2023-2024学年甘肃省庆阳市华池县第一中学高二下学期7月期末数学试题(含解析)

2023-2024学年甘肃省庆阳市华池县第一中学高二下学期7月期末
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A ={y|y =2x ,x ∈R}，B ={y|y =x 2,x ∈R}，则( )A. A ⊆B B. A ⊇B C. A =B D. A ∩B =⌀
2.5
2+i +3i =( )A. 2+2i
B. 2−2i
C. −2+2i
D. −2−2i
3.已知非零向量a ，b 满足|a |=2|b |，且(a−b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
4.已知随机变量X ∼N (2,1)，则P (0≤X ≤1)=( ) 附：若随机变量X ∼N (μ,σ2)，则P (μ−σ<X ≤μ+σ)=0．6826,P (μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0．9544．A. 0.0456
B. 0.1359
C. 0.2718
D. 0.3174
5.中国空间站(CℎinaSpaceStation)的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T ”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有( )A. 450种
B. 72种
C. 90种
D. 360种
6.将函数f (x )=sin 2
(5π
12
−x )−sin 2(x +π12)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若g (x )满足g (π6
−x )=g (π
6
+x )，则φ的最小值为( )
A. π
6
B. π
2
C. π
3
D. π
4
7.若X 是离散型随机变量，P (X =x 1)=2
3,P (X =x 2)=1
3，又已知E (X )=43,D (X )=2
9，则|x 1−x 2|的值为( )A. 7
9
B. 1
C. 2
D. 7
3
8.已知定义数列{a n +1−a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1=2,{a n }的“差数列”的第n 项为2n ，则数列{a n }的前2024项和S 2024=( )A. 22023−2
B. 22024
C. 22023
D. 22025−2
二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i,y i )(i=1,2,…,n)，用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x−85.71，则下列结论中正确的是( )
A. y与x具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心(x,y)
C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
10.已知圆C:x2+y2−kx+2y+1
4
k2−k+1=0，下列说法正确的是( )
A. k的取值范围是k>0
B. 若k=4，则该圆圆心为(2,−1)，半径为4
C. 若k=4，过M(3,4)的直线与圆C相交所得弦长为23，则该直线方程为12x−5y−16=0
D. 若k=4，m>0，n>0，直线mx−ny−1=0恒过圆C的圆心，则1
m +2
n
≥8恒成立
11.如图1，点E为正方形ABCD边BC上异于点B,C的动点，将ΔABE沿AE翻折，得到如图2所示的四棱锥
B−AECD，且平面BAE⊥平面AECD，点F为线段BD上异于点B,D的动点，则在四棱锥B−AECD中，下列说法正确的有( )
A. 直线BE与直线CF必不在同一平面上
B. 存在点E使得直线BE⊥平面DCE
C. 存在点F使得直线CF与平面BAE平行
D. 存在点E使得直线BE与直线CD垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在(2x−1)5展开式中，x2的系数为.(结果是数字作答)
13.已知函数f(x)=1
3
x3+mx2+nx+1的单调递减区间是(−3,1)，则m+n的值为．
14.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a sin A+2c sin C=2b sin C cos A，则角A的最大值为．
