中江县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

中江县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数1)1(')(2++=x x f x f ，则=⎰
dx x f 1
)(（ ）
A ．67-
B ．67
C ．65
D ．6
5- 【命题意图】本题考查了导数、积分的知识，重点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有一定技巧性，难度中等.
2． 在极坐标系中，圆
的圆心的极坐标系是( )。

A
B
C D
3．
双曲线=1（m ∈Z ）的离心率为（ ） A
．
B ．2
C
．
D ．3
4． 已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-5342
y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则
实数m 的取值范围是（ ）
A ．1-<m
B ．10<<m
C ．1>m
D ．1≥m
【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.
5． 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ） A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6． 已知AC ⊥BC ，AC=BC ，D
满足
=t +（1﹣t
），若∠ACD=60°，则t 的值为（ ）
A
．
B
．
﹣
C
．
﹣1
D
．
7． 设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|=4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等
于（ ）
A ．
B ．
C ．24
D ．48
8． 下列结论正确的是（ ）
A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．
B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．
C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2
D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α
9． 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A ．α内有无穷多条直线与β平行
B ．直线a ∥α，a ∥β
C ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥α
D ．α内的任何直线都与β平行
10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
B ．8
C ．
D ．16
二、填空题
11．（
﹣2）7的展开式中，x 2
的系数是 ．
12．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22x f x =-，则不等式()16f x -≤的解集 是 ▲ ．
13．设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ．
14．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________.
15．设某双曲线与椭圆
136
272
2=+y x 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为 )4,15(，则此双曲线的标准方程是 .
16．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ．
三、解答题
17．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．（1）求BD长；
（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．
18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，
平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．
（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长．
19．已知椭圆C：
22
22
1
x y
a b
+=（0
a b
>>），点
3
(1,)
2
在椭圆C上，且椭圆C的离心率为1
2
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，A 为椭圆C 的右顶点，直线PA ，QA 分别 交直线：4x =于M 、N 两点，求证：FM FN ⊥．
20．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。

规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。

学生甲三轮考试通过的概率分别为
23，34，4
5
，且各轮考核通过与否相互独立。

（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。

记学生甲得到教育基金的金额为X ，求X 的分布列和数学期望。

21．（本小题满分12分）
两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中 放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.
（1）求0x =，1y =，2z =的概率；
（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.
【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．
22．已知函数()2
1ln ,2
f x x ax x a R =-
+∈． （1）令()()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；
（2）若2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明12x x +≥．
中江县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
2． 【答案】B 【解析】，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B 。

