广东省肇庆市实验中学高中数学必修五校本教材导学案：

第二十六课 2
a b +≤
一、课标要求 1.探索并了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
二、先学后讲
1．22____2a b ab + 2(,____0)2a b a b +
3. 2a b +的变形:
（1）,)2a b a b R ++∈ （2）1_____2()a a R a
++∈ （3）22____2x b bx + (444222a b a b +≥ (5222a b c ab bc ac ++≥++
(6222222a b c d ab cd +++≥+ (73333(.,)a b c abc a b c R +++≥∈
三、合作探究
1.不等式选择题的解法
例1 若a >b>0,则下列不等式正确的是（ ）
A.2ab a b +<2a b +≤2ab a b +≤2a b + C.2ab a b +<2a b + <2ab a b
+<2a b + 【思路分析】可用基本不等式进行证明也可用特殊值进行检验即得答案.
【解析】方法一：2ab
a b +<2a b +. 方法二：令2,1a b ==，可知选项A 、B 、D 错故选C.
【点评】本例给出了两种解法，建议同学们多用方法二进行练习，这可是得分的好方法！ ☆自主探究
1．设a ＞0,b ＞0，则下列不等式中不正确的一个是( )
A.222||a b ab +≥
B.2b a a b +≥
C. 114a b a b +≤+
D. 22
b a a b a b
+≥+ 2.基本不等式的应用
例2 求函数1(),(0,)f x x x x
=+∈+∞的最小值. 【思路分析】利用基本不等式进行求解.
【解析】∵(0,)x ∈+∞∴1()2f x x x =+
≥ 当且仅当1x x
=
，即1x =或1x =-（舍去）时，“=”成立，所以，当 1x =时，函数有最小
值值，最小值为max ()(1)2f x f ==
【点评】用基本不等式求最值，一定要注意不等式成立的条件，即一“正”、二“定”、三“相等”
☆自主探究
2．求函数2(),(0,)f x x x x
=+∈+∞的最小值.
四、总结提升
1、本节课你主要学习了
五、问题过关
1. 下列推理过程正确的是（ ）
A.若a ，b ∈R ，则2b a a b +
≥= B.若x ＞0，则1cos 2cos x x +≥=
C.若x ＜0，则44x x +≥=
D.若a ，b ∈R 且ab ＜0，则b a a b +2b a a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-≤-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是( )
A.a 2+1＞a
B.2111a <+＜1
C.a 2+9＞6a
D.2lg(1)lg |2|a a +≥
3. 已知x ，y 均为正数，且x ≠y ，则下列四个数中最小的一个是( )
A ．11
1
2x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．1x y + C D
4. 2x 与22bx b -的大小关系是 .
5. 设,x y R ∈，不等式2212x x +≥“等号”成立的条件是
6. 已知a b c <<2c a -的大小关系是 .
7. 不等式2a b b a
+>成立的条件是 . 8．求函数3()3,(0,)f x x x x
=+∈+∞的最小值.
81 x 的值最小?最小值是多少?
9. 已知x≠0，当x取什么值时，x2＋
2
第二十六课 2a b +≤
（1） ☆自主探究
1C 解：当11,2
a b ==时，选项C 不成立.
2解：∵(0,)x ∈+∞∴2()f x x x =+
≥
当且仅当2x x
=，即x =x =（舍去）时，“=”成立，所以，当 x
最小值值，最小值为max ()f x f ==
☆问题过关
1D ，2A 解：a =0可否定B 、D ，a =3否定C.3D 解：取x =1，y =2计算知选D. 4解：因为222(2)()0x bx b x b --=-≥ 5解：由22
1x x =，得1x =±.
6解：当1,2,3a b c ===时相等，当1,2,6a b c ===2c a -<
2
c a -≤ 7解：a b b a +均大于0, ∴a 、b 同号.又a b b a
≠, ∴a 2≠b 2,∴a ≠b .所以a 、b 同号且a ≠b
8解:∵(0,)x ∈+∞∴3()36f x x x =+
≥ 当且仅当33x x
=，即1x =或1x =-（舍去）时，“=”成立，所以，当 1x =时，函数有最小值值，最小值为max ()(1)6f x f ==
9解:∵x ≠0,∴x 2＞0，
281x ＞0.∴x 2＋281x 18=，当且仅当x 2＝281x ，即3x =±时取“＝”号.
故3x =±时，x 2+2
81x 的值最小，其最小值是18.。