高一数学必修2人教A导学案4.3.1空间直角坐标系

4. 3.1空间直角坐标系（教案）
【教学目标】
1.让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．
2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．
3.进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．
【教学重难点】
重点：求一个几何图形的空间直角坐标。

难点：空间直角坐标系的理解。

【教学过程】
一、情景导入
1. 确定一个点在一条直线上的位置的方法．
2. 确定一个点在一个平面内的位置的方法．
3. 如何确定一个点在三维空间内的位置？
例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？
在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．
（此时学生只是意识到需要三个数，还不能从坐标的角度去思考，因此，教师在这儿要重点引导）
教师：在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置只须利用x，y就可确定．为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标z．因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）．
这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系O—xyz，从而确定了空间点的位置．
二、合作探究、精讲点拨
1. 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．
从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—xyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xO平面，yO平面，zOx平面．
教师进一步明确：
（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．
（2）将空间直角坐标系O—xyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135°，而y 轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单
位长度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．
2. 空间直角坐标系O—xyz中点的坐标．
思考1：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？
在学生充分讨论思考之后，教师明确：
（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（x，y，z）．
（2）反之，对任意一个有序数组（x，y，z），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．
这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（x，y，z）之间就建立了一种一一对应关系：A（x，y，z）．
教师进一步指出：空间直角坐标系O—xyz中任意点A的坐标的概念
对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x 轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）．（如图26-4）
思考2：（1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？
（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？
解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分别形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）．
（2）x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）．
三、典型例题
例1、在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．
注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．
变式练习： 已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的边长AB ＝12，AD ＝8，AA ′＝5，以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA ′分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．
注意：此题可以由学生口答，教师点评．
解：A （0，0，0），B （12，0，0），D （0，8，0），A ′（0，0，5），C （12，8，0），B ′（12，0，5），D ′（0，8，5），C ′（12，8，5）．
讨论：若以C 点为原点，以射线CB ，CD ，CC ′方向分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？ 得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同．
例2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为2
1的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。

解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标。

下层原子全在xOy 平面，它们所在位置的竖坐标全是0，所以下层的五个钠原子所在位置的坐标分别为：
（0,0,0），（1,0,0），（1,1,0），（0,1,0），（21,2
1,0）， 中层的四个钠原子所在位置的坐标分别为： （21,0,21），（1,21,21），（21,1, 21），（0,21, 2
1） 上层的五个钠原子所在位置的坐标分别为： （0,0,1），（1,0,1），（1,1,1），（0,1,1），（21,2
1,1）。

变式练习：在长方体OABC －D ’A ’B ’C ’中，∣OA ∣＝3，∣OC ∣＝4，∣OD '∣＝2，
写出D ' 、C 、 A ' 、B '
四点关于平面xOy 对称的坐标。

注意：此题可以由学生口答，教师点评．
解：因为D '在z 轴上，且∣OD '∣＝2，它的竖坐标为2，
它的横坐标与纵坐标都是零，所以D '点的坐标是（0,0，2），
点C 在y 轴上，且∣OC ∣＝4,所以点C 的坐标为（0,4，0），
点A '的坐标为（3,0，2），B '的坐标为（3,4，2）。

所以D '点
对称点的坐标是（0,0，-2），点C对称点的坐标为（0,4，0），点A'对称点的坐标为（3,0，-2），B'的对称点坐标为（3,4，-2）。

四、反思总结：
五、当堂检测:
1. 在空间直角坐标系中，画出下列各点：A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2）．
2. 已知：长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以这个长方体的顶点B为坐标原点，射线AB，BC，BB′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．
3. 写出坐标平面yOz上∠yOz平分线上的点的坐标满足的条件．
【板书设计】
一、空间直角坐标系
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】作业：P138 2
4.3.1空间直角坐标系（导学案）
课前预习学案
一、预习目标
1.用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法．
2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．
二、预习内容
1. 如何确定一个点在一条直线上的位置？。

2. 如何确定一个点在一个平面内的位置？。

3.从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴：x轴,y轴,z轴.这样就建立了，点O叫作，x轴、y轴、z轴叫作，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 , , .
4.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为。

5.空间任意点A的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点A在此，记作。

其中x 叫做点A
的，y叫做点A的，z叫做点A的。

6.空间两点间的距离公式。

三、提出疑惑
1、；
2、；
3、。

课内探究学案
一、学习目标
1.让学生用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程．
2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．学习重点：求一个几何图形的空间直角坐标。

学习难点：空间直角坐标系的理解。

二、学习过程
思考1：如何确定一个点在三维空间内的位置？
例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？
思考2：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？
思考3：（1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？
（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？
典型例题
例1、在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．
注意：在分析中紧扣坐标定义，第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．
变式练习：已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．
讨论：若以C 点为原点，以射线CB ，CD ，CC ′方向分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？
例2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞
的示意图（可看成是八个棱长为2
1的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，
建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位
置的坐标。

变式练习：在长方体OABC －D ´A ´B ´C ´中，∣OA ∣＝3，∣OC ∣＝4，∣OD '
∣＝2，写出D ' 、C 、 A ' 、B '四点关于平面xOy 对称的坐标。

反思总结：
当堂检测:
1. 在空间直角坐标系中，画出下列各点：A （0，0，3），B （1，2，3），C （2，0，
4），D （－1，2，－2）．
2. 已知：长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的边长AB ＝12，AD ＝8，AA ′＝7，以这个长方体的顶点B 为坐标原点，射线AB ，BC ，BB ′分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．
3. 写出坐标平面yOz 上∠yOz 平分线上的点的坐标满足的条件．
课后练习与提高
1.在空间直角坐标系中，点P ，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则Q 的坐标为（ ）
Ａ．(0 Ｂ．(0 Ｃ．(10 Ｄ． 2.已知点(314)A -，，，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ） Ａ．(134)--，， Ｂ．(413)--，，
Ｃ．(314)--，， Ｄ．(413)-，，
3.坐标原点到下列各点的距离最小的是（ ）
Ａ．(111)，， Ｂ．(122)，， Ｃ．(235)-，， Ｄ．(304)，，
4.在空间直角坐标系O xyz -中，1z =的所有点构成的图形是 ．
5.点(321)P --，
，关于平面xOy 的对称点是 ，关于平面yOz 的对称点是 ，关于平面zOx 的对称点是 ，关于x 轴的对称点是 ，关于y 轴的对称点是 ，关于z 轴的对称点是 ．
6. 求证：以(419)A ---，，，(1016)B --，，，(243)C ---，，为顶点的三角形是等腰直角三角形．。