四、解答题：本题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)
在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B+C)=−1．
(1)求cos A ；
(2)若a =3,▵ABC 的面积为2 2，求b,c ．16.(本小题12分)
某市教育局进行新学年教师招聘工作，初试为笔试，考核内容为教育理论综合知识和专业知识，笔试成绩满分100分，60分及格，将笔试成绩分为“及格”与“不及格”两类，按照应届毕业生与往届毕业生两类统计如下：
不及格及格
应届毕业生50100往届毕业生75
125
(1)是否有90%以上的把握认为笔试成绩与毕业时间有关？
(2)在笔试成绩中，根据毕业时间进行分层抽样，各层中按成绩由高到低的顺序共选取90人进入复试，且这90人中“双一流大学”毕业生有4人，优秀班主任有5人，若从这9人中随机抽取2人被某市重点中学录用，记这2人中“双一流大学”毕业生的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．附：χ2=n (ad−bc )2
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ),n =a +b +c +d ．α0.1000.0500 0100.001x a 2.7063.8416.63510.828
17.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠ABC =90°，PA =2，AC =2
2．
(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；
(2)若二面角P−BC−A 的大小为45°，过点A 作AN ⊥PC 于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小．
18.(本小题12分)已知双曲线C:x 2a 2−
y 2
b 2
=1(a >0,b >0)的离心率为
5
2
，P 为C 右支上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为S,T ，且|PS |⋅|PT |=4
5．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若双曲线的左顶点为A，过B(4,0)的直线l与双曲线C交于D，E两点，直线AD，AE与y轴分别交于M，N 两点，设BM，BN的斜率分别为k1，k2，求k1⋅k2的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x2e x，g(x)=ax+2a ln x(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)有2个零点，求实数a的取值范围．
答案解析
1.A
【解析】由已知可得当x∈R时，2x>0，则A={y|y>0}，当x∈R时，x2≥0，所以B={y|y≥0}，
则A⊆B．
故选：A．
2.A
【解析】解：5
2+i +3i=5(2−i)
(2+i)·(2−i)
+3i
=5(2−i)
5
+3i=2−i+3i=2+2i．故选A．
3.B
【解析】解：设向量a与b的夹角为θ，则由(→
a−
→
b)⊥
→
b，
得(→
a−
→
b)⋅
→
b=
→
a⋅
→
b−
→
b
2
=|
→
a||
→
b|cosθ−|
→
b|2=2|
→
b|2cosθ−|
→
b|2=0，
所以cosθ=1
2
，因为0<θ<π，
所以θ=π
3，
故选B．
4.B
【解析】因为X∼N(2,1)，所以μ=2,σ=1所以P(0≤X≤1)=P(μ−2σ≤X≤μ−σ)
=1
2[P(μ−2σ<X≤μ+2σ)−P(μ−σ<X≤μ+σ)]
=1
2
×(0.9544−0.6826)=0.1359．故选：B
5.A
【解析】由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑：
第一种：分人数为1−2−3的三组，共有C 16C 25C 3
3⋅A 33=360种；
第二种：分人数为2−2−2的三组，共有C 26C 24C 2
2
A 33
⋅A 33=90种；所以不同的安排方法共有360+90=450种.故选：A ．
6.D
【解析】f (x )=sin 2
(5π
12
−x )−sin 2(x +π12)=cos 2(x +π12)−sin 2(x +π12)=cos (2x +π6)，则g (x )=f(x +φ)=cos (2x +2φ+π
6
)，
