7.1 定积分在几何中的应用 课件 《高等数学》(高教版)

称为定积分的元素法(或微元法)．
7.1.2 平面图形的面积 7.1.2.1 直角坐标系下平面图形的面积 1. 由连续曲线 y f (x)( f (x) 0) ，直线 x a, x b 及 x 轴围成的曲边梯形的面积为
b
A a f (x)dx
其中被积表达式就是面积元素，即 dA f (x)dx ．它表示高为 f (x) ，底为 dx 的矩形的面积(如图 7-2)．
一般地，能用定积分求解的总量U (如面积、路程等)应满足下列条件： （1）所求总量U 与自变量 x 的变化区间[a,b] 有关；
（2）所求总量U 在区间[a,b] 上具有可加性．即若把区间[a,b] 分割成 n 个小区间，
n
则所求总量U 等于各个小区间上的相应部分量 Ui 之和，即U Ui ． i 1
如果所求总量U 满足以上两个条件，就可以考虑用定积分来求解，具体步骤如下：
（1）选取积分变量 x ，确定其变化区间[a,b] ；
（2）任取小区间[x, x d x] [a,b] ，求出该小区间上的相应分量 U 的近似值 dU ．
在求小区间上的相应分量 U 的近似值 dU 时，通常采用“以直代曲”、“以规则代替不规则”或“以均匀
0
0
图 7-10
7.1.3 旋转体的体积 7.1.3.1平行截面面积为已知的立体的体积
设一立体位于平面 x a 及 x b (a b) 之间，用一组垂直于 x 轴的平面截此立体， 所得截面面积 A(x) 是关于 x 的已知连续函数，求此立体的体积(如图 7-12)．
图
选取 x 作为积分变量，x [a,b] ，任取小区间[x, x dx] [a,b] ，当 dx 很小时，A(x) 在区间[x, x d x] 上可以近似地看作不变. 因此把[x, x d x] 上的立体薄片，近似地看作底 面面积为 A(x) ，高为 d x 的柱体，则体积元素为
2
A 1 r2 ( )d . 2
例 4 求双纽线 r2 a2 cos 2 (a 0) 所围成的平面图形的全面积(如图 7-10)．
解 由图形对称性知 A 4 A1 ，其中 A1 为图形在第一象限部分的面积．在第一象限 的变
化范围是 0 ，则
4
A
4 A1
4
1 2
4 a2 cos2 d a2 sin 2 4 a2
代替非均匀”等方法，使 dU 表示为某个连续函数 f (x) 与 dx 乘积的形式，即
U dU f (x)dx ，
称 dU f (x)dx 为所求总量U 的元素（或微元）；
（3）将元素 dU 在[a,b] 上积分(无限累加)，即得所求总量U 的精确值
U
b
dU
b f (x)dx ．
a
a
在以上三步中，最关键的是第二步，即找出所求总量U 的元素(或微元)．因此将这种计算总量U 的方法
A 1 r2 来计算，下面利用元素法来计算该曲边扇形的面积． 2
图 7-9
取极角 为积分变量， [, ] ，任取小区间[ , d ] [, ] ，相应的小曲边
扇形可以用半径为 r r ，圆心角为 d 的圆扇形近似代替，从而得到曲边扇形的面积
元素 因此，所求曲边扇形面积为
dA 1 r2 ( )d ,
dA f (x) g(x) dx ,
在区间[a,b] 上积分，得
b
A a f (x) g(x) dx
(7.1)
图 7-3
3. 求由连续的曲线 x (y)，x (y) ，及直线 y c, y d 所围成平面图形的面积 (如图 7-4)．
选 y 为积分变量， y [c, d]，任取小区间[y, y dy] [c, d] ，则与这个小区间相对应的窄条面积近似等
y y
x2 2x
，可得两条抛物线交点分别为
(0,
0)
及
(1,1)
．
选 x 为积分变量，积分区间为[0, 1] ，任取微区间[x, dx] [0,1]，从而得到面积元素
dA ( x x2 )dx ，
则
A
1
(
0
x
x2 )dx
[2 3
3
x2
x3 3
]10
1 3
．
图 7-6
例 2 求由抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围成的平面图形的面积(如图 7-7)．
图 7-2
2. 求由在[a,b] 上连续的曲线 y f (x), y g(x) 及直线 x a, x b 所围成的平面图形的面 积(如图 7-3)．
选 x 为积分变量， x [a,b] ，任取小区间[x, x d x] [a,b] ，则与这个小区间相对应的 窄条面积近似等于高为 f (x) g(x) ，底为 dx 的小矩形的面积，故面积元素为
7.1.1 元素法
7.1 定积分在几何中的应用
总的思路是：首先通过分割即大化小的手段，把整体问题转化为 局部问题；再在局部范围内“以直代曲”、“以规则代替不规则”或“以均 匀代替非均匀”等方法，计算出总量在落在每个局部范围内的部分量 的近似值；然后将所有部分量的近似值相加，得到总量U的近似值； 最后取极限，求得总量的精确值．
]42
18 ．
图 7-7
7.1.2.2 极坐标系下平面图形的面积 当围成平面图形的曲线能用极坐标表示或用极坐标进行计算比较简便时，就在极坐标系下计算平面图形的面积．
求由曲线 r r 及射线 , 所围成曲边扇形面积(如图 7-9)，其中 r )在[, ]上连续． 由于 在[, ]上变动时，极径 r r 也随之变化，因此所求图形的面积不能直接利用圆扇形面积公式
解
解方程组
y
2
2x
，得抛物线与直线的交点为 A(2, 2), B(8, 4) ．
y x4
பைடு நூலகம்
选 y 为积分变量， y [2, 4] ，任取微区间[ y, y dy] [2, 4] ，从而得面积元素
dA ( y 4 y2 )dy ， 2
则
A
4
(y
2
4
y2 )dy
2
[
y2 2
4y
y3 6
于以|( y) ( y) | 为底，高为 dy 的小矩形的面积，故面积元素为
dA |( y) ( y)|dy ，
在区间[c, d] 上积分，得
d
A c ( y) ( y) dy
图 7-4
例 1 求由两条抛物线 y x2 和 y2 x 所围成的平面图形的面积(如图 7-6)．
解
联立并解方程组