2020年中考数学复习 第三单元 函数 滚动小专题(四)一次函数与反比例函数的综合练习

滚动小专题(四) 一次函数与反比例函数的综合
1．(2018·菏泽T 20·7分)如图，已知点D 在反比例函数y ＝a
x 的图象上，过点D 作DB⊥y 轴，垂足为B(0，3)，
直线y ＝kx ＋b 经过点A(5，0)，与y 轴交于点C ，且BD ＝OC ，OC∶OA＝2∶5.
(1)求反比例函数y ＝a
x 和一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；
(2)直接写出关于x 的不等式a
x ＞kx ＋b 的解集．
解：(1)∵BD＝OC ，OC∶OA＝2∶5，点A(5，0)，点B(0，3)， ∴OA＝5，OC ＝BD ＝2，OB ＝3.1分
又∵点C 在y 轴负半轴上，点D 在第二象限，
∴点C 的坐标为(0，－2)，点D 的坐标为(－2，3)． ∵点D(－2，3)在反比例函数y ＝a
x 的图象上，
∴a ＝－2×3＝－6.
∴反比例函数的表达式为y ＝－6
x .3分
将A(5，0)，C(0，－2)代入y ＝kx ＋b ，得
⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝0，
b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝25，b ＝－2.
∴一次函数的表达式为y ＝2
5x －2.5分
(2)不等式a
x
＞kx ＋b 的解集为x ＜0.7分
2．(2018·江西)如图，反比例函数y ＝k
x (k≠0) 的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于A (1，a)，B 两点，
点C 在第四象限， CA∥y 轴，∠ABC＝90°.
(1)求k 的值及点B 的坐标； (2)求tan C 的值．
解：(1)∵点 A(1，a)在y ＝2x 上， ∴a＝2.∴A(1，2)． 把A(1，2)代入y ＝k
x 得k ＝2.
∵A，B 两点关于原点O 中心对称， ∴B(－1，－2)．
(2)设AC 交x 轴于点D. ∵CA∥y 轴，∴AC⊥x 轴， 即∠ADO＝90°.
又∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠AOD. ∴tan C ＝tan ∠AOD＝AD OD ＝2
1＝2.
3．(2018·宜宾)如图，已知反比例函数y ＝m
x (m≠0)的图象经过点(1，4)，一次函数y ＝－x ＋b 的图象经过反比
例函数图象上的点Q(－4，n)．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)一次函数的图象分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为P 点，连接OP ，OQ ，求△OPQ 的面积．
解：(1)反比例函数y ＝m
x (m≠0)的图象经过点(1，4)，
∴4＝m 1，解得m ＝4，故反比例函数的表达式为y ＝4x
.
一次函数y ＝－x ＋b 的图象与反比例函数的图象相交于点Q(－4，n)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝4－4，n ＝－（－4）＋b ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－1，b ＝－5.
∴一次函数的表达式为y ＝－x －5.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝－x －5，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－4.
∴点P(－1，－4)．
在一次函数y ＝－x －5中，令y ＝0，得－x －5＝0，解得x ＝－5，故点A(－5，0)． S △OPQ ＝S △OPA －S △OAQ ＝12×5×4－1
2×5×1＝7.5.
4．(2017·贵阳)如图，直线y ＝2x ＋6与反比例函数y ＝k
x (k ＞0)的图象交于点A(1，m)，与x 轴交于点B ，平行
于x 轴的直线y ＝n(0＜n ＜6)交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM.
(1)求m 的值和反比例函数的表达式；
(2)直线y ＝n 沿y 轴方向平移，当n 为何值时，△B MN 的面积最大？
解：(1)∵直线y ＝2x ＋6经过点A(1，m)． ∴m＝2×1＋6＝8. ∴A(1，8)．
∵反比例函数经过点A(1，8)，∴8＝k
1.
∴k＝8.
∴反比例函数的解析式为y ＝8
x
.
(2)由题意，点M ，N 的坐标为M(8n ，n)，N(n －6
2，n)．
∵0＜n ＜6， ∴n －6
2
＜0.
∴S △BMN ＝12×(|n －62|＋|8n |)×n＝12×(－n －62＋8n )×n＝－14(n －3)2
＋254.
∴n＝3时，△BMN 的面积最大．
5．(2018·咸宁)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(4，2)，直线y ＝－12x ＋5
2与边AB ，
BC 分别相交于点M ，N ，函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象过点M.
(1)试说明点N 也在函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象上；
(2)将直线MN 沿y 轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y ＝k
x (x ＞0)的图象仅有一个交点
时，求直线M′N′的解析式.
解：(1)∵矩形OABC 的顶点B 的坐标为(4，2)，
∴点M 的横坐标为4，点N 的纵坐标为2.
把x ＝4代入y ＝－12x ＋52，得y ＝1
2，
∴点M 的坐标为(4，1
2
)．
把y ＝2代入y ＝－12x ＋5
2，得x ＝1.
∴点N 的坐标为(1，2)．
∵函数y ＝k
x (x ＞0)的图象过点M ，
∴k＝4×12＝2.∴y＝2
x (x ＞0)．
把N(1，2)代入y ＝2
x ，得2＝2.
∴点N 也在函数y ＝k
x (x ＞0)的图象上．
(2)设直线M′N′的解析式为y ＝－1
2x ＋b.
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1
2x ＋b ，y ＝2x
得，x 2
－2bx ＋4＝0.
∵直线y ＝－12x ＋b 与函数y ＝2
x (x ＞0)的图象仅有一个交点，
∴(－2b)2
－4×4＝0，解得b 1＝2，b 2＝－2 (舍去)． ∴直线M′N′的解析式为y ＝－1
2x ＋2.
6．(2018·遂宁)如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)与反比例函数y ＝m
x (m≠0)的图象交
于第二、四象限A ，B 两点，过点A 作AD⊥x 轴于点D ，AD ＝4，sin ∠AOD＝4
5
且点B 的坐标为(n ，－2)．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)E 是y 轴上一点，且△AOE 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E 点坐标．
解：(1)∵一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝m
x 图象交于A 与B ，且AD⊥x 轴，
∴∠ADO＝90°.
在Rt △ADO 中，AD ＝4，sin ∠AOD＝4
5，
∴AD AO ＝4
5
，即AO ＝5.
根据勾股定理，得DO ＝52－42
＝3. ∴A(－3，4)．
代入反比例函数解析式，得m ＝－12，即y ＝－12
x .
把B 坐标代入，得n ＝6，即B(6，－2)， 代入一次函数解析式，得
⎩⎪⎨⎪
⎧－3k ＋b ＝4，6k ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨
⎪⎧k ＝－23，b ＝2.
∴y＝－2
3
x ＋2.
(2)当OA ＝AE 1＝5时，得到OE 1＝2AD ＝8，即E 1(0，8)． 当OE 3＝OE 2＝AO ＝5，即E 2(0，－5)，E 3(0，5)． 当AE 4＝OE 4时，设E 4坐标为(0，a)， 则a 2＝(0－3)2＋(a －4)2
，解得a ＝258，
即E 4(0，25
8
)．
综上，当点E 为(0，8)或(0，5)或(0，－5)或(0，25
8
)时，△AOE 是等腰三角形．。