因为g (x )满足g (π6−x )=g (π
6
+x )，所以函数g (x )的图象关于直线x =π
6对称，
所以2×π6+2φ+π
6=kπ,k ∈Z ，所以φ=kπ2−π4,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为π
4．故选：D
7.B
【解析】2
3+1
3=1，故随机变量x 的值只能为x 1,x 2，
{2
3x 1+13x 2=43
2
3(
x 1−43)2+13
(
x 2−43
)2=29
，解得{
x 1=53
x 2
=23
或{
x 1=1
x 2=2,所以|x 1−x 2|=1．故选：B
8.D
【解析】据题意，得a n +1−a n =2n ，所以a 2−a 1=21,a 3−a 2=22,⋯,a n +1−a n =2n ，所以(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n +1−a n )=21+22+⋯+2n ，所以a n +1−a 1=2(2n −1).又a 1=2，所以a n +1=2n +1，所以a n =2n ，
所以S2024=21+22+⋯+22024=2(1−22024)
1−2
=22025−2．
故选：D．
9.ABC
【解析】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85>0，所以y与x具有正的线性相关关系，故A中结论正确；
又回归直线必过样本点的中心(x,y)，因此B中结论正确；
由线性回归方程中x的系数的意义知，女生的身高每增加1 cm，其体重约增加0.85 kg，故C中的结论正确；
当某女生的身高为170 cm时，其体重的估计值是58.79 kg，而不是确定值，因此D中的结论不正确．
故选ABC．
10.AD
【解析】将C:x2+y2−kx+2y+1
4
k2−k+1=0化为标准式可得(x−k2)2+(y+1)2=k，由圆的定义可知，k>0，故 A对；
当k=4时，圆的标准方程为(x−2)2+(y+1)2=4，则圆心为(2,−1)，半径为2，故B错误；
设过M(3,4)的直线方程为：y=m(x−3)+4，当k=4时，圆心为(2,−1)，半径为2，则d=22−(3)2
=1，即d=|−m+5|
m2+1
=1，解得m=12
5
，直线方程为：12x−5y−16=0，但当直线斜率不存在时，即
x=3，圆心到直线距离也为1，故这样的直线方程有两条，C错误；因为直线mx−ny−1=0恒过圆C的圆心，即2m+n=1，
则1
m +2
n
=(1m+2n)(2m+n)=4+n m+4m n≥4+24=8，当且仅当n=2m=12时取等号，故 D正确．
故选：AD
11.AC
【解析】解：A.假设直线BE与直线CF在同一平面上，而B，C，F构成平面BCD，
则可得B，E，C，F，D五点共面，由已知可得B点在平面DCE外，故假设不成立，故A正确B.若存在点E使得直线BE⊥平面DCE，由条件得平面BAE⊥平面DCE，
又BE⊂平面BAE，平面BAE∩平面DCE=AE，所以BE⊥AE，又AB⊥BE，
所以△ABE中有两个直角，与三角形内角和为180°矛盾，所以不存在点E使得直线BE⊥平面DCE，故B不正确；
C.取F为BD的中点，EC //
=1
2
AD，再取AB的中点G，连接FG，EG，易得FG
 //
=1
2
AD，
则EC//FG且EC=FG，四边形ECFG为平行四边形，所以CF//EG，而CF⊄平面BAE，EG⊂平面BAE，则直线CF与平面BAE平行，故C正确；
D.过B作BO⊥AE于O，因为平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD=AE，
所以BO⊥平面AECD，过D作DH⊥AE于H，因为平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD=AE，所以DH⊥平面BAE，所以DH⊥BE．
若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，DH⊂平面AECD，DC⊂平面AECD，DH∩DC=D，所以BE⊥平面AECD，
所以E与O重合，与三角形ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直，故D不正确．
故选AC．
12.−40
【解析】(2x−1)5展开式的通项为T r+1=C r5(2x)5−r(−1)r=C r525−r(−1)r x5−r，
令5−r=2，则r=3，所以x2项的系数为C35×22×(−1)3=−40．
故答案为：−40．
13.−2
【解析】解：f′(x)=x2+2mx+n，
