2019年山西省晋中市平遥中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2019年山西省晋中市平遥中学高三数学文上学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等
于
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
答案：B
2.
下列各小题中，是的充分必要条件的是( )
①有两个不同的零点
②是偶函数
③
④
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
参考答案：
答案：D
3. 已知集合，，则=
A．
B．
C． D．
参考答案：
C
4. 已知在R上是奇函数，且
( )
A. B.2 C. D.98
参考答案：
A
5. 把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f(x)=（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
6. 设、是两个不重合的平面，m、m是两条不重合的直线，则以下结论错误的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
参考答案：
B
略
7. 半径为r的圆的面积公式为s=πr2，当r=5时，计算面积的流程图为（）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
D
【考点】流程图的概念．
【分析】因为处理输入和输出框是平行四边形，据此即可选出答案．
【解答】解：∵输入和输出框是平行四边形，故计算面积的流程图为D．
故选D．
8. 已知f(x)=是（-∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是
（）
A．（1，+∞） B．(-∞,3) C．( ,3) D．(1,3)
参考答案：
D
9. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的实轴长为2，离心率为，则双曲线的方程为（）
A．B．x2－=1 C．D．x2－=1
参考答案：
B
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的简单性质，求出a，b，即可得到双曲线方程．
【解答】解：双曲线=1（a＞b＞0）的实轴长为2，可得a=1，离心率为，可得，可得c=，
则b==2．
则双曲线的方程为：x2﹣=1．
故选：B．
10. 已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F也是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，C1与C2的一个交点为P，若PF⊥x轴，则双曲线C1的离心率为( )
A．+1 B．2C．2﹣1 D．+1
参考答案：
A
考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据抛物线的方程算出其焦点为F（，0），得到|PF|=p．设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的右焦点为F算出双曲线的焦距|FF′|=p，△TFF′中利用勾股定理算出
|MF′|=p，再由双曲线的定义算出2a=（﹣1）p，利用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．
解答：解：抛物线y2=2px的焦点为F（，0），
由MF与x轴垂直，令x=，可得|MF|=p，
双曲线﹣=1的实半轴为a，半焦距c，另一个焦点为F'，
由抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，
即c=，可得双曲线的焦距|FF′|=2c=p，
由于△MFF′为直角三角形，则|MF′|==p，
根据双曲线的定义，得2a=|MF′|﹣|MF|=p﹣p，可得a=（）p．
因此，该双曲线的离心率e===．
故选：A．
点评：本题给出共焦点的双曲线与抛物线，在它们的交点在x轴上射影恰好为抛物线的焦点时，求双曲线的离心率．着重考查了抛物线和双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为．
参考答案：
4
【考点】圆的切线方程．
【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，由此能求出△PAC的面积的最大值．
【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系，
∵AB=BC=2，∴C（3，0），
设P（x，y），
∵过动点P作半圆的切线PQ，PC=PQ，
∴=?，
整理，得x2+y2+6x﹣11=0，
∴点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，
∴当点P在直线x=﹣3上时，△PAC的面积的最大，
∴（S△PAC）max==4．
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．
12. 已知的展开式中的系数为3，则a= ．
参考答案：
略
13. 已知函数，若，则= .
参考答案：
8
14. ．某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理奖的6位华人的姓名，为此出了一份考卷。

