涿州市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

涿州市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 将函数f （x ）=3sin （2x+θ）（﹣
＜θ＜
）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的
图象，若f （x ），g （x ）的图象都经过点P （0，），则φ的值不可能是（
）
A ．
B ．π
C ．
D ．
2． 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（
）
A ．12+
B ．12+23π
C ．12+24π
D ．12+π
3． 圆上的点到直线的距离最大值是（ ）
01222
2
=+--+y x y x 2=-y x A ．
B ．
C ．
D ．12+12
2
+1
22+4． 已知α是△ABC 的一个内角，tan α=，则cos （α+）等于（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ）A ．33%
B ．49%
C ．62%
D ．88%
6． 已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k +与2﹣互相垂直，则k 的值是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
7． 若复数z=2﹣i （ i 为虚数单位），则=（
）
A ．4+2i
B ．20+10i
C ．4﹣2i
D ．
　8． “”是“”的（ ）2
4
x π
π
-
<≤
tan 1x ≤A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.9． 某大学的名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽8车，每车限坐名同学（乘同一辆车的名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘44坐甲车的名同学中恰有名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种.
42A ．
B ．
C ．
D ．24184836
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．10．设函数f （x ）=，f （﹣2）+f （log 210）=（
）
A ．11
B ．8
C ．5
D ．2
11．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）
A ．p 真q 真
B ．p 假q 真
C ．p 真q 假
D ．p 假q 假
12．已知函数f （x ）=m （x ﹣）﹣2lnx （m ∈R ），g （x ）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，则实数m 的范围是（ ）
A ．（﹣∞，]
B ．（﹣∞，）
C ．（﹣∞，0]
D ．（﹣∞，0）
二、填空题
13．在数列
中，则实数a= ，b= ．
14．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=
，且|ω|=5
，则复数ω= ．
15．设有一组圆C k ：（x ﹣k+1）2+（y ﹣3k ）2=2k 4（k ∈N *）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
16．抛物线y 2=﹣8x 上到焦点距离等于6的点的坐标是 ．17．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则数列的通项a n = ．
18．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．
三、解答题
19．如图，在四边形中,, 四ABCD ,,3,2,45AD DC AD BC AD CD AB DAB ⊥===∠=
:边形绕着直线旋转一周.
AD
（1）求所成的封闭几何体的表面积；（2）求所成的封闭几何体的体积.
20．已知函数
．
（1）求f （x ）的周期．（2）当时，求f （x ）的最大值、最小值及对应的x 值．
21．设a ，b 互为共轭复数，且（a+b ）2﹣3abi=4﹣12i ．求a ，b 的值．
22．己知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a＞0）．
（1）试探究函数f（x）的零点个数；
（2）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0，0），设函数f（x）的导函数为f′（x），求证：f′（x0）＜0．
1cm
23．圆锥底面半径为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．
24．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0
（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
涿州市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C
【解析】函数f （x ）=sin （2x+θ）（﹣＜θ＜
）向右平移φ个单位，得到g （x ）=sin （2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P （0，），
所以sin θ=，
又因为﹣＜θ＜，
所以θ=
，
所以g （x ）=sin （2x+﹣2φ），
sin （﹣2φ）=，
所以﹣2φ=2k π+，k ∈Z ，此时φ=k π，k ∈Z ，或
﹣2φ=2k π+
，k ∈Z ，此时φ=k π﹣
，k ∈Z ，
故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，难度中档　
2． 【答案】C
【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，其表面积为
S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]
=12+24π．故选：C ．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．　
3． 【答案】B 【解析】
试题分析：化简为标准形式，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半
()()1112
2
=-+-y x
径，，半径为1，所以距离的最大值是，故选B.
22
2
11=--=
d 12+考点：直线与圆的位置关系 14． 【答案】B
【解析】解：由于α是△ABC 的一个内角，tan α=，则
=，又sin 2α+cos 2α=1，
解得sin α=，cos α=（负值舍去）．则cos （α+）=cos
cos α﹣sin
sin α=
×（﹣）=
．
故选B ．
【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．　
5． 【答案】B 【
解
析
】
6． 【答案】D
【解析】解：∵ =（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴k +=k （1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k ﹣1，k ，2），
2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），又k +与2﹣互相垂直，∴3（k ﹣1）+2k ﹣4=0，解得：k=．故选：D ．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题．　
7． 【答案】A 【解析】解：∵z=2﹣i ，
∴=
=
=
=
，
∴=10•=4+2i ，
故选：A ．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．　
8． 【答案】A
【解析】因为在上单调递增，且，所以，即.反之，当
tan y x =,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
24x ππ-<≤tan tan 4x π≤tan 1x ≤时，（），不能保证，所以“”是“”
tan 1x ≤24k x k πππ-<≤+πk Z ∈24x ππ-<≤24
x ππ
-<≤tan 1x ≤的充分不必要条件，故选A.9． 【答案】A
【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有121
21223=C C C 种. 共有24种. 选A.
