《正多边形与圆》 学习任务单

《正多边形与圆》学习任务单
一、学习目标
1、理解正多边形的概念，掌握正多边形的性质。

2、了解正多边形与圆的关系，会利用圆的性质解决与正多边形相关的问题。

3、能够通过尺规作图作出正多边形。

4、培养空间观念和逻辑推理能力，提高数学应用意识。

二、学习重难点
1、重点
（1）正多边形的概念和性质。

（2）正多边形与圆的关系。

2、难点
（1）利用圆的性质证明正多边形的性质。

（2）通过尺规作图作出正多边形。

三、知识回顾
1、圆的基本概念
圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

这个定点称为圆心，定长称为半径。

2、圆的性质
（1）圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。

（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

四、学习内容
1、正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

例如，等边三角形、正方形都是正多边形。

2、正多边形的性质
（1）正多边形的各边相等，各角相等。

（2）正 n 边形的每个内角都等于\（（n 2)×180°÷n\）。

（3）正 n 边形的中心角为\（360°÷n\）。

3、正多边形与圆的关系
把一个圆分成 n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形，这个圆就是这个正 n 边形的外接圆。

以正六边形为例，我们可以通过将圆六等分，得到六个等分点，依次连接这些点就可以得到正六边形。

正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的
边心距。

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正
多边形的中心角。

4、正多边形的有关计算
（1）已知正 n 边形的半径为 R，边心距为 r，边长为 a，周长为 C，面积为 S。

则：＼（a ＝ 2Rsin(180°÷n)＼），＼（r ＝ Rcos(180°÷n)＼），＼
（C ＝ na\），＼（S ＝＼frac{1}｛2}nr²\）
（2）通过圆与正多边形的关系，可以利用圆的相关知识来计算正
多边形的边长、角度、面积等。

5、正多边形的尺规作图
（1）用尺规作正六边形
以圆的半径为长度，在圆上依次截取六个点，连接这六个点即可得
到正六边形。

（2）用尺规作正三角形
先作圆的一条直径，然后以直径的一个端点为圆心，以圆的半径为
半径画弧，交圆于一点，连接直径的两个端点和这个交点，即可得到
正三角形。

（3）用尺规作正方形
作圆的两条互相垂直的直径，连接直径与圆的四个交点，即可得到
正方形。

五、例题讲解
例1：一个正多边形的每个内角都是144°，求这个正多边形的边数。

解：设这个正多边形的边数为 n，根据正多边形内角和公式可得：＼（（n 2)×180°＝ 144°×n\）
＼（180°n 360°＝ 144°n\）
＼（180°n 144°n ＝ 360°＼）
＼（36°n ＝ 360°＼）
＼（n ＝ 10\）
答：这个正多边形的边数为 10。

例2：已知一个正六边形的半径为6，求它的边长、边心距和面积。

解：因为正六边形的半径等于边长，所以边长为 6。

边心距：＼（r ＝ 6×cos30°＝ 6×＼frac{＼sqrt{3}｝｛2} ＝ 3\sqrt{3}＼）
面积：＼（S ＝＼frac{1}｛2}×6×3\sqrt{3}×6 ＝ 54\sqrt{3}＼）
六、课堂练习
1、一个正多边形的每个外角都是 36°，则这个正多边形是（）
A 正六边形
B 正八边形
C 正十边形
D 正十二边形
2、正八边形的每个内角为（）
A 120°
B 135°
C 140°
D 144°
3、已知正六边形的边长为 4，求它的面积。

4、用尺规作一个正五边形。

七、拓展提升
1、探究正多边形的对称轴条数与边数的关系。

2、思考如何利用正多边形的性质解决实际生活中的问题，例如设计花坛、地砖图案等。

八、学习总结
通过本次学习，我们了解了正多边形的概念、性质，掌握了正多边形与圆的关系以及相关的计算和作图方法。

在学习过程中，要注重理
解概念和性质的本质，多做练习，提高运用知识解决问题的能力。

希望同学们在课后能够认真复习所学内容，完成相关作业，为后续的学习打下坚实的基础。