该卷共有6个单选题，每题答对得20分，答错、不答得零分，满分120分。

阅卷完毕后，校方公布每题答对率如下：
则此次调查全体同学的平均分数是分。

参考答案：
66
假设全校人数有人，则每道试题答对人数及总分分别为
一二三四五六
答对人数
每题得分
所以六个题的总分为，所以平均分为。

15. 已知三棱柱的侧棱垂直底面，所有顶点都在球面
上， AC=1,,则球的表面积为___________.
参考答案：
8
略
16. 已知向量，若向量的夹角为，则直线与圆的位置关系是 .
参考答案：
相离
17. 已知二次函数的图像为开口向下的抛物线，且对任意都有
．若向量，，则满足不等式的
取值范围为．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，且函数g
（x）=x2+nx+mf′（x）（m，n∈R）当且仅当在x=1处取得极值，其中f′（x）为f （x）的导函数，求m的取值范围；
（3）若函数y=f（x）在区间（，3）内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互垂直，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）f′（x）=（x＞0），当a＞0时，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，故函数f（x）的单调增区间为（0，1）单调减区间为（1，
+∞）；
（2）函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45，则f′（2）=1，即a=﹣2； g（x）在x=1处有极值，故g′（1）=0，从而可得n=﹣1﹣2m，讨论m 的范围得出即可；
（3）由f′（x）=（x＞0）得（0，1）与（1，+∞）分别为f（x）的两个不同的单调区间，设存在的两点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），可得（2a2﹣1）x2＞a2，进而求出a的范围．
【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0），
当a＞0时，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，
故函数f（x）的单调增区间为（0，1）单调减区间为（1，+∞）；
（2）函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45，
则f′（2）=1，即a=﹣2；
∴g（x）=x2+nx+m（2﹣），
∴g（x）=x+n+=
∵g（x）在x=1处有极值，
故g′（1）=0，
从而可得n=﹣1﹣2m，
则g′（x）==
又∵g（x）仅在x=1处有极值，
∴x2﹣2mx﹣2m≥0在（0，+∞）上恒成立，
当m＞0时，由﹣2m＜0，
即?x0∈（0，+∞），
使得﹣2mx0﹣2m＜0，
∴m＞0不成立，
故m≤0，
又m≤0且x∈（0，+∞）时，x2﹣2mx﹣2m≥0恒成立，
∴m≤0；
（3）由f′（x）=（x＞0）得（0，1）与（1，+∞）分别为f（x）的两个不同的单调区间，
∵f（x）在两点处的切线相互垂直，
∴这两个切点一定分别在两个不同单调区间内．
故可设存在的两点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），
其中＜x1＜1＜x2＜3，
由该两点处的切线相互垂直，
得﹣=﹣1，
即： =﹣﹣，而∈（0，2），
故﹣﹣∈（0，2），
可得（2a2﹣1）x2＞2a2，
由x2＞0得2a2﹣1＞0，
则x2＞
19. 已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，
直线与曲线E交于A、B两点。

如果且曲线E上存在点C，使。

（1）求曲线的方程；（2）求的值；（3）求的面积。

参考答案：
（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知
故曲线的方程为
（2）设，由题意建立方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点，有
解得
又∵
依题意得整理后得∴或但∴
故直线的方程为
设，由已知，得∴，
20. 在等差数列中，，公差，记数列的前项和为. （1）求；
（2）设数列的前项和为，若成等比数列，求.
参考答案：
（1）∵，∴，∴，∴，
∴，
（2）若成等比数列，则，
即，∴
∵，
∴.
21. （本小题满分14分）设函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.
(1)若点P的坐标为，求f(θ)的值；
(2)若点P(x，y)为平面区域，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．
参考答案：
22. (12分) 已知命题p：函数f(x)＝－4mx＋4＋2在区间[－1，3]上的最小值等于2；命题q：不等式x＋|x－m|>1对于任意x∈R恒成立；命题r：{x|m≤x≤2m+1}?{x|x2≥1}．如果上述三个命题中有且仅有一个真命题，试求实数m的取值范围．
参考答案：
若命题p：函数f（x）=x2-4mx+4m2+2在区间[-1，3]上的最小值等于2，为真命题
则-1≤2m≤3即≤m≤ (2)
若命题q：：?x∈R，x+|x-m|＞1为真命题则m＞1 …（5分）
若命题r：{x|m≤x≤2m+1}?{x|x2≥1}为真命题则m＞2m+1或1≤m≤2m+1或m≤2m+1≤-1，即m＜-1或m≥1或m=-1 即m≥1或m≤-1 …（8分）
（1）若p真q，r假，则≤m＜ 1 …（9分）若q真p，r假，则m不存在…（10分）若r真p，q假，则m≤-1 …（11分）
实数m的取值范围是m≤-1 或≤m＜1 …（12分）
略。