在d_r_e_度结构中真d_r_e_分支度的弱稠密性

b
在 d 2r . e . 度结构中真 d 2r . e . 分支度的
弱稠密性 3
陆 宏 丁德成
( 南京大学数学系 ,南京 210093)
摘要 证明了对任意 r . e . 度 v < u , 存在真 d 2r . e . 度 c ,使得 c 在 d 2r . e . 度结构中可
分支 ,且 v < c < u .
关键词
递归论 d 2r. e. 度 分支
一个 d 2r . e . 度称为分支度当且仅当它是两个不可比较 d 2r . e . 度的下确界. 存在真 d 2r . e .
度在 d 2r . e . 度结构中可分支1)
. 文献1 证明了每一个低 r . e . 度在 d 2r . e . 度中可分支 ,因此分 支度在 d 2r . e . 度中向下稠密. 本文改进了这个结果 ,证明了在 d 2r . e . 度结构中可分支的真 d 2 r . e . 度的弱稠密性.
采用文献2 中的标准符号
(有关内容亦可参考文献3 ) . 令 A Σ r 表示集合{ x ; x < r , x ↔A } . 计算
ΦX ( y ) 的用函数表示为 <( X , y ) 或 <( y ) . 如果外部信息源 (o r acle ) 是两个集合 的并 ,则认为 Φ( X © Y ) Σ ( <( z ) + 1) ( z ) 等同于 ΦX Σ ( <( z ) + 1) © Y Σ ( <( z ) + 1) ( z ) ( 对 3 个集合的并的情
形类似处理) .
定理 1 设 r . e . 度 v < u , 则存在 d 2r . e . 度 a , b 和真 d 2r . e . 度 c ,使得
u > a > c > v , u > b > c > v , a ∩ b = c .
证 不失一般性 ,设 v 非递归 (因为 r . e . 度稠密) . 固定集合 U ↔u , V ↔v. 只需构造 r .
e . 集 A , B 和真 d 2r . e . 集 C 对每一个 e 下列需求能满足即可 :
S : A © C © V ≤T U , B © C © V ≤T U ,
N e :{ e} A © C © V = { e} B © C © V = f 是全函数 ] ϖΓ(ΓC © V = f ) ,
P 0 C © V
e : A ≠Φe , P 1 C © V
e : B ≠Φe
, a ∨ W 其中 Γ 是为每一个 e 构造的 p . r . 函数.
≠ΦC © V ,
1998210215 收稿
3 国家自然科学基金( 批准号 :19771045) 及国家“八六三”计划资助项目
s s
s
t
1 N i , P i 和 R i 的策略
111 N e 的策略
N e 的策略是对 Fejer 的策略的修改. 设σ服务于 N e 策略. 在每一个σ2阶段 s ,策略进行 如下 :
(1) (恢复过程) 检查是否存在一个 (最小的) n , 使得 ΓC © V ( n ) 有定义 ,但与{ e } A © C © V
( n ) 和{ e } B
© C © V
( n ) 均不等. 如果这样 ,则将
γ( n , s ) 放入 C 中. 回到 ( 1) 的起点直到没有元素再放入 C 中. 以下常 称γ( n ) 为一记号 ( m ar ker ) . γ( n ) 的值称为 γ( n ) 的位置. 当将 γ( n ) 放入 C 中时 , 称
γ( n ) 被移走. (2) 检查 l (σ, s ) = ma x { x | Π x ′< x ( { e} A © C © V ( x ′) ↓= { e} B © C © V
( x ′) ↓) } 的长度是 s s
否远大于以前任一σ2阶段的长度.