由于函数f(x)=1
3
x3+mx2+nx+1的单调递减区间是(−3,1)，所以x=−3，x=1是f′(x)=x2
+2mx+n的两个零点，
所以{−3+1=−2m
−3×1=n，解得{m=1 n=−3,
所以m+n=−2．故答案为−2．
14.π
6
或30∘
【解析】因为a sin A +2c sin C =2b sin C cos A ，由正弦定理得a 2+2c 2=2bc cos A ，即cos A =a 2+2c 2
2bc
，又由余弦定理得cos A =b 2+c 2−a 2
2bc
，∴a 2+2c 2=b 2+c 2−a 2，∴2a 2=b 2−c 2，
∴cos A =
b 2+
c 2−a 22bc =2b 2+2c 2−(b 2−c 2)4bc =b 2+3c 24bc ≥2 3bc 4bc = 3
2
，当且仅当b =
3c 时等号成立，又A ∈(0,π)，∴A 的最大值为π
6．
故答案为：π
6
15.(1)
∵3cos(B +C )=−1，∴cos(π−A )=−13,∴cos A =1
3．(2)
由(1)得sin A =2
2
3
，
由面积公式12bc sin A =2
2，可得bc =6，①
根据余弦定理得cos A =b 2+c 2−a 22bc =b 2+c 2−912
=1
3，则b 2+c 2=13，②
两式联立可得b =2,c =3或b =3,c =2．
【解析】(1)由内角和定理结合诱导公式得出cos A ；
(2)由面积公式得出bc =6，再由余弦定理求出b 2+c 2=13，进而得出b,c ．
16.(1)
完善列联表如下所示：
不及格及格合计
应届毕业生50100150往届毕业生75125200
合计
125225350
零假设为H 0:笔试成绩与毕业时间无关．依据列联表中数据，经计算得到：
∴χ2=350×(50×125−75×100)2
125×225×150×200
≈0．648<2．706，所以，根据小概率α=0.1的独立性检验，
没有90%的把握认为笔试成绩与毕业时间有关．
(2)
依题意，X的所有可能取值为0,1,2，
P(X=0)=C25
C29
=
5
18,P(X=1)=
C15C14
C29
=
5
9,P(X=2)=
C24
C29
=
1
6．
故X的分布列为：X012
P
5 18
5
9
1
6
所以E(X)=0×5
18+1×5
9
+2×1
6
=8
9
．
【解析】(1)根据给定表中数据，计算χ2再与临界值表比对即可；
(2)随机变量X的可能取值为：0,1,2,3，计算随机变量X每个可能取值的概率，并写出分布列及期望即可．
17.解：(1)证明：因为PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC，又∠ABC=90°
故可得BC⊥AB，
又PA，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A
所以BC⊥平面PAB，
又BC⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAB；
(2)由(1)知BC⊥平面PAB，
所以PB⊥BC，又AB⊥BC，
所以∠PBA即为平面PBC和平面ABC所成的角，
即∠PBA=45°，又PA⊥AB，
所以AB=PA=2，
又∠ABC=90°，AC=22，
则BC=2
如图，以B为原点，BC，BA，为x，y轴，过点B作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立直角坐标系，
A(0,2,0)，P(0,2,2)C(2,0,0)，
设N(x,y,z)，PC =(2,−2,−2)，NC =(2−x,−y,−z)，
又N 点在PC 上，所以NC =λPC ，
(2−x,−y,−z)=λ(2,−2,−2)，
得N(2−2λ,2λ,2λ)，
又因为AN ⊥PC ，所以AN =(2−2λ,2λ−2,2λ)，
AN ⋅PC =0，
所以(2−2λ)⋅2+(2λ−2)⋅(−2)+2λ(−2)=0，
得λ=23，
所以N(23,43,43)，
AN =(23,−23,43)，
过点A 作直线垂直PB 于点M ，由(1)知平面PBC ⊥平面PAB ，平面PBC⋂平面PAB =PB ，AM ⊂平面PAB ，AM ⊥PB ，则AM ⊥平面PBC ，则AM 即为平面PBC 的法向量，
M(0,1,1)，AM =(0,−1,1)，
设直线AN 与平面PBC 所成角为θ，
则sinθ=|cos <AN ,AM >|=23+43
2 63⋅ 2= 32
，所以直线AN 与平面PBC 所成角为60°．
【解析】(1)根据线线垂直得线面垂直，再由线面垂直得面面垂直即可证明，
