函数f ( x )和g( x )在区间I 上的原函数 都存在，则f ( x ) g( x )在区间I 上的原函数 也存在，且
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx.
代数和的不定积分 不定积分的代数和
kf ( x )dx k f ( x )dx.
即
k k f ( x )dx f ( x )dx
被积函数中的非0常数可以提到积分符号外边.
有了基本公式和性质, 我们可以解决一些不定积 分的计算,这样求不定积分的方法称为直接积分法.
例2 求 (2cos x e x x 3)dx.
第五章
微分的逆运算问题
—不定积分
第一节 逆向思维又一例
—原函数与不定积分
主要内容： 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分公式
三、不定积分的线性运算法则
一、原函数与不定积分的概念
回 顾 导 数 概 念 的 两 个 现 实 原 型
1、切线的斜率
曲线y f ( x )在( x0 , y0 )切线的斜率为
1 (ln x ) . x
1 x 0时， ln x ) ; ( x 1 1 x 0时，ln ( x ) ] ; [ x x x
1 1 3、 ( cos 2 x ) [ sin 2 x ] 2 sin 2 x， 2 2 1 1 ( cos 2 x 1) [ sin 2 x ] 2 sin 2 x， 2 2 1 1 cos 2 x和 cos 2 x 1都是 sin 2 x原函数. 2 2
不定积分的性质
1 [ f ( x )dx] f ( x ).
不定积分的导数等于被积函数.
2
F ( x)dx F ( x) C , 或 dF ( x) F ( x) C .
函数的导数(或微分)的不定积分等于该 函数与任意常数之和.
微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
已知曲线求切线、已知位移求速度引入了 导数.
如果我们已知曲线的切线如何求曲线、已知 运动速度如何求路程？
由导数(或微分)求原来函数的运算是一 种逆向思维过程.
定义 设函数F ( x )与f ( x )在区间I 上有定义. 若在I 上 F ( x ) f ( x ), 则称函数F ( x )为f ( x )在区间I 上的一个原函数.
5) e x dx e x C ; ax 6) a x dx C; ln a
熟 记 基 本 公 式
7) cos xdx sin x C ; 8) sin xdx cos x C ; 9) sec 2 xdx tan x C ; 10) csc 2 xdx cot x C ;
11) sec x tan xdx sec x C ; 12) csc x cot xdx csc x C ;
熟 记 基 本 公 式
13)
1 1 x2
dx arcsin x C arccos x C ;
1 14) dx arctan x C 2 1 x arc cot x C .
分析与提示：
用不定积分的基本公式和性质进行计算.
2cos xdx e x dx xdx 3 dx 3 解 原式= 2


cos xdx e x dx xdx
x
dx
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx kf ( x )dx k f ( x )dx
f ( x ) f ( x0 ) k tan lim f ( x0 ). x x0 x x0 2、变速直线运动的瞬时速度
已知物体在[0, T ]的运动轨迹为s f (t ),
瞬时速度 v
t t0
S S0 lim t t0 t t 0
S ( t0 ).
不定积分 = 一个原函数+任意常数
例 求 x dx.
5
解
x ( ) x 5 , 6
6
x6 x 5dx C. 6
1 例 求 dx . x
1 解 (ln x ) , x 1 dx ln x C . x
已知切线如何求函数的曲线？
例1 设曲线通过点(0,0)，且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的余弦值，求此曲线 方程. 分析与提示：f ( x )
x 例4 求 cos dx. 2
2
x 1 cos x cos 2 2
2
1 cos x 1 解 原式= dx (1 cos x )dx 2 2 1 1 dx cos xdx 2 2 1 1 x sin xC . 2 2
kf ( x )dx k f ( x )dx ( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx
由前例我们可得到以下结论
定理 设F ( x )是f ( x )在区间I 上的一个原函数，则 (2) f ( x )的任意两个原函数之间相差一个常数.
证
(1) F ( x ) C也是f ( x )的原函数，其中C为任意常数；
设G(x)也是 f (x) 一个原函数，

