5.2微积分基本公式

解 面积 A sin xdx
0
y
( cos x ) 0 2.

o

x
例15 求


0
e
cos x
sin xdx .
解:
因为
e cos x sin xdx e cos x d cos x
e
所以
cos x
C


0
e
cos x
sin xdx
e
e
cos x 0
b
1 dx . 例9 求 2 x 1 解 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 1 2 xdx ln | x | 2 ln1 ln 2 ln 2.
例10. 计算
解
11Biblioteka 33 dx arctan x arctan 3 arctan(1) 2 1 x 1 7 ( ) 3 4 12
0 0 x
x
( f (t ) dt ) 2
0
x
由假设, 在[0, x]上, f (t) > 0, (x t) · (t) 0, 且(x t) · (t) 0, f f
则
所以, 当x 0时, F ( x) 0
0 ( x t ) f (t )dt 0
x
即 F(x)在(0, +)内为单调增加函数.
5.2微积分基本公式
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系: 与速度函数
s( t ) v( t )
S v ( t )dt ; 另一方面，
T2 T1
T2 T1
由定积分的定义知，物体在时间间隔 内经过的路程
S s(T2 ) s(T1 ) , 从而， v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ) ,
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
二、积分上限函数及其导数
设函数 f (t) 在区间[a, b]上可积， 由积分区间的可加性， 对任意
x [a, b], 定积分
y

x
a
f ( t )dt 存在.
y f (t )
O a
xx x b
t

x
y
a
f ( t )dt 是定义在[a, b]
(a ) a f ( t )dt 0 F (a ) C ,
F ( x ) a f ( t )dt C ,
x

a
x
f ( t )dt F ( x ) F (a ),
令x b
a f ( x )dx F (b) F (a ).
b
牛顿—莱布尼茨公式
d ( x ) dx

b x
f ( t )dt

x d f ( t )dt b dx



d dx

x
b
f ( t )dt
f ( x ).
例2：已知 ( x) cos(3t 1)dt , 求( x)
x
0
解： ( x)
d ( cos(3t 1)dt )
c ≠0 , 故
又由
a 1.
1 ,得 c . 2
例8
证
f ( x ) 1,
令 F ( x ) 2 x f ( t )dt 1,
x 0
F ( x ) 2 f ( x ) 0,
F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数.
在[0,1]上至多有一点使 F(x) = 0 又
2x 1 x 1 x
6 3
例5: 设 f (x) 在[0, +)内连续, 且f (x) > 0, 证明函数
F ( x)
证明:
F ( x)
x
x
0 x 0
tf ( t )dt f ( t )dt
在(0, +)内为单调增加函数.
( tf (t )dt ) f (t )dt tf (t )dt ( f (t )dt ) 0 0 0 0 ( f (t )dt ) 2
2
lim
x0
sin x e 2x
x
2
cos2 x
lim
x 0
(
1
cos x
e dt )
t 2 2
( x )
1 1 sin x 1 lim cos2 x 2 x0 x e 2e
例7
确定常数 a , b , c 的值,
0 ( 型) 0
解:
b 0.
原式 =
3 2 1 0
i
2 (2 2 1) 3
0
i 1 i n n
1
x
例18.汽车以每小时 36 km 的速度行驶,到某处需
要
减速停车,设汽车以等加速度, 从开始刹车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度
361000 m ( s) 3600
刹车问,

10 ( m s )
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
x
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
设函数 f ( x )在区间[a , b]上连续,如果函数 F ( x ) 是 f ( x )在区间[a , b]上的一个原函数, 则

b
cos x 0

=e e
1
例16 : 计算
解:


0
1 cos 2 xdx .



