康定市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

康定市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线C 上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．2 2． 若复数（m 2﹣1）+（m+1）i 为实数（i 为虚数单位），则实数m 的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．﹣1或1
3． 设P 是椭圆
+
=1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于（ ）
A ．22
B ．21
C ．20
D ．13
4． 设全集U=M ∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M ∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（ ） A ．{1，2，3}
B ．{1，3，5}
C ．{1，4，5}
D ．{2，3，4}
5． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x
B x x R =≤∈，则集合U A
C B 为（ ）
A.]1,1[-
B.]1,0[
C.]1,0(
D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.
6． 用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）
A ．a ，b 都能被5整除
B ．a ，b 都不能被5整除
C ．a ，b 不能被5整除
D ．a ，b 有1个不能被5整除
7． 已知集合A={x|x ≥0}，且A ∩B=B ，则集合B 可能是（ ）
A ．{x|x ≥0}
B ．{x|x ≤1}
C ．{﹣1，0，1}
D ．R
8． 以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知集合},052|{2
Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ） A ．1- B ． C ．1-或 D ．1-或2- 10．sin （﹣510°）=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
11．设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）
A
．(1,1 B
．(1)+∞ C. (1,3) D ．(3,)+∞ 12．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.312
二、填空题
13．将边长为1
的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，
则S 的最小值是 ．
14．函数f （x ）=x 3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是 ．
15．设,y x 满足约束条件2110y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则3z x y =+的最大值是____________．
16．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是
17．已知曲线y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a 的范围为 ．
18．二面角α﹣l ﹣β内一点P 到平面α，β和棱l 的距离之比为1
：：2，则这个二面角的平面角是 度．
三、解答题
19．（本小题满分16分）
在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5
元/套时，每日可售出套题69千套.
h x的表达式；
（1）求()
（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）
20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l1，l2是椭圆的任意两条切线，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
21．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海
难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向
一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；
∆中，求角B的正弦值.
（2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在ABC
22．已知函数f（x）=log a（x2+2），若f（5）=3；
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．
23．（本题满分12分）有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次，2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收. （1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；
（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议.
24．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名
55
95%的把握认为“歌迷”与性别有关？
“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌
3.841 6.635
附：K2=．
康定市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F（0，1），
又P为C上一点，|PF|=4，
可得y P=3，
代入抛物线方程得：|x
|=2，
P
∴S△POF=|0F|•|x P|=．
故选：C．
2．【答案】A
【解析】解：∵（m2﹣1）+（m+1）i为实数，
∴m+1=0，解得m=﹣1，
故选A．
3．【答案】A
【解析】解：∵P是椭圆+=1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，
∴|PF2|=2×13﹣|PF1|=26﹣4=22．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆定义的应用．4．【答案】B
【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，
∴集合M，N对应的韦恩图为
所以N={1，3，5}
故选B
5．【答案】C.
【解析】由题意得，[11]
A =-，，(,0]
B =-∞，∴(0,1]U A
C B =，故选C.
6． 【答案】B
【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．
故应选B ．
【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．
7． 【答案】A
【解析】解：由A={x|x ≥0}，且A ∩B=B ，所以B ⊆A ． A 、{x|x ≥0}={x|x ≥0}=A ，故本选项正确；
B 、{x|x ≤1，x ∈R}=（﹣∞，1]⊊[0，+∞），故本选项错误；
C 、若B={﹣1，0，1}，则A ∩B={0，1}≠B ，故本选项错误；
D 、给出的集合是R ，不合题意，故本选项错误．
故选：A ．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了基本初等函数值域的求法，是基础题．
8． 【答案】D
【解析】解：因为以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成个分
数，
由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数，
故这种分数是可约分数的共有个，
则分数是可约分数的概率为P==
，
故答案为：D
【点评】本题主要考查了等可能事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9． 【答案】D 【解析】
试题分析：由{}
{}1,2,025
,0522--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=， 又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ． 考点：交集及其运算． 10．【答案】C
【解析】解：sin （﹣510°）=sin （﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣， 故选：C ．
11．【答案】A
【解析】
考点：线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为
z
m
，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨
⎧==+00001m x y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m
的范围.
12．【答案】A
【解析】解：由题意可知：同学3次测试满足X ∽B （3，0.6），
该同学通过测试的概率为=0.648．
故选：A ．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x ，则：S==
，（0＜x ＜1）
令3﹣x=t ，t ∈（2，3），
∴S==
=
，当且仅当t=即t=2
时等号成
立；
故答案为：
．
14．【答案】 3，﹣17 ．
【解析】解：由f ′（x ）=3x 2
﹣3=0，得x=±1， 当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0， 当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0， 当x ＞1时，f ′（x ）＞0，
故f （x ）的极小值、极大值分别为f （﹣1）=3，f （1）=﹣1， 而f （﹣3）=﹣17，f （0）=1，
故函数f （x ）=x 3
﹣3x+1在[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是3、﹣17．
15．【答案】73
【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点12,
33A ⎛⎫
⎪⎝⎭
处取得最大值为73.
