延庆区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

延庆区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数21
1,[0,)22
()13,[,1]2
x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在常数使得方程()f x t =有两个不等的实根12,x x
（12x x <），那么12()x f x ∙的取值范围为（ ）
A ．3[,1)4 B
．1[8 C ．31[,)162 D ．3[,3)8
2． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（ ）
A ．10 13
B ．12.5 12
C ．12.5 13
D ．10 15
3． 如图，四面体D ﹣ABC
的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，
AD+=2，则四面体D ﹣ABC 中最长
棱的长度为（ ）
A
． B ．2 C
． D ．3
4． 已知向量(,1)a t =，(2,1)b t =+，若||||a b a b +=-，则实数t =（ ） A.2- B.1- C. 1 D. 2
【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力． 5． 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．
甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（ ）
A ．2日和5日
B ．5日和6日
C ．6日和11日
D ．2日和11日
6． 在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7． 若⎩⎨⎧≥<+=-)2(,2)
2(),2()(x x x f x f x 则)1(f 的值为（ ）
A ．8
B ．8
1 C ．
2 D ．21
8． 在10
201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中，含2
x 项的系数为（ ）
（A ）10 （ B ） 30 （C ） 45 （D ） 120
9． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 （ ）
A ．21a 和22a
B ．22a 和23a
C ．23a 和24a
D ．24a 和25a 10．若a ＞b ，则下列不等式正确的是（ ）
A ．
B ．a 3＞b 3
C ．a 2＞b 2
D ．a ＞|b|
11．函数y=x+xlnx 的单调递增区间是（ ） A ．（0，e ﹣2）
B ．（e ﹣2，+∞）
C ．（﹣∞，e ﹣2）
D ．（e ﹣2，+∞）
12．设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0，则当+
取得最小值时，实数a 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
或 D ．3
二、填空题
13．设函数f （x ）=，则f （f （﹣2））的值为 ．
14．已知函数y=log
（x 2
﹣ax+a ）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．
15．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ．
16．三角形ABC 中，2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .
17．在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 ．
18．函数f （x ）=x 3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是 ．
三、解答题
19．（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件
（2）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件+
=1．
20．若数列{a n }的前n 项和为S n ，点（a n ，S n ）在y=x 的图象上（n ∈N *），
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若c 1=0，且对任意正整数n 都有
，求证：对任意正整数n ≥2，总有
．
21．已知椭圆的离心率
，且点
在椭圆
上．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于
、
两点，且线段
的垂直平分线经过点
．求
（
为坐标原点)
面积的最大值．
22．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）. 试用θ和a 表示S ；
（2）若恰好当60θ=时，S 取得最大值，求a 的值.
23．如图，在Rt △ABC 中，∠EBC=30°，∠BEC=90°，CE=1，现在分别以BE ，CE 为边向Rt △BEC 外作正△EBA 和正△CED ．
（Ⅰ）求线段AD 的长；
（Ⅱ）比较∠ADC 和∠ABC 的大小．
24．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*2120()n n n a a a n N ++-+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .
延庆区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
试题分析：由图可知存在常数，使得方程()f x t =有两上不等的实根，则
314t <<，由1324x +=，可得14x =，
由2
13x =，可得x =12111,422x x ≤<≤≤，即221143x ≤≤，则
()212123133,162x f x x x ⎡⎫
=⋅∈⎪⎢⎣⎭
.故本题答案选C.
考点：数形结合．
【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.