F ( x ) G ( x )
思考
函数f ( x )为F ( x )的导函数. ______?
例如 1、 ( x 3 ) 3 x 2 ,
分段函数
x 3是3 x 2在区间(, )上的一个原函数. 1 1 , ln x 是 的一个原函数. 2、 (ln x ) x x ln x , x 0 事实上， ln x ln( x ), x 0
该定理根据不定积分的定义可以证明.
x dx ) (( f ( x) g( x))dx ff ((x))dx gg((xx)ddxx.
证 因为 (
(
) f ( x ) g( x ),
) ( f ( x )dx ) ( g( x )dx )
f ( x ) g( x ).u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ) [
所以 ( f ( x ) g( x ))dx和 f ( x )dx g( x )dx 都是f ( x ) g( x )的原函数,
根据不定积分的定义，以上定理得证.
证 定理 若函数f ( x )在区间I 上的原函数存在， 法 k为实数( k 0), 则函数kf ( x )在区间I 上的 同 原函数也存在，且 上
0 1 x 1,
故函数y 1
定义 x 2 在[1,1]上存在原函数. 域
一个函数的原函数是不是只有一个呢？ 以下的例子中 C 为任意常数
1、(sin x) cos x , (sin x C ) cos x .
1 1 (ln x C ) . , 2、(ln x ) x x 1 3、 cos 2 x ) sin 2 x , ( 2 1 ( cos 2 x －3 sin 2 x , 1) 2 1 ( cos 2 x C ) sin 2 x . 2
f ( x)
由此我们想到求符合已知条件的原函数. 解 设曲线方程为
根据题意知
y f ( x ),
f ( x ) cos x,
根据题意知
f ( x ) cos x,
即cos x是f ( x )的一个原函数.
cos xdx sin x C ,
f ( 0 ) sin x C , 0 x 0
即如何表示F ( x ) C ？
不定积分
定义 f ( x )在区间I 上的全体原函数称为 f ( x )在I 上的不定积分，记作 f ( x )dx .
即

积 分 号
f ( x ) dx F ( x ) C
被 积 表 达
被 积 积 分 函 变 数 量
积 分 常 数
式 不定积分 f ( x )dx是一个函数族F ( x ) C .
1 2 2 sin x e x 3 x C . 2
x2 例3 求 dx . 2 1 x
1 x 21 1 dx ( 1 1 x 2 )dx 解 原式= 1 x2 1 1d x dx 2 1 x
x arctan x C .
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx
不定积分的几何意义
函数f ( x )的不定积分
每条积分曲线在x0 点的切线相互平行.
f ( x )dx在几何上表示
f ( x )的积分曲线族，它 可由f ( x )的某一条积分 曲线y F ( x )沿y轴方向 上下平移而得到.
y
y F ( x)
o
积分曲线x0Fra bibliotekxf ( x )的一个原函数
什么样的函数存在着原函数呢？ 一个函数的原函数是不是只有一个呢？
定理 如果函数 f (x)在区间I上连续，则 f (x) 在区间I上存在原函数 F(x) .
此定理也叫原函数存在定理 . 这就是说,连续函数一定有原函数.
初等函数在其有定义的区间上存在原函数.
2 例如 y 1 x 2 是一个初等函数, 而且

F ( x ) G ( x )
[fu(x )) f ( x ) u( x ) v ( x ) ( x v )] 0,
导数为零 的函数为 常数函数
F ( x ) G( x ) C .（ C 为任意常数）
同一函数的原函数不仅不唯一，而且有无穷多个.
同一函数的原函数有无穷多个, 那么如何表示这种求原函数的运算？
由曲线通过点( 0 , 0 )
C 0,
因此所求曲线方程为 y sin x.
二、基本公式
求微分与求不定积分是互逆的运算, 由导数公式,可得: 熟 记 基 本 公 式
1) 0dx C ; 2) dx x C ; x 1 3) x dx C ( 1, x 0); 1 1 4) dx ln x C ( x 0); x