天津市静海区2020届高三上学期12月四校联考数学(文)试卷Word版含答案

天津市静海区2020届高三上学期12月四校联考
数学（文）试卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第1页，第Ⅱ卷第1页至第2页。

试卷满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题（共8题，每题5分，共40分）
1.若集合
{}
A=|1x x x R ≤∈，，
{}
2B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂=（ ）
A. {}|11x x -≤≤
B. {}|0x x ≥
C. {}|01x x ≤≤
D. ∅
2．设变量x ，y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≤⎩
则目标函数3z x y =-的最大值为
A ．-4
B ．0
C ．43
D ．4
3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )
A ．8
B ．18
C ．26
D ．80 4.“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+（a+1）y+4=0平行”的
（ ）
（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件
5.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦距为52，且双曲
线的一条
渐近线与直线02=+y x 平行，则双曲线的方程为
（A ）1422=-y x
（B ）1422
=-y x （C ）141622=-
y x （D ）12035322=-y x 6．已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π，
且当2
x π
=
时，()f x 取得最大值，则（ ）
A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数
B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数
C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数
D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数
7.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，设
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=3log 21f a ,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=2.031f b ,⎪⎭⎫ ⎝⎛
=51log 2f c ，则( ) A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．b a c <<
8．已知a ，b 均为正数，且ab-a-2b=0，则
b
b a a 1
2422-+-的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
第Ⅱ卷
二、填空题（共6题，每题5分，共30分） 9. 是虚数单位，复数=
10. 已知
在
时有极值0，则
的值为 ．
11.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积
为
12. 已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点
在圆C 上，且圆心到直线
的距离
为，则圆C 的方程为
13. .已知菱形
的边长为，，点
，
分别在边
、
上，
，
.若，则的值为
14. 已知函数是定义在
上的奇函数，且在定义域上单调递增.当
时，不等
式
恒成立，则实数的取值范围是 .
三、简答题： (共6题，共80分) 15．（13分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2
，
c =
cos A =． (1)求sin C 和b 的值； (2)求cos(2A ＋π3
)的值．
16.（13分）
某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，
利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（Ⅱ）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
17. （13分）
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，
，为中点，平面，，为中点．（Ⅰ）证明：//平面；
（Ⅱ）证明：平面
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．
18. （13分）
已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10．
(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；
(2)记T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，n∈N*，证明T n－8＝a n－1b n＋1(n∈N*，n＞2)．19．（14分）
设椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆
截得的线段长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若
·＋·＝8，求k的值．
20．（14分）
已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的取值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.
天津市静海区2020届高三上学期12月四校联考
数学（文）试卷
1-4CDCA 5-8BACC
9.2-i 10.-7 11．π2
9
12.
13.2 14.
15.
解：(1)在△ABC 中，由cos 4A =-
，可得sin 4
A =．
又由sin sin a c
A C
=
及a ＝2，c =sin C =． 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0． 因为b ＞0，故解得b ＝1．
所以sin C =，b ＝1．-----------6分
(2)由cos 4A =-，sin 4A =，得cos2A ＝2cos 2A －1＝3
4
-，sin2A ＝2sin A cos A ＝4-，
所以，cos(2A ＋π3)＝cos2A cos π3－sin2A sin π
3
．----13分
16.
其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而
可估计该批产品的一等品率为0.6.------4分
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．--------9分
②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝.----13分 17.
（Ⅰ）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，
又M 为PD 的中点，所以PB//MO 。

因为平面ACM ，
平面ACM ，所以PB//平面
ACM 。

-----4分
（Ⅱ）证明：因为
，且AD=AC=1，所以
，即
，又PO 平
面ABCD，平面ABCD，所以，所以平面PAC。

------8
分
（Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，AN，因为M为PD的中点，所以MN//PO，且
平面ABCD，得平面ABCD，所以是直线AM与平面ABCD 所成的角，在中，，所以，从而，在，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为
-----13分
18.
18．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．
由条件，得方程组
3
3
23227,
86210,
d q
d q
⎧++=
⎨
+-=
⎩
解得
3,
2.
d
q
=
⎧
⎨
=
⎩
所以a n＝3n－1，b n＝2n，n∈N*．---------------------6分(2证明：由(1)得
T n＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①
2T n＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n＋1．②
由①－②，得
－T n＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1
＝6(12)
12
n
⨯-
-
－(3n－1)×2n＋1－2＝－(3n－4)×2n＋1－8，
即T n－8＝(3n－4)×2n＋1，
而当n＞2时，a n－1b n＋1＝(3n－4)×2n＋1．
所以，T n－8＝a n－1b n＋1，n∈N*，n＞2．-----------13分
19解：(1)设F(－c,0)，由，知.
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有，解得，
于是，解得b＝，
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，
所以椭圆的方程为.-------6分
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
求解可得x1＋x2＝，x1x2＝.
因为A(，0)，B(，0)，
所以·＋·
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝.
由已知得＝8，
解得k＝.----------14分
20.
(I)定义域（0，+∞）
∴a=-1 ------4分
(II)
，单减区间为（0，+∞）
当a>0时
令f/(x)>0 单增区间为()
令f/(x)<0 单减区间为(0, )
当a<0时
单减区间（0，+∞）
∴当a≤0时,（0，+∞）单调减
当a>0时（）单调增，（0，）单调减 -----9分（III）
令g/(x)=0 x
1=-2 x
2
=1
令g/(x)>0, ↑（1，e）
令g/(x)<0 ↓（）
∴x=1是g(x)在[e-1, e]上唯一的极小值点，也是唯一的最小值点
∵g(x)在[e-1,e]上有两个零点
∴只须
∴-----14分。