3． 【答案】B
【解析】解：由题意，m 2
﹣4＜0且m ≠0，∵m ∈Z ，∴m=1
∵双曲线的方程是y 2﹣x 2
=1 ∴a 2=1，b 2
=3， ∴c 2=a 2+b 2=4
∴a=1，c=2，
∴离心率为e==2． 故选：B ．
【点评】本题的考点是双曲线的简单性质，考查由双曲线的方程求三参数，考查双曲线中三参数的关系：c 2=a 2+b 2．
4． 【答案】C
【解析】画出可行域如图所示，)3,1(A ，要使目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则需直线l 过点A 时截距最大，即z 最大，此时1>l k 即可.
5． 【答案】B
【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，
若a⊥b，则α⊥β不一定成立，
故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．
6．【答案】A
【解析】解：如图，根据题意知，D在线段AB上，过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F；
若设AC=BC=a，则由得，CE=ta，CF=（1﹣t）a；
根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°；
∴；
即；
解得．
故选：A．
【点评】考查当满足时，便说明D，A，B三点共线，以及向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，余弦函数的定义．
7．【答案】C
【解析】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，
∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF1|=8，|PF2|=6，
∴∠F1PF2=90°，
∴△PF1F2的面积=．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
8．【答案】B
【解析】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确；
B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；
C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；
D中选项也可能相交．
故选：B．
【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
9．【答案】D
【解析】解：当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A．
当直线a∥α，a∥β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选B．
当直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β时，直线a 和直线b可能平行，也可能是异面直线，故不选C．
当α内的任何直线都与β平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，
故选D．
【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质得应用，注意考虑特殊情况．
10．【答案】B
【解析】解：由三视图知：几何体是三棱柱，且三棱柱的高为4，
底面是直角边长为2的等腰直角三角形，
∴几何体的体积V=×2×2×4=8．
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．
二、填空题
11．【答案】﹣280
解：∵（﹣2）7的展开式的通项为=．
由，得r=3．
∴x 2的系数是．
故答案为：﹣280． 12．【答案】[]2,4-
考
点：利用函数性质解不等式1111]
13．【答案】3
2
【解析】
试题分析：由题意得11,422
k α
α==⇒=∴32k α+=
考点：幂函数定义 14．【答案】或 【解析】
试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数是或． 考点：等差数列的性质．
【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据数列的单调性，得出150a d +=，所以60a =是解答的关键，同时结论中自然数是或是结论的一个易错点．
15．【答案】15
42
2=-x y 【解析】
试题分析：由题意可知椭圆
136
272
2=+y x 的焦点在y 轴上，且927362=-=c ，故焦点坐标为()3,0±由双曲线的定义可得()()
()()
4340153401522
2
2
2
=++--
-+-=
a ,故2=a ，5492=-=
b ，故所求双
曲线的标准方程为15422=-x y ．故答案为：15
42
2=-x y ． 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
16．【答案】 ．
【解析】解：∵抛物线C 方程为y 2
=4x ，可得它的焦点为F （1，0），
∴设直线l方程为y=k（x﹣1），
由，消去x得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．
∵|AF|=3|BF|，
∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y22=﹣4，
消去y
得k2=3，解之得k=±．
2
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．三、解答题
17．【答案】
【解析】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．
∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，
∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…
（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．
∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．
∴AD=AO …
【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．
18．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，
所以AG⊥EF．
又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AG⊂平面ADEF，
所以AG⊥平面ABCD．…
（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．
以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
设AG=t （t ＞0），则E （0，1，t ），F （0，﹣1，t ），
所以=（﹣4，﹣1，t
），=（4，4，0
），=（0，1，t ）．…
设平面ACE
的法向量为=（x ，y ，z ），
由=0
， =0
，得，
令z=1
，得=（t ，﹣t ，1）．
因为BF 与平面ACE
所成角的正弦值为
， 所以|cos
＜
＞
|=
=，…
即
=，解得t 2=1
或． 所以AG=1或
AG=．…
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
19．【答案】（１） 22
143
x y +=；（２）证明见解析． 【解析】
试题分析： （１）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中c b a ,,的等式关系可得b a ,的值，求得椭圆的方程；（２）可设直线P Q 的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，得直线PA l ，直线QA l ，求得点 M 、N 坐标，利用0=⋅得FM FN ⊥．
试题解析： （1）由题意得22222191,
41,2,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩
解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=．
又111x my =+，221x my =+， ∴112(4,)1y M my -，222(4,)1y N my -，则112(3,)1y FM my =-，222(3,)1
y FN my =-， 1212212121222499111()y y y y FM FN my my m y y m y y ⋅=+⋅=+---++2222236
3499906913434
m m m m m -+=+=-=---+++ ∴FM FN ⊥
考点：椭圆的性质；向量垂直的充要条件．
20．【答案】（1）25（2）X 的分布列为
数学期望为11124700()0100020003000361053
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-- 解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A ，则P （A ）＝
23423455⨯⨯=
所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为25
-------------4分 （2）X 的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分
21(0)133P X ==-
=，231(1000)(1)346P X ==⨯-=，2341(2000)(1)34510
P X ==⨯⨯-= 2342(3000)3455P X ==⨯⨯=------------------9分 所以，X 的分布列为
数学期望为11124700()0100020003000361053
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=---------------------12分 21．【答案】
【解析】（1）由0x =，1y =，2z =知，甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2， 此时的概率21
3111324P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭. （4分）
22．【答案】（1）当0a ≤时，函数单调递增区间为()0,+∞，无递减区间，当0a >时，函数单调递增区间为10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
；（2）证明见解析. 【解析】
试题解析：
（2）当2a =-时，()2
ln ,0f x x x x x =++>， 由()()12120f x f x x x ++=可得22121122ln 0x x x x x x ++++=，
即()()2
12121212ln x x x x x x x x +++=-， 令()12,ln t x x t t t ϕ==-，则()111t t t t
ϕ-'=-=
， 则()t ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 所以()()11t ϕϕ≥=，所以()()2
12121x x x x +++≥，
又120x x +>，故12x x +≥
， 由120,0x x >>可知120x x +>．1 考点：函数导数与不等式．
【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．
请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.。