2． 【答案】C
【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标， ∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y 轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可 ∴中位数是13 故选：C ．
【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距
×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
3． 【答案】 B
【解析】解：因为AD •（BC •AC •sin60°）≥V D ﹣ABC =，BC=1，
即AD •
≥1，
因为2=AD+≥2
=2，
当且仅当AD==1时，等号成立，
这时AC=，AD=1，且AD ⊥面ABC ，所以CD=2，AB=
，
得BD=，故最长棱的长为2．
故选B ．
【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．
4． 【答案】B
【解析】由||||a b a b +=-知，a b ⊥，∴(2)110a b t t ⋅=++⨯=，解得1t =-，故选B. 5． 【答案】C
【解析】解：由题意，1至12的和为78， 因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值班的日期之和为26，
根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，
据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日， 故选：C ．
【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
6． 【答案】A
【解析】解：因为每一纵列成等比数列，
所以第一列的第3，4，5个数分别是，，．
第三列的第3，4，5个数分别是，，．
又因为每一横行成等差数列，第四行的第1、3个数分别为，，
所以y=
，
第5行的第1、3个数分别为
，．
所以z=．
所以x+y+z=++
=1．
故选：A ．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力．
7． 【答案】B 【解析】
试题分析：()()3
1
1328
f f -===
，故选B 。

考点：分段函数。

8． 【答案】C
【解析】因为1010
101
9102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2
x 项只能在
10(1)x +展开式中，即为2210
C x ，系数为2
1045.C =故选C ． 9． 【答案】C 【解析】
考
点：等差数列的通项公式．
10．【答案】B
【解析】解：∵a ＞b ，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：
=﹣1， =﹣，显然A 不正确． a 3=﹣1，b 3=﹣6，显然 B 正确． a 2 =1，b 2=4，显然C 不正确． a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．
故选 B ．
【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
11．【答案】B
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得f ′（x ）=lnx+2，令f ′（x ）＞0，可得x ＞e ﹣2
， ∴函数f （x ）的单调增区间是（e ﹣2
，+∞）
故选B ．
12．【答案】C
【解析】解：∵a+b=3，b ＞0， ∴b=3﹣a ＞0，∴a ＜3，且a ≠0．
①当0＜a ＜3时， +
=
=
+
=f （a ），
f ′（a ）=+
=，
当时，f ′（a ）＞0，此时函数f （a ）单调递增；当
时，f ′（a ）＜0，此时函数f （a ）单调递
减．
∴当a=时， +取得最小值．
②当a ＜0时， +
=﹣（）=﹣（
+）=f （a ），
f ′（a ）=﹣
=﹣
，
当时，f ′（a ）＞0，此时函数f （a ）单调递增；当
时，f ′（a ）＜0，此时函数f （a ）单调
递减．
∴当a=﹣时， +
取得最小值．
综上可得：当a=或时，
+
取得最小值．
故选：C ．
【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题
13．【答案】 ﹣4 ．
【解析】解：∵函数f （x ）=
，
∴f （﹣2）=4﹣2
=
，
f （f （﹣2））=f （
）=
=﹣4．
故答案为：﹣4．
14．【答案】 a ≤4 ．
【解析】解：令t=x 2
﹣ax+a ，则由函数f （x ）=g （t ）=log
t 在区间[2，+∞）上为减函数，
可得函数t 在区间[2，+∞）上为增函数且t （2）＞0，
故有
，解得a ≤4，
故实数a 的取值范围是a ≤4， 故答案为：a ≤4
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
15．【答案】 2：1 ．
【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l ，底面半径为r ，
所以圆锥的侧面积为： =πrl
圆柱的侧面积为：2πrl
所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1 故答案为：2：1
16．【答案】【解析】
试题分析：因为ABC ∆中，2,60AB BC C ===︒2
sin A
=
，1sin 2A =，又
BC AB <，即A C <，所以30C =︒，∴90B =︒，AB BC ⊥，1
2
ABC
S AB BC ∆=⨯⨯=． 考点：正弦定理，三角形的面积．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现ab 及2
b 、2
