上海中大高级中学高二数学理月考试题含解析

上海中大高级中学高二数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 无限循环小数为有理数，如：0. =，0. =，0. =，…，则可归纳出0. =（）A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】归纳推理．
【分析】由题意，0.=0.45+0.0045+…，利用等比数列的求和公式，即可得到结论．
【解答】解：由题意，0.=0.45+0.0045+…==，
故选：D．
2. 已知则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
3. (2x－)9的展开式中，常数项为( )
A．－672 B．672 C．－288 D．288
参考答案：
B
试题分析：T r＋1＝ (2x)9－r(－)r＝(－1)r29－r·x9－r－，令9－r－＝0，得r＝6.∴常数项为23＝8＝672.
考点：二项式定理4. 用秦九韶算法计算多项式，在时的值时，
的值为( )
A．-845 B.220 C.-57 D.34
参考答案：
C
5. 设，向量，，且，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B．
考点：1.向量的数量积；2.向量的模．
6. 用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）
A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4
参考答案：
D
【考点】RG：数学归纳法．
【分析】由等式，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．
【解答】解：在等式中，
当n=1时，n+3=4，
而等式左边起始为1的连续的正整数的和，
故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4
故选D．
7. 过点(1,0)且与直线垂直的直线方程为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据两个存在斜率的直线互相垂直时，斜率的关系，可以直接求出所求直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程，最后化成一般式方程.
【详解】由于直线斜率为，故所求直线的斜率等于，
所求直线的方程为，即，因此本题选C．
【点睛】本题考查了两个存在斜率的直线互相垂直时，斜率的关系，考查了数学运算能力.本题可以应用这样的结论解决：与直线平行的直线可设为：
，与直线垂直的直线可设为：.
8. 抛物线的焦点坐标是（）
A．（0，1）B．（1，0）C．D．
参考答案：
C
9. 如右图, 是半圆的直径,点在半圆上, 于点, 且, 设
, 则
参考答案：A
10. 已知点是圆上任意一点，则的取值范围是
A. B.
C. [－1,1]
D.(－∞,－1]∪[1,+ ∞) 参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
人排成一排，则甲不站在排头的排法有
种．（用数字作答）．
参考答案：
略
12. 在抛物线y2=﹣4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A（﹣2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是．
参考答案：
（﹣，1）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线方程求得抛物线的焦点为F（﹣1，0）、准线为x=1．设点P在准线上的射影为Q，根据抛物线的定义得|PQ|+|PA|=|PF|+|PA|，利用平面几何知识得当A、P、Q三点共线时，这个距离之和达到最小值，此时P点的纵坐标为1，利用抛物线方程求出P的横坐标，从而可得答案．
【解答】解：由抛物线方程为y2=﹣4x，可得2p=4， =1，
∴焦点坐标为F（﹣1，0），准线方程为x=1．
设点P在准线上的射影为Q，连结PQ，
则根据抛物线的定义得|PF|=|PQ|，
由平面几何知识，可知当A、P、Q三点共线时，
|PQ|+|PA|达到最小值，此时|PF|+|PA|也达到最小值．
∴|PF|+|PA|取最小值，点P的纵坐标为1，
将P （x ，1）代入抛物线方程，得12
=﹣4x ，解得x=﹣，
∴使P 到A 、F 距离之和最小的点P 坐标为（﹣，1）． 故答案为：（﹣，1）
13. 复数
的值是
．
参考答案： 略
14. .
已知极限存在，则实数的取值范围是____________.
参考答案：
15. 若不等式对于一切成立，则实数的取值范围是 参考答案：
16. 椭圆
上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为 （ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
参考答案：
C
17. 不等式恒成立，则a 的取值范围为＿＿＿
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分) 已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a ，若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
参考答案：
解 f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9，令f ′(x )＝0，即－3x 2＋6x ＋9＝0，
解得x 1＝－1，x 2＝3(舍去)．当x 变化时， f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
↘
↗
∴f (2)＝22＋a ＝20，∴a ＝－2，
从而得函数f (x )在[－2,2]上的最小值为f (－1)＝－5＋a ＝－7. 略
19. 直线l 与椭圆交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，已知=（ax 1，by 1），
=（ax 2，by 2），若⊥且椭圆的离心率
，又椭圆经过点
，O 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l 过椭圆的焦点F （0，c ）（c 为半焦距），求直线l 的斜率k 的值； （Ⅲ）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【专题】综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，椭圆经过点，建立方程组，求得几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）设l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合=0可得方程，从而可求直线l的斜率k 的值；
（Ⅲ）分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，利用=0，A在椭圆上，可求
△AOB的面积；②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合=0可得△AOB的面积是定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率，椭圆经过点，∴ (2)
分
∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为…3分
（Ⅱ）依题意，设l的方程为
由，∴
显然△＞0，…5分由已知=0得：
==
解得…6分．
（Ⅲ）①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，
∵=0，∴，
∵A在椭圆上，∴，∴，|y1|=
∴S==1；
②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，可得（k2+4）x2+2ktx+t2﹣4=0
△=4k2t2﹣4（k2+4）（t2﹣4）＞0，x1+x2=，x1x2=
∵=0，∴4x1x2+y1y2=0，∴4x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0
∴2t2﹣k2=4
∴==1
综上，△AOB的面积是定值1．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行求解．
20. 已知a＞0，b＞0．
（1）求证： +≥；
（2）若c＞0，求证：在a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b中至少有两个负数．
参考答案：
【考点】R6：不等式的证明；R9：反证法与放缩法．
【分析】（1）利用分析法证明；
（2）假设a≤b≤c，利用不等式的性质判断三个数的正负即可．
【解答】证明：（1）要证：≥，
只需证：≥，
只需证：（2a+b）2≥8ab，
即证：4a2+b2﹣4ab≥0，
即证：（2a﹣b）2≥0，
显然上式恒成立，
故≥．
（2）假设0＜a≤b≤c，
显然a﹣b﹣c≤b﹣b﹣c=﹣c＜0，
b﹣a﹣c≤c﹣a﹣c=﹣a＜0，
∴在a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b中至少有两个负数．
21. 为了迎世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位：），能使整个矩形广告面积最小．
参考答案：
解析：设矩形栏目的宽为，则高为，整个矩形广告的面积为，由题意可得=
当且仅当时等号成立。

22. （本小题满分12分）已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令=（），求数列的前n项和.
参考答案：
解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为.
由于，
所以，
解得………………………………………………………………………2分由于
所以………………………………………………………………………4分由于,
所以……………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为
所以
因此…………………………………………………9分故
所以数列的前项和………………………………………………12分。