12121213=C C C 10．【答案】B
【解析】解：∵f （x ）=，
∴f （﹣2）=1+log 24=1+2=3，
=5，
∴f （﹣2）+f （log 210）=3+5=8．故选：B ．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．　
11．【答案】B
【解析】解：若命题“p 或q ”为真，则p 真或q 真，若“非p ”为真，则p 为假，∴p 假q 真，故选：B ．
【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．　
12．【答案】 B
【解析】解：由题意，不等式f （x ）＜g （x ）在[1，e]上有解，∴mx ＜2lnx ，即＜
在[1，e]上有解，
令h（x）=，则h′（x）=，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴h（x）max=h（e）=，
∴＜h（e）=，
∴m＜．
∴m的取值范围是（﹣∞，）．
故选：B．
【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
二、填空题
13．【答案】a= ，b= ．
【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知，
a﹣b=26，
由3，8，a+b，24，35知，
a+b=15，
解得，a=，b=；
故答案为：，．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．
14．【答案】　±（7﹣i）　．
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴
．
又ω===，|ω|=，∴
．
把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±=±（7﹣i）．
故答案为±（7﹣i）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．
15．【答案】　②④　
【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），
圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系，
圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为k2，
圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为（k+1）2，
两圆的圆心距d==，
两圆的半径之差R﹣r=（k+1）2﹣k2=2k+，
任取k=1或2时，（R﹣r＞d），C k含于C k+1之中，选项①错误；
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；
将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k2=2k4，即10k2﹣2k+1=2k4（k∈N*），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
则真命题的代号是②④．
故答案为：②④
【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．
16．【答案】　（﹣4，）　．
【解析】解：∵抛物线方程为y2=﹣8x，可得2p=8，=2．
∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．
设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，
根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离，
即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，
∴n2=8m=32，可得n=±4，
因此，点P的坐标为（﹣4，）．
故答案为：（﹣4，）．
【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．
17．【答案】　2n ﹣1　．
【解析】解：∵a 1=1，a n+1=a n +2n ，
∴a 2﹣a 1=2，
a 3﹣a 2=22，
…
a n ﹣a n ﹣1=2n ﹣1，
相加得：a n ﹣a 1=2+22+23+2…+2n ﹣1，
a n =2n ﹣1，
故答案为：2n ﹣1，
18．【答案】　x ﹣y ﹣2=0　．
【解析】解：直线AB 的斜率 k AB =﹣1，所以线段AB 的中垂线得斜率k=1，又线段AB 的中点为（3，1），所以线段AB 的中垂线得方程为y ﹣1=x ﹣3即x ﹣y ﹣2=0，
故答案为x ﹣y ﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
三、解答题
19．【答案】（1）；（2）．(8π+203
π【解析】
考点：旋转体的概念；旋转体的表面积、体积.
20．【答案】
【解析】解：（1）∵函数．
∴函数f（x）=2sin（2x+）．
∴f（x）的周期T==π
即T=π
（2）∵
∴，
∴﹣1≤sin（2x+）≤2
最大值2，2x=，此时，
最小值﹣1，2x=此时
【点评】本题简单的考察了三角函数的性质，单调性，周期性，熟练化为一个角的三角函数形式即可．
21．【答案】
【解析】解：因为a，b互为共轭复数，所以设a=x+yi，则b=x﹣yi，a+b=2x，ab=x2+y2，
所以4x2﹣3（x2+y2）i=4﹣12i，
所以，解得，
所以a=1+i，b=1﹣i；
或a=1﹣i，b=1+i；
或a=﹣1+i，b=﹣1﹣i；
或a=﹣1﹣i，b=﹣1+i．
【点评】本题考查了共轭复数以及复数相等；正确设出a，b 是解答的关键．
22．【答案】
【解析】解：（1），
令f'（x）＞0，则；令f'（x）＜0，则．
∴f（x）在x=a时取得最大值，即
①当，即0＜a＜1时，考虑到当x无限趋近于0（从0的右边）时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x ）→﹣∞
∴f（x）的图象与x轴有2个交点，分别位于（0，）及（）
即f（x）有2个零点；
②当，即a=1时，f（x）有1个零点；
③当，即a＞1时f（x）没有零点；
（2）由得（0＜x1＜x2），
=，令，设，t∈（0，1）且h（1）=0
则，又t∈（0，1），∴h′（t）＜0，∴h（t）＞h（1）=0
即，又，
∴f'（x 0）=＜0．
【点评】本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0＜a ＜1进行研究时，一定要注意到f （x ）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2）中，代数运算比较复杂，特别是计算过程中，令
的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学生的综合能力有比较高的要求．
23．
．【解析】
试题分析：画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系，求出棱长即可．
试题解析：过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线作圆锥的截面，得圆锥的轴截面，正方体对S CD SEF 角面，如图所示．
11CDD C 设正方体棱长为，则，，1
CC x =11C D =
作于，则，，SO
EF ⊥O SO =
1OE =∵，∴
1ECC EOS ∆∆:11CC EC SO EO
=
=∴．x =cm
考点：简单组合体的结构特征．
24．【答案】
【解析】解：p：，q：a≤x≤a+1；
∴（1）若a=，则q：；
∵p∧q为真，∴p，q都为真；
∴，∴；
∴实数x的取值范围为；
（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；
∴，∴；
∴实数a的取值范围为．
【点评】考查解一元二次不等式，p∧q真假和p，q真假的关系，以及充分不必要条件的概念．　。