a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正
弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式1sin 2ab C ，12ah ，1()2a b c r ++，4abc R
等等．
17．【答案】 （﹣1，﹣） ．
【解析】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n 取得最大值，
∴
，即
，解得：
，
综上：d 的取值范围为（﹣1，﹣）．
【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式方程组，属于中档题．
18．【答案】 3，﹣17 ．
【解析】解：由f ′（x ）=3x 2
﹣3=0，得x=±1， 当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0， 当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0， 当x ＞1时，f ′（x ）＞0，
故f （x ）的极小值、极大值分别为f （﹣1）=3，f （1）=﹣1， 而f （﹣3）=﹣17，f （0）=1，
故函数f （x ）=x 3
﹣3x+1在[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是3、﹣17．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由题意作出可行域如下，
，
结合图象可知，当过点A（2，﹣1）时有最大值，
故Z max=2×2﹣1=3；
（2）由题意作图象如下，
，
根据距离公式，原点O到直线2x+y﹣z=0的距离d=，
故当d有最大值时，|z|有最大值，即z有最值；
结合图象可知，当直线2x+y﹣z=0与椭圆+=1相切时最大，
联立方程化简可得，
116x2﹣100zx+25z2﹣400=0，
故△=10000z2﹣4×116×（25z2﹣400）=0，
故z2=116，
故z=2x+y的最大值为．
【点评】本题考查了线性规划的应用及圆锥曲线与直线的位置关系的应用．
20．【答案】
【解析】（I）解：∵点（a n，S n）在y=x的图象上（n∈N*），
∴，
当n≥2时，，
∴，化为，
当n=1时，，解得a1=．
∴==．
（2）证明：对任意正整数n都有=2n+1，
∴c n=（c n﹣c n﹣1）+（c n﹣1﹣c n﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1
=（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3
==（n+1）（n﹣1）．
∴当n≥2时，==．
∴=+…+=＜
=，
又=．
∴．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】（Ⅰ）由已知，
点在椭圆上，，解得．
所求椭圆方程为
(Ⅱ)设，，的垂直平分线过点, 的斜率存在．
当直线的斜率时，
当且仅当时，
当直线的斜率时，设．
消去得：
由．①
，
，的中点为
由直线的垂直关系有，化简得②
由①②得
又到直线的距离为，
时，
．
由
，，解得
；
即时，
；
综上：
；
22．【答案】（1）21sin 212cos a S a a θθ
=
⋅+- （2
）2a =【解析】试题
解析：
（1）设边BC x =，则AC ax =， 在三角形ABC 中，由余弦定理得：
22212cos x ax ax θ=+-，
所以2
2
112cos x a a θ=+-， 所以211sin 2212cos a S ax x sin a a θ
θθ
=⋅⋅=⋅+-，
（2）因为()
()
2
2
2cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθ
θ
+--⋅=+-'⋅， ()
()
22
2
2cos 121212cos a a a
a a θθ
+-=⋅+-， 令0S '=，得02
2cos ,1a
a θ=
+ 且当0θθ<时，02
2cos 1a
a
θ>+，0S '>，
当0θθ>时，02
2cos 1a
a
θ<
+，0S '<， 所以当0θθ=时，面积S 最大，此时0060θ=，所以221
12
a a =+，
解得2a =
因为1a >，则2a =点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）在Rt △BEC 中，CE=1，∠EBC=30°，∴BE=，
在△ADE 中，AE=BE=，DE=CE=1，∠AED=150°，
由余弦定理可得AD=
=
；
（Ⅱ）∵∠ADC=∠ADE+60°，∠ABC=∠EBC+60°， ∴问题转化为比较∠ADE 与∠EBC 的大小．
在△ADE 中，由正弦定理可得，
∴sin ∠ADE=＜=sin30°，
∴∠ADE ＜30° ∴∠ADC ＜∠ABC ．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．
24．【答案】（1）102n a n =-；（2）2
29(5)
940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．
【解析】
试题分析：（1）由2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 是等差数列且18a =，42a =，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）令0n a =，得5n =，当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >，即可分类讨论求解数列n S ．
当5n ≤时，12||||||n n S a a a =++
2
129n a a a n n =+++=-
∴2
29(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩.1
考点：等差数列的通项公式；数列的求和．。