(2)由题意求出AB ，BC 的长，再建立直角坐标系转化为向量求解，通过点N 在BC 上得出N 点的坐标，再求线面角的值．
18.(1)
解：因为双曲线的离心率为 52
，所以e 2=a 2+b 2a 2=54，可得a 2=4b 2，设P (x 0,y 0)(x 0≥a )，则x 20a 2−y 20b
2=1，即b 2x 20−a 2y 20=a 2b 2，又双曲线C 的渐近线方程为bx ±ay =0，
所以|PS |⋅|PT |=|bx 0−ay 0| a 2+b 2⋅|bx 0+ay 0| a 2+b 2=|b 2x 20−a 2y 20|a 2+b 2
=a 2b 2a 2+b 2=45，又由于a 2=4b 2，则a 2=4,b 2=1，故双曲线方程为x 24−y 2=1．
(2)
解：设直线l:x =my +4，其中−2<m <2，D (x 1,y 1)，E (x 2,y 2)，
联立方程组{
x =my +4x 24−y 2=1，整理得(m 2−4)y 2+8my +12=0，由于m 2−4≠0，且Δ=(8m )2−4(m 2−4)×12=16m 2+192>0，
所以y 1+y 2=−8m m 2−4，y 1y 2=12m 2−4．
因为直线AD 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，
所以M 的坐标为(0,2y 1x 1+2)，同理可得N 的坐标为(0,2y 2x 2+2)，因为k 1=
2y 1x 1+2−4=−y 12(x 1+2)，k 2=2y 2x 2+2−4=−y 22(x 2+2)，
所以k 1k 2=y 1y 24(x 1+2)(x 2+2)=y 1y 24(my 1+6)(my 2+6)=y 1y 2
4[m 2y 1y 2+6m (y 1+y 2)+36]
=12m 2−44(12m 2m 2−4−48m 2m 2−4+36
)=312m 2−48m 2+36m 2−144=−148，即k 1k 2为定值−148．
【解析】(1)先由离心率为 52
，得到a 2=4b 2，再由|PS |⋅|PT |=45，结合双曲线的渐近线，求得a 2b 2a 2+b 2=45
，联立方程组求得a 2,b 2的值，即可求解；(2)设直线l:x =my +4，联立方程组得到y 1+y 2=−8m m 2−4，y 1y 2=12
m 2−4，得出直线AD 的方程求得M
(0,2y 1x 1+2)，N (0,2y 2
x 2+2)，利用斜率公式，准确化简，即可求解．19.解：(1)由题意，函数f (x )=2x 2e x 可得f′(x )=2(x 2+2x )e x =2x (x +2)e x ，
当x <−2，x >0时，f′(x )>0；
当x =−2，x =0时，f′(x )=0；
当−2<x <0时，f′(x )<0，
所以函数f (x )的单调增区间为(−∞,−2)和(0,+∞)，
函数f (x )的单调减区间为(−2,0)，
函数f (x )的极大值为f (−2)=8
e 2，函数
f (x )的极小值为f(0)=0；
(2)函数ℎ(x )=2x 2e x −ax−2a ln x 的定义域为(0,+∞)，
则ℎ′(x )=2(x 2+2x )e x −a−2a x =2(x +2)(x e x −a 2x )=2(x +2)x (x 2e x −a 2)， 令k (x )=x 2e x −a 2，则k′(x )=(x 2+2x )e x >0，
所以，函数k (x )在(0,+∞)上为增函数，且k (0)=−a 2．
①当−a 2≥0时，即当a ≤0时，ℎ′(x )>0对任意的x >0恒成立，
所以函数ℎ(x )为(0,+∞)上的增函数，则函数ℎ(x )在(0,+∞)上至多只有一个零点，不合乎题意；
②当−a 2<0时，即当a >0时，则存在x 0>0使得k (x 0)=x 20e x 0−a
2=0，当0<x <x 0时，k (x )<0，此时ℎ′(x )<0，则函数ℎ(x )在(0,x 0)上单调递减，
当x >x 0时，k(x)>0，此时ℎ′(x )>0，则函数ℎ(x )在(x 0,+∞)上单调递增，
由于函数ℎ(x )有两个零点，
当x→0+时，ℎ(x )→+∞；当x→+∞时，ℎ(x )→+∞．
可得
ℎ(x 0)=x 20e x 0−12ax 0−a ln x 0=x 20e x 0−12a ln (x 20e x 0)=a 2−12a ln a 2=a 2(1−ln a 2)<0，可得a
2>e ，解得a >2e ．
【解析】(1)利用导数的性质，结合极值的定义进行求解即可；
(2)根据导数的性质，结合构造新函数法、函数零点的定义，利用分类讨论思想进行求解即可．。