0
1 cos 2 xdx

0
2cos2 xdx

0
2 | cos x | dx

0
2[ 2 cos xdx

( cos x ) dx]
2
2 (sin x sin
例6
lim
x 0
1
cos x
e dt x
2
t 2
0 ( 型) 0
解:
cos d 1 d (cosxx )2t 2 t 2 ( cos x e dt e 1 e dt sin x) dx dx cos2 x sin x e
lim
x 0
1
cos x
et dt
在区间[a, b]上可导, 且
G ( x ) f ( x ) ( x )
例3：已知( x) sin(t )dt , 求( x)
2 0
x
解：
( x)
d ( sin(t )dt )
2 0
x
dx
1 2 x
sin x ( x )
sin x
0 x
x
x
x

xf ( x)

x
0
f (t )dt f ( x) tf (t )dt
0
x
( f (t ) dt )
0
x
2
F ( x)
xf ( x)

x
0
f (t )dt f ( x) tf (t )dt
0
x

f ( x) ( x t ) f (t )dt ( f (t )dt ) 2
x
0
dx d ( cos(3t 1)dt )
0 x

dx
cos(3x 1)
设函数 f (t) 在区间[c, d]上连续, 函数 ( x ), (2)推论1：
区间[a, b]上可导,
则函数
且 ([a , b]) [c, d ],
( x)
G( x )
a
f ( t )dt
设函数 f (t) 在区间[c, d]上连续, 函数 ( x ), (3)推论2：
( x ) 区间[a, b]上可导, 且 ([a , b]) [c, d ],
([a , b]) [c , d ]，则函数
G( x )
( x) ( x)
f ( t )dt
在区间[a, b]上可导, 且
a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x) |
b
b a
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a , b] 上的定积分等于 [ 它的任意一个原函数在区间 a , b] 上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意 当a b 时， f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立. a
y f (t )
上的函数, 记作 ( x ),
( x)
O a
x b
t
即
( x ) f ( t )dt , x [a , b], a
x
称为积分上限函数. 同理, 可以定义区间[a, b]上的函数
( x ) f ( t )dt , x [a , b],
b x
积 分 变 限 函 数
F (0) 1 0,
F (1) 1 0 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,
在[0,1]上至少有一点使 F(x) = 0
1
1
所以 F ( x ) 0 即原方程在[0,1] 上只有一个解.
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
2 x 0 x 1 例13 设 f ( x ) ,求 1 x 2 5
解
0
2
f ( x )dx.
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
原式 2 xdx 5dx 6.
1 2 0 1
1
2
例14 计算曲线 y sin x 在[0, ] 上与 x 轴 所围成的平面图形的面积.
2 0
x
2
)
2 2
1 n i 例17. 求极限: (1) lim 1 n n n i 1
n i 1 1 n i 解: (1) lim 1 lim 1 n n i 1 n n n n i 1
x i

1
0
2 1 x dx (1 x) | 3
称为积分下限函数.
积分上限函数的性质
定理1 若函数 f ( x ) 在区间[a , b]连续, 则积分上限函数 ( x ) f ( t )dt
a x
d x 在 [a , b]可导, 且 ( x ) a f (t )dt f ( x ) , x [a, b]. dx
证 ( x x ) a
例11 求 解
0 (2 cos x sin x 1)dx .

2
2
原式 (2 sin x cos x x ) |0 3 . 2
例12 计算

9
4
x (1 x )dx
3 2 2
2 x 9 解 原式 ( x ) |4 3 2 2 1 271 ( 27 8) (81 16) 3 2 6
a
f ( x )dx F (b) F (a )
证 已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
又 ( x )
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
令 xa
a
F ( a ) ( a ) C ,
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时,
x x
f ( t )dt
y
y f (t )
( x x ) ( x )

x x a
( x)
O
f ( t )dt f ( t )dt
x a
a
x
x x＋△ x
b
t
a
x a
x x
f ( t )dt f ( t )dt
a
x x x
x
f ( t )dt
f ( t )dt f ( t )dt
a
x

x x
x
f ( t )dt ,
y
y f (t )
由积分中值定理得
( x)
O
f ( )x
f ( ), x
[ x , x x ],
a
x
x x＋△ x
b
t
lim lim f ( ) x 0 x x 0
( x ) f ( x ).
x 0, x
例1：已知 ( x) e dt , 求( x)
t2 0
x
解：
( x)
d e dt） （
t2 0
x
dx
x2
e
(1)对 ( x ) f ( t )dt ,
x
b
当函数 f (x)在区间[a, b]上连续时, 有
G( x ) f ( x ) ( x ) f ( x ) ( x ).
例4：已知( x)
解：
x2
x
1 t 3 dt , 求( x)
( x)
d (
x2
x
1 t dt )
3
dx
6 2 3
1 x ( x ) 1 x ( x)