如果这样 ,则对每一个 x < l (σ, s ) , 令 ΓC © V ( x ) = { e} A © C © V
( x ) 且用函数的值为以前的 用( 如果
ΓC © V ( x ) 以前有定义且在 ΓC © V ( x ) 上一次被定义后 , 没有 γ( y ) ( y ≤x ) 进入 C © V ) 或为足够大的用
(否则) . (3) (附加规则) 除有穷多次例外 ,一些小于等于 γ( n , s ) 的数不能放入 C , 除非存在一数 m ≤n , 使得至少一个计算{ e} A © C © V
( m ) 或{ e} B © C © V
( m ) 在 Γ
C © V
( n ) 被定义后改变了计
s
s
算.
易见如果 A , B , C 和Γ 按以上规则 (1) ～ (3) 构造 ,则 N e 可满足.
另外 , 为 满 足 后 面 给 出 的 M 2策 略 , 需 引 入 规 则 ( 4 ) , 使 得 如 果 { e }
A © C © V
( n ) 和 { e} B © C © V
( n ) 发散 ,则 N e 最终将使γ( n ) 无穷多次地被移走.
定义 ma x 2min ( n , s ) 为用于保护 N e 使得γ( n ) 在 s 阶段和 t 阶段之间不发生移动的最小 计算的最大长度 ,其中 t 为当时ΓC © V
( n ) 有定义且在 t 阶段与 s 阶段之间
( C © V ) Σγ( n , t ) 不再改变的最小阶段.
( 4) 如果 ΓC © V ( n ) 在 s 阶段有定义 ,ma x 2min ( n , s ) 有定义 ,在 s 阶段和 max 2min ( n , s ) 第
1 次取得现有值的那个阶段之间 , V 在 ma x 2min ( n , s ) 之下发生了改变 ,则将
γ( n ) 放进 C 中. 如果对所有 n ↔
ω, 有{ e} A © C © V ( n ) ↓= { e} B © C © V ( n ) ↓, 则对所有 n ,ma x 2min ( n , s ) 有 一个有穷极限. 因此 ,规则
(4) 对每个记号只会引入有穷次运动. 这意味着规则 ( 4) 的引入仍 能确保 N e 得到满足. 再者 ,如果 lim s ma x 2min ( n , s ) = ∞, 则可得出
γ( n ) 将无穷次被移动. 否则 ,假定 γ( n ) 在 s 0 之后不再被移动. 因为 C 将被构造成 d 2r . e . 集 , 所以存在某个阶段
s 1 ≥s 0 ,使得 s 1 之后 ,γ( n ) 永远有定义. 因此 ma x 2min ( n , s ) 在 s 1 之后是非降的 ,故必定存在 一数 x ,它在某个 s ( > s 1 ) 时进入 V ,且 ma x 2min ( n , s ) > x . 否则 ,就可以通过检查 x 是否在 V s 来判断 x 是否在 V 中 ,其中 s 是 s 1 阶段后满足 ma x 2min ( n , s ) > x 的最小阶段. 这表明 V
递归 ,与假定 V 非递归矛盾. 因此 ,如果{ e} A © C © V
( n ) ↑和{ e} B © C © V ( n ) ↑,则规则
(4) 将确 保
γ( n ) 无穷次被 N e 2策略所移动. 112 P 0 的策略 : A ≠
ΦC © V
e e 对于平凡情形 ,在每个具有更高优先权的 N 2策略的前件是错误的情形 ,只需用 Sacks 的
e e
e
e e
e
e
编码/ 保护策略4 就能使 P A 得到满足. 此证明略去
,更复杂的策略是建立在此基础之上的. 仍然使用 Sacks 的想法 , 将 U 编码到 A © C © V 中 , 保护 C © V 以确保 A = ΦC © V
→ A ≤T V 且 A = ΦC © V →U ≤ A . V < U 的假定确保上式不可能成立. 为满足 P 0
, 引入构形 e T
T e (co n figurati o n ) 这一想法. 注意到与常用的构形方法一样2 ,永久的 ( B © C © V ) 2构形的集合
在 V 中递归.
定义 1 (1) 定义 ma x 2min ( i , n , s ) 为 ma x 2min ( n , s ) 的值 ,且该值与 N i 的记号γi ( n ) 相 关.