考点：线性规划． 16．【答案】 0
【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin +sin +…+sin 的值，
由于sin 周期为8，
所以S=sin
+sin
+…+sin
=0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．
17．【答案】
．
【解析】解：因为y=（a ﹣3）x 3
+lnx 存在垂直于y 轴的切线，即y'=0有解，即
y'=
在x ＞0时有解，
所以3（a ﹣3）x 3
+1=0，即a ﹣3＜0，所以此时a ＜3．
函数f （x ）=x 3﹣ax 2
﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x ）≤0恒成立，
即f'（x ）=3x 2
﹣2ax ﹣3≤0恒成立，即
，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数
的最大值为
，
所以，所以．
综上．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．
18．【答案】 75 度．
【解析】解：点P 可能在二面角α﹣l ﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P 在二面角α﹣l ﹣β的内部
时，如图，A 、C 、B 、P 四点共面，∠ACB 为二面角的平面角，
由题设条件，点P 到α，β和棱l 的距离之比为1：：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．
故答案为：75． 【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关
键．
三、解答题
19．【答案】（1） ()()2
10473h x x x =
+-- （37x <<）（2） 13 4.33
x =≈ 试
题解析：（1） 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比，
所以可设：()13
k f x x =-，()()2
27g x k x =-，12.00k k ≠≠，，
则()()()()2
1273
k h x f x g x k x x =+=
+--则 ………………………………………2分 因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套 所以，()()521, 3.569h h ==，即1
2124212
49269
4
k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：12104k k =⎧⎨=⎩， ……………6分
所以，()()2
10473
h x x x =
+-- （37x <<） ………………………………………8分 （2） 由（1）可知，套题每日的销售量()()2
10473
h x x x =
+--，
答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分 考点：利用导数求函数最值 20．【答案】
【解析】解：（1）∵
椭圆
的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），
P 是椭圆C 上任意一点，且椭圆的离心率为，
∴
=
，解得
，
∴椭圆C 的方程为
．…
（2）①当l 1，l 2的斜率存在时，设l 1：y=kx+m ，l 2：y=kx+n （m ≠n ）
，
△=0，m 2=1+2k 2，同理n 2=1+2k 2m 2=n 2
，m=﹣n ，
设存在，
又m 2=1+2k 2，则|k 2（2﹣t 2）+1|=1+k 2，k 2（1﹣t 2）=0或k 2（t 2
﹣3）=2（不恒成立，舍去） ∴t 2
﹣1=0，t=±1，点B （±1，0），
②当l 1，l 2的斜率不存在时，
点B （±1，0）到l 1，l 2的距离之积为1． 综上，存在B （1，0）或（﹣1，0）．…
21．【答案】（1）23小时；（2 【解析】
试
题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在C 处相遇. 在ABC ∆中，4575120BAC ∠=+=，10AB =，9AC t =，21BC t =. 由余弦定理得：222
2cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠， 所以2
2
2
1
(21)10(9)2109()2
t t t =+-⨯⨯⨯-，
化简得2
369100t t --=，解得23t =
或512t =-（舍去）. 所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为2
3
小时.
（2）由2963AC =⨯
=，2
21143
BC =⨯=. 在ABC ∆
中，由正弦定理得6sin 6sin120
2sin 14
1414
AC BAC B BC ⨯
∠
===
=. 所以角B . 考点：三角形的实际应用．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示,AC BC ，再根据正弦定理和余弦定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键． 22．
【答案】
【解析】解：（1）∵f （5）=3，
∴
，
即log a
27=3 解锝：a=3… （2）由（1）得函数， 则
=
…
（3）不等式f （x ）＜f （x+2），
即为
化简不等式得
…
∵函数y=log 3x 在（0，+∞）上为增函数，且
的定义域为R ．
∴x 2+2＜x 2
+4x+6…
即4x ＞﹣4， 解得x ＞﹣1，
所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了独立重复试验中概率的求法，对立事件的基本性质；对化归能力及对实际问题的抽象能力要求较高，属于中档难度.
24．【答案】
100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：
K2==≈3.030
因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…
（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中a i表示男性，i=1，2，3，b i表示女性，i=1，2．
Ω由10个等可能的基本事件组成．…
用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，事件A由7个基本事件组成．
∴P（A）= (12)
【点评】本题考查独立性检验的运用及频率分布直方图的性质，列举法计算事件发生的概率，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．。