七年级数学上册 第4章 4.3 角 4.3.2 角的比较与运算备课素材 (新版)新人教版

4.3 角
4.3.2角的比较与运算
置疑导入归纳导入复习导入悬念激趣
成功永远属于肯攀高峰的人．如图4－3－20①，你选择从哪一面上山呢？
图4－3－20
从图中我们找到了陡坡和缓坡，其实就是比较两个角的大小．同学们能直接观察出图4－3－20②这两个角的大小吗？
[说明与建议] 说明：展示图片，学生找路径，其实质是比较两个角的大小，用眼直接能够观察出大小，然后出示两个大小近似的角，不能通过肉眼观察直接比较大小，从而引出课题．建议：重点让学生掌握比较两个角的大小的方法，为本节课的学习做好铺垫．可以提示性的提问学生：“你能从比较线段的长短的方法得到的启示来比较两个角的大小吗？
图4－3－21
回顾小学认识的各种角，通过动画演示它们的形成过程，看看角的分类(提
示：锐角小于直角，直角小于钝角，钝角小于平角)，角的大小比较是否存在其必要性？那我们又应该怎样比较两个角的大小呢？前面学过的一些方法在这儿能否借鉴？
上节课我们学习了线段的长短比较，大家还记得怎样比较吗？(度量法，叠合法)
那角的比较能不能类比线段的比较方法呢？如果能，又该怎样比较呢？本节课我们就来解决这个问题．
[说明与建议] 说明：回顾上节课学习的角的度量、角的表示以及小学学习中关于锐角、钝角、直角的概念，通过类比，让学生学会角的比较的方法．建议：引导学生结合实际生活理解比较角的大小的方法．
[命题角度1] 角的大小比较
角的大小比较有(1)叠合法；(2)度量法．也可以根据锐角、直角、钝角、周角之间的关系比较角的大小．注意角的大小与边的长短无关，只与角的两边张开角度的大小有关．
例 观察、探究与思考．根据图4－3－22，求解下列问题：
(1)比较∠AOB，∠AOC ，∠AOD ，∠AOE 的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角；
(2)写出∠AOB，∠AOC ，∠BOC ，∠AOE 中某些角之间的两个等量关系．
图4－3－22
解：(1)根据图形可得∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE；
锐角是∠AOB，直角是∠AOC，钝角是∠AOD，平角是∠AOE.
(2)根据图形可得
∠AOB ＝∠AOC－∠BOC.
∠AOB ＋∠BOC＋∠AOC＝∠AOE.
[命题角度2] 利用三角尺作角
当利用三角板已有的角度进行角度的和差运算时，要考虑全所有可能的情况．
角的方法 例 用一副三角板，不可能画出的角是A ．15°的角 B ．75°的角
C ．165°的角
D ．145°的角
[命题角度3] 角度的计算
根据角平分线的定义可以求出所分的两个较小的角的度数，再结合其他的角度，进行加减运算，进而可以求出未知角的度数．注意在计算角的度数时，在只有几何语言表述而没有图形的情况下，要注意考虑图形的不同情形，以确保答案不重复、不遗漏．
图4－3－23
例 如图4－3－23，∠AOC ＝80°，∠BOC ＝50°，OD 平分∠BOC，求∠AOD 的度数．
解：∠AOD＝∠AOC＋∠DOC＝80°＋12
∠BOC ＝80°＋25°＝105°.
P136练习
1．估计图中∠1与∠2的大小关系，并用适当的方法检验．
[答案] ∠1<∠2；∠1＝∠2.
2．如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份？
[答案] 360°÷8＝45°，360°÷15°＝24.
答：把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是45°；要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成24份．
3．如图，O 是直线AB 上一点，OC 是∠AOB 的平分线，∠COD ＝31.28′，求∠AOD 的度数．
[答案] ∵∠AOB ＝180°，∠AOC ＝∠BOC ，
∴∠AOC ＝12
∠AOB ＝90°. ∴∠AOD ＝∠AOC －∠COD ＝90°－31°28′＝58°32′.
[当堂检测]
1. 在∠AOB 的内部任取一点C ，作射线OC ，则一定存在（ ）
A.∠AOB ＞∠AOC
B.∠AOB ＞∠BOC
C.∠BOC ＞∠AOC
D.∠AOC ＞∠BOC
2. 【2012•滨州】 借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（ ）
A ．65°
B ．75°
C ．85°
D ．95°
3. 根据下图，完成下列填空：
（1）∠BOD=∠BOC+_______；∠AOC=•______+•_______；•
∠AOB=•______+•_____+______；
∠AOD+∠BOC=_______-______；
（2）若∠AOC=90°，∠BOC=30°，则∠AOB=________．
4. 计算：
（1）25°16′20″×3;
（2）133°25′÷4
5. 如图，OC 是∠AOD 的平分线，OE 是∠BOD 的平分线，且
∠AOB=130°，求∠COE 是多少度.
参考答案：
1. A
2. B
3.（1）∠DOC ∠AOD ∠DOC ∠AOD ∠DOC • •∠COB ∠AOB ∠DOC
（2）120°
4.（1）75°49′
（2）33°21′15″
5. 解：∵OC 平分∠AOD ，OE 平分∠AOD ，
∴ ∠COD=
21∠AOD ，∠DOE= 2
1∠BOD. ∴∠COE=∠COD+∠DOE=21∠AOD+21∠BOD=21∠AOB=65°.
《罗素悖论》
一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。

”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。

因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。

但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。

如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。

由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。

这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。

这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。

1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。

到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。

就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。

于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。

此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。