(2) 一个阶段 s 的 B © C © V 2构形是用于保护 ( C © V ) s Σ l 的 ,且它必须尊重 N 12策略
ρ1 , , N k 2策略ρk ,
则此构形是 ( B © C © V ) s 的前节 ,具有 l ′长度 ,使得对每一个记号 γi ( i ≤ k ) 在 s 阶段满足
( ⅰ) l ′≥l ;
( ⅱ) 对所有 i ≤k 和任意 n , 如果 γi ( n , s ) < l ′, 则 u ( B © C © V ; i , n , s ) < l ′且 ma x 2 min ( i , n , s ) < l ′.
(3) 一个 s 阶段的 A © C © V 2构形可类似定义.
(4 ) 一 个 s 阶 段 的 A © C © V / B © C © V 2构 形 可 类 似 于 ( 2 ) 定 义 , 需 注 意 的 是
“u ( B © C © V ; i , n , s ) < l ′”要略去.
设σ服务于 P 02策略且 N
2策略ρ , , N 2策略ρ 是所有高于σ且在σ中不满足的 N 2策
e 1 1 k k
略 ( 其定义在第 2 节中给出) , 它由 ω 个环组成. 第 n 个环进行如下 :
( 1) 如果 ΦC © V Σ ( n + 1) = A Σ ( n + 1) , 则进入 ( 2) . 否则 , 对所有 i ≤k 和 n ′≥n , 取消 m n ′, i 的值 ; 保护 ( B © C © V ) Σ r ( n - 1 , s ) . 结束 s 阶段的 P 0
策略的行动 , 其结果为〈 d , n , r ( n - 1 , s ) 〉( d 是“disagree ”的简写. 如果无穷多次停留在第 n 个环的 ( 1 ) 步 , 则要么
Φ
C © V
C © V
e
( n ) ↓≠A ( n ) , 要么 Φe ( n ) ↑) . (2) 如果对每一个 j ≤k , m n , j 有定义 , 则进入 ( 3) . 否则 , 施归纳于 j , 对每个未定义的 m n , j 指定一个值. 在递归过程中 , 令 i 为最小的使得 m n , j 未定义的那个 j . 定义 m n , i 为一个 足够大数.
( 3) 施归纳于 i ,从 k 开始反向进行归纳. 如果γ( m n , i ) 没有一个位置 ,或计算{ i} B © C © V Σ
( m n , i + 1) 在 s 阶段和γi ( m n , i ) 被赋予了现有位置的那个阶段之间发生了改变 , 或者存在一个
j ≥i 使得γj ( m n , j , s ) < u ( B © C © V ; i , m n , i , s ) ,
则进行如下操作 : 将集合{γj ( m n , j , s ) | j ≥i } 中的最小元素放入 C , 如果这样的
γj ( m n , j ) 有定义的话. 进 行ρ1 , ,ρk 2恢复过程 ; 对每一个 j < i , 取消 m n , j 的值 ; 对每一个 n ′≥n , 取消δ′( n ′) 的值 ( P 0 策略的编码值) ; 对每一个 n ′> n 和 j ≤k , 取消 m n ′, j 的值 ; 保护
( B © C © V ) Σ r ( n - 1 , s ) ; 结 束 s 阶段 P 0 策略的活动 , 其结果为〈c , m n , i
, i , r ( n - 1 , s ) 〉
( 如果这个结果重复无穷次 , 则认 为这个策略之所以不能保护一个 B © C © V 2构形是由于{ i } B © C © V 不是全函数造成的) .
如果以上各种情形都不发生 , 则定义 r ( n , s ) = inf ( {γi ( m n , i , s ) | i ≤k} ) .
如果δ′( n ) 没有定义 , 令δ′( n , s ) 为一个足够大数 , 开始第 ( n + 1) 个环. 在 s 阶段 , P 0
策略的编码工作进行如下 :
假定 ΦC © V P 1
如果δ′( k , s ) 有定义 , 则令 t 为δ′( k ) 被指定了值 δ′
( k , s ) 的那个阶段. 如果 k 是 U s - U t 的元素且 A s Σ (δ′( k , s ) + 1) = A t Σ (δ′( k , s ) + 1) , 则将 δ′( k , s ) 放入 A 中 , 并取消 δ′
在 所有那些 ≥n 的数上的值. 开动ρ1 , ,ρk 2恢复过程.
结束这个策略.
e
= A 且对每个 n 能发现一个 B © C © V 2构形用以保护 ( C © V ) Σ <( C © V ; e , n ) , 那么就能断定 U 在 V 中递归. 首先应当注意到 V 能枚举出永久的
( B © C © V ) 2构形的 集合 , 这意味着 A 在 V 递归. 这时 , 为计算 n 是否为 U 中元素 , 用 V 计算出前 n 个永久 B ©
C © V 2构形且找到第 1 个使它们被保护的 s 阶段 , 则 δ′( n , s ) 不会被改变 , 因此由编码策略 ,
就能得知 n ↔U 当且仅当 n ↔U s 1 , 其中 s 1 满足 A s 1 Σ (δ
′( n , s ) + 1) = A Σ (δ′( n , s ) + 1) . 因 而就能得到 U ≤T V , 矛盾. 因此 , 要么 ΦC © V ≠A , 要么存在 n , 使得 ΦC © V
Σ n = A Σ n 且 e e
ΦC © V
e
( n ) 收敛 , 但不能保护一个永久的 B © C © V 2构形用以保护
( C © V ) Σ <( C © V ; e , n ) . e 的策略与此类似. 113 R 〈 e , a , b 〉
的策略 R 〈e , a , b 〉
的基本模式是将用于构造 d 2r . e . 度的策略和构造构形的策略融合在一起. 情形 1 设 R 〈e , a , b 〉2策略σ在 N 1 2策略ρ1 ,
, N n 2策略ρn 之下
, 且它们在σ中不满足. 一个环 ( j ′, k ′) 进行如下 :
( 1) 选择一个足够大数 x 作为其候补 ( c andidate ) . ( 2) 等待一个阶段 s 1 , 使得对某个最小的 u 和 v ,
0 = C s ( x ) = ΦW e , s Σ u
( x ) ∧ W
Σ u = Φ( C © V ) s 1 Σ v
Σ u . 1
a 1
e , s 1
b
如果这样 , 则进入下一步. 否则 , 结束 R 〈e , a , b 〉策略在 s 阶段的活动 , 其结果为〈 d 〈, j ′〉, r - 〉, 其中 r -
是环〈 j ′, k ′〉在 x 被指定时所需尊重的最大限制.
i ′,
( 3) 如果对每一个 j ≤n , m 〈 j ′, k ′〉, j 有定义 , 则进入 ( 4) ( 以下常用 m j 表示 m 〈 j ′, k ′〉, j ) . 否 则
, 施归纳于 j , 对每一个未定义的 m j 指定一个值. 在递归过程中 , 令 i 为那个最小的 j , 使得 m j 未定义. 定义 m i 为一个足够大数.
(4) 施归纳于 i , 从 n 开始反向进行归纳. 如果 γi ( m i ) 没有位置 , 或计算{ i } A © C © V
Σ
( m i + 1) 和{ i } B © C © V Σ ( m i + 1) 之一在阶段 s 和γi ( m i ) 被赋予了现有位置的那个阶段之间
发生了改变 , 或存在一个数 j ≥i , 使得
γj ( m j ) < ma x { u ( B © C © V , i , m i ) , u ( A © C © V , i , m i
) } , 则进行如下操作 :
将{γj ( m j ) | j ≥i } 中最小元放入 C , 如果任意这样的 γj ( m j ) 有定义 , 启动
ρ1 , ,ρn 的恢 复过程 ; 对每一个 j < i , 取消 m j 的值 ; 保护 ( A © B © C ) Σ r - ; 结束 s 阶段 R 〈e , a , b 〉
策略的活 动 , 其结果为〈c , m 〈 j ′, k ′〉, i , i , r - 〉
, 其中 r -
表示环 ( j ′, k ′) 所需尊重的最大限制. 如果以上各种情况都不发生 , 则定义 cf 〈( i ≤n } ) , 这时称 m i 与 cf 相关.
j ′, k ′〉, s ) 为 cf 〈
( j ′, k ′〉, s ) = inf ( {γi ( m i , s ) | ( 5) 限制 ( A © B © C ) Σ cf 〈( j ′, k ′〉, s ) ( 以下常用 cf 表示 cf 〈( j ′, k ′〉, s ) ) .
( 6) 令 ΔV ( k ′) = U ( k ′) , 其用为δ ( k ′) = cf . 同时启动环
( j ′, k ′+ 1) .
j ′ j ′ ( 7) 等待 U ( k ′) 改变.
如果这样,则停止所有> ( j′,k′)的环并进入(8) 步.
(8) 将x 放入C .
( 9) 等待某个阶段s2 , 使得对某个最小的u′和v′,
1 = ΦW e , s Σu′( x)∧W
a 2 e , s2 Σu′= Φ( C ©V ) s2 Σv′
b Σu′.
如果这样, 则进入下一步. 否则, 结束s 阶段的R〈
e ,a , b〉
策略的活动, 其结果为〈d′〈, j′〉, cf 〉.
( 10) 除m j 换成m′j外,同(3) .
(11) 除m j 换成m′j; cf 换成cf ′外, 同(4) .
( 12) 限制( A ©B ©C) Σcf′.
( 13) 令ΔV ( j′)= U ( j′),其用为δ( j′)= cf′.同时启动环( j′+ 1 ,0) .
( 14) 等待U ( j′)改变.
如果这样, 则停止所有≥( j′+ 1 , 0) 的环并进入(15) 步.
( 15) 将x 从C 中移走.
( 16) 等待V Σcf 或V Σcf′改变. 相应地进入( 17) 步或( 18) 步.
i′,
(17) 重新定义ΔV ( k′)= U ( k′)= 1 和δ( k′)= - 1 ,取消所有> ( j′, k′)的环, 启动环
j′j′
( j′, k′+ 1) 并终止环〈j′, k′〉.
(18) 重新定义ΔV ( j′)= U ( j′)= 1 和δ( j′)= - 1 , 取消所有≥( j′+ 1 , 0) 的环, 启动环
( j′+ 1 , 0) 并终止环〈j′, k′〉.
情形2 设R〈e , a , b〉2策略σ在N 0 2策略ρ0 , , N n2策略ρn 之下, 且对每个i ≤n , ρi 在σ
中满足或受损害.
除( 3) 和( 10) 被略去, ( 4) 和( 11) 相应地被换成( 4′)和( 11′), cf 和cf′相应地被换成dcf 和dcf ′外, 环( j′, k′)运作类似于情形1 .
(4′)如果不存在数m , 使得r - < γi ( m )< v , 其中r - 如(4) 中定义, 则令dcf = v . 否则,
定义dcf = μk ≥v ( k 是A ©C ©V / B ©C ©V 2构形) .
( 11′)如果不存在数m , 使得ma x {r - , dcf } < γi ( m )< v′,则令dcf′=v′.否则, 定义
dcf ′=μk ≥v′(k 是A ©C ©V / B ©C ©V 2构形) .
114 R〈e , a , b〉的总体操作
一旦R〈e ,a , b〉适于运行,
( ⅰ) 检查是否下列情形之一存在. 如果这样, 则先如下面一样运作再进入下面的( ⅱ)步. 如果ⅰ) 和ⅱ) 都成立,则做ⅰ) 中的活动. 如果以下情形都不发生,则进入下面的( ⅱ) .
ⅰ) 对某个最小环〈j′,k′〉, 其候补x 还没有放入C , x 也没有被取消, 存在某个最小数
i ≤n和y ,使得r < γi ( y) < x ,并且计算{ i}A ©C ©V ( y) 或{ i}B ©C ©V ( y)在γi ( y)被定义后发生了改变, 其中r 为x 被指定时环( j′, k′)所需尊重的最大限制. 设m i 与r 相关.
如果这样, 则将最小的满足y > m i 的γi ( y )放入 C .对每个i ≤n 运行ρ0 , ,ρn2恢复过程. 让环( j′, k′)回到(2) 步并重新启动所有更低的策略. 注意, 这一步的行动是有穷的(这一步的理由如下:否则当x 被放入C 时可能会破坏某个满足γi ( y) < x 的y 的计算{ i} A ©C ©V ( y)和{ i} B ©C ©V ( y) . 这将导致某个≤γi ( y) 的数被放入C 而以后x 不能再被抽出. 这就破坏了
N i S i n , i 1 1 S i n , i
该策略) .
ⅱ) 对某个环 ( j ′, k ′) , 候补 x 还没有被放入 C 但 V Σ cf 发生了改变.
如果这样 , 让限制 cf 为 0 , 取消所有 > ( j ′, k ′) 的环并令 ( j ′, k ′) 适于运行并运行. 然后再 检查是否 ( C © V ) s Σ v 发生了改变. 如果它改变了 , 则回到 ( 2) 步. 否则 , 回到
( 3) 步. ⅲ) 对某个最小的环 ( j ′, k ′) , 候补 x 已被放入 C , 但还没有被从 C 中抽出且 V Σ cf ′发生 了
改变.
如果这样 , 让限制 cf ′为 0 , 取消所有 > ( j ′, k ′) 的环并令 ( j ′, k ′
) 适于运行并运行. 然后检 查是否 ( C © V ) s Σ v ′发生了改变. 如果这样 , 则回到 ( 9) 步. 否则 , 回到
( 10) 步. ( ⅱ) 找到最小的适于运行的环并让它如上面的策略中所述的一样运行.
基本模式有 5 个可能的结果 :
( ⅰ) 存在一个阶段 s , 使得此后没有环可运行 , 则某个环 ( j ′, k ′) 最终永运停留在
( 2) , ( 9) 或
( 16) 步. . ( ⅱ) 某个环 ( j 0 , k 0 ) 可无穷次运行 , 但没有一个 < ( j 0 , k 0 ) 的环可以这样 , 且
( j 0 , k 0 ) 无穷 次回到 ( 2) 或 ( 9) 步 , 则 Φa 或Φb 是部分递归函数. 注意其所有环的限制函数有下确界. ( ⅲ) 某个环 ( j 0 , k 0 ) 可无穷次运行 , 但没有一个 < ( j 0 , k 0 ) 的环能这样 , 并且它无穷次从 ( 4) 运行到 ( 3) , 或从 ( 11) 到 ( 10) , 则必定存在一个数 i ( i ≤n ) , 使得 γi ( m i ) ↑或 γi ( m ′i ) ↑
. 在这种情形 , N i 显然可满足.
( ⅳ) 存在 j 0 , s j ( j < j 0 ) 和 t k ( k ↔ω) , 使得没有环 ( j , k ) 在 s j 阶段之后运行 , 且环 ( j 0 , k ) 在 t k 阶段之后不运行 , 但不存在阶段 s , 使得对所有 k , 环 ( j 0 , k ) 在 s 之后都不运行 , 则每个环 ( j 0 , k ) 最终在 ( 7) 步永远等待下去 , 或已通过 ( 17) 步. 所有这些表明经过 Δj 可得到 U ≤T V , 0
同定理的假设矛盾.
( ⅴ) 存在阶段 s j ( j ↔ω) , 使得没有环 ( j , k ) 在 s j 阶段后运行 , 但存在无穷多个阶段使得
某个环运行 , 则对每个 j , 存在一个环
( j , k j ) , 它最终停留在 ( 14) 步或已通过 ( 18) 步. 所有这 些表明经过 Δ 可得到 U ≤T V , 同定理的假设矛盾. 115 稠密性策略
与文献[ 2 ]中类似 , 也需要一新策略 ———稠密性策略 M l , 使得它对所有 l ↔
ω 成立. M l : ϖ l ′≥ l ( l ′是一个 A © C © V / B © C © V 2 构形) .
该策略是文献[ 3 ]中的策略.
2 策略的树和构造
用来满足各种需求的策略 , 连同它们的结果将被构造成一棵树 T . 对每个策略 , 存在一 个明显的序.
( 1) 如β策略是 β
, 则它只有一个结果
0 . β
β
β
( 2) 如β策略是 S i 且 S i 是 R i .
β β
( ⅰ) S i ⌒〈 d , n , r 1 〉< S i ⌒
〈 d , n , r 2 〉, 如果 r 1 < r 2 . β β ( ⅱ) S i ⌒〈 d , n , r 1 〉< S i ⌒
〈c , m n , i , i , r 2 〉对任意 m n , i , r 1 , r 2 和 i 成立. ( ⅲ) β ⌒〈 c , m 1 , i , r 〉< β
⌒〈 c , m 2 , i 2 , r 2 〉, 如果 i 1 > i 2 ; i 1 = i 2 且 m n , i < 1
S i n , i 1 1 S i n , i
S i i
i N i i
m n , i ; i1= i2且m n , i
2 1
β= m n , i
2
, r1 < r2 .
β
( ⅳ) S i ⌒〈c , m n , i , i , r1 〉< S i ⌒〈d′,n , r2 〉对任意m n , i , i , r1 和r2 成立.
ββ
( ⅴ) S i ⌒〈d′,n , r1 〉< S i ⌒〈d′,n , r2 〉, 如果r1 < r2 .
ββ
( ⅵ) S i ⌒〈d′,n , r1 〉< S i⌒〈c′,m′n , i , i , r2 〉对任意m′n , i , r1 , r2 和i.
( ⅶ) β⌒〈c′,m′
1 , i , r 〉< β⌒〈c′,m′
2
, i 2, r2 〉, 如果i 1> i 2; i 1= i 2且m′n , i <
1
m′n , i ; i1= i2且m′n , i = m′n , i, r1 < r2 .
2 1 2
ββ
( ⅷ) S i ⌒〈c′,m′n , i , i , r1 〉< S i ⌒〈d , n + 1 , r2 〉对任意m′n , i , i , r1 和r2 .
βββ
( 3) 如β策略是S i 且S i 是P i ,则只需要( 2) 中的( ⅰ) ～( ⅲ) 和( ⅷ) 4 条规则,并将c′, m′n , i
相应地换成c , m n , i .
这里需声明的是如果β服务于P 2策略,则环的集合{ n| n ↔ω} 使用平常的自然序;如果
βS
i
服务于R i2策略, 则集{〈j , k〉| j , k ↔ω} 采用字典序.
施归纳于σ的长度, 定义树T 中的结点. 同样, 也需一些附加概念, 以使归纳进行下去.
( 1) 如果σ↔T , 称N i2策略ρi 在σ中可满足, 如果存在m , r 和j , 使得σ( m ) = σΣ
m ⌒〈c , m n , i , i , r〉且ρi 在σΣm 不满足也未被损害.
(2) 如果σ↔T 且σ( m ) 服务于N i2策略, 则称σ( m )在σ中被损害, 如果存在m′≥m , k < i , 使得存在j , n , m n , k 和r 满足σ( m′)=σΣm′⌒〈c , m n , k , k , r〉.
( 3) 称P i ( 或R i) 在σ中可满足,如果存在m 和r 满足σ( m) = σΣm ⌒〈d , n , r〉且σΣ
m 服务于P i (或R i) .
设树T 已定义了所有长度小于等于k 的σ. 令σ为T 中具有长度k 的任一策略. 设需求
的优先序为
S , N 1 , P1 , M 1 , N 2 , R 1, M 2 , N 3 , P2 , M 3 , N 4 , R 2, M 4 , .
在σ之后让它的最先后继服务于σ中未被满足的优先序中的第 1 个需求, 令i 为最小数满足:要么N 在σ中不满足且每个在σ中出现的σΣm 在σ中都被损害, 要么P 在σ中不满足, 要么R i在σ中不满足,要么不存在策略服务于M i .
情形1 N i在σ中不满足且每个N i2策略在σ都被损害.
令σ服务于N i , σ在T 中的最先后继是σ⌒0 .
情形2 情形1 不成立且P i 在σ中不满足.
令Active2index (σ) = { j| j ≤i , N j 在σ中不满足} . 令Outco m es = {〈c , m n , j , r〉〈, d , n , r〉| j ↔Active2inde x (σ) ,{n , m n , j , j , r} < ω} . 再令σ服务于P i . σ在T 中的最先后继具有形式σ⌒o ,其中o ↔Outco m e .
情形3 情形1 不成立且R i在σ中不满足.
令Active2index (σ) = { j|j ≤i 且N j 在σ中不可满足} . 令Outco m es = {〈c , m n , j , j , r〉,〈d , n , r〉〈,c′,m′n , j , j , r〉〈,d′,n , r〉| j ↔Act ive2index (σ) , {n , m n , j , m′n , j , j , r} < ω} , 其中n
具有形式〈- , - 〉. 再令σ服务于R i. σ在T 中的最先后继具有形式σ⌒o , 其中o ↔Out2
co m e .
情形4 σ不满足以上各种情形.
令σ服务于M i . σ的最先后继具有形式σ⌒r ,其中r ↔ω.
N j j X R i
对树 T 上每一个结点一致地指定一个互不相交的递归集 P σ. 在构造中 , 服务于σ的策略 只处理 P σ 中的数.
如通常的构造一样 , 在 s 阶段要在 T 中构造一条有穷路径σs , 并且只让 σs 中的策略采取
行动.
定义 2 设σ↔T . 令 Active 2st r ategy (σ) = { σΣ m
| j ↔Active 2st r ategy (σ) , N 在σ中未 被损害} .
σ σ σ
如果对某个 i , X = P i 适于运作
, 则 P i 如前面的策略一样运作且只处理与 Active 2st r ate 2 σ
gy (σ) 中的策略相关的记号 ; 并且一旦 X
放入一个数 , 则运用 Active 2st r ategy (σ
) 恢复过程. 如果对某个 σ = σ
适于运作
, 则处理与 Active 2st r ategy (σ) 中策略相关的记号 , 需注意的 是在 ⅰ
) 步中要处理所有具有更高的优先权的 N 2策略的记号. 在 s 结束时 , 重新启动所有 ≥σs 的策略.
构造结束.
由文献[ 3 , 5 , 定理 1 不难证明.
致谢 对 T. A . Sla man 教授 、杨跃博士 、钱磊博士的热情帮助和讨论表示诚挚的感谢.
参
考 文 献
1 Kaddah D. Inf i ma in t he d 2r . e . degrees. Annals of Pure and Applied Logic , 1993 , 6
2 ( 3) : 207～263
2 Soare R I. Recursively Enumerable Set s and Degrees. Perspective in Mat hematical Logi c . Berlin : Sp ringer 2Verlag , 1987
3 Slaman T A. The densit y of i nf i ma in t he recursively enumerable degrees. Annals of Pure and Applied Logic , 1991 , 52 ( 2) :
155～179
4 Sacks G E. The recursively enumerable degrees are dense . Annals of Mat h , 1964 , 80 ( 2) : 300～312
5 C ooper S B. Weak densit y and cupping in t he d 2r . e . degrees. Israel Jo urnal of Mat hematics , 1989 , 67 